10.1.2 第1课时 两角和与差的正弦公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

10.1.2　两角和与差的正弦 1 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系（逻辑推理）. 2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征（逻辑推理）. 3.能够运用两角和与差的正弦公式解决有关求值、化简等问题（数学运算）. 课标要求 第1课时　两角和与差的正弦公式 3 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 4 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　观察下面两组公式： 　　（1） cos （－α＋ ）＝ sin α， sin （－α＋ ）＝ cos α； 　　（2） cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β（C（α＋β））， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β（C（α－β））. 　　前面一节课我们学习了两角和与差的余弦公式，我们知道，用诱导公 式可以实现正弦与余弦的互化. 【问题】　你能根据两角和与差的余弦公式及诱导公式，推导出用任意角 α，β的正弦、余弦表示 sin （α＋β）， sin （α－β）的公式吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记 符号 条件 两角和的 正弦公式 sin （α＋β）＝ ⁠ ⁠ S（α＋β） α， β∈R 两角差的 正弦公式 sin （α－β）＝ ⁠ ⁠ S（α－β） sin α cos β＋ cos α sin β　 sin α cos β－ cos α sin β　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：两角和与差的正、余弦公式的联系： 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　辅助角公式 1. 构造含特殊角的三角函数式 sin x± cos x＝ 　 　 sin （x± 　 　）； sin x± cos x＝ sin （x± 　 　）； sin x± cos x＝ sin （x± 　 　）. 　 　 2　 　 2　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 构造含辅助角的三角函数式 f（x）＝a sin x＋b cos x＝ sin （x＋φ）（其中tan φ＝ 　 　）＝ cos （x－φ）（其中tan φ＝ 　 　）. 　　提醒：通过特殊角或辅助角三角函数构造和差角正弦、余弦公式形 式，把三角函数的和差化成和差角的一个三角函数，有利于研究三角函数 的图象和性质. 　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的 B. ∃α，β∈R，使得 sin （α－β）＝ sin α－ sin β成立 C. sin （α－β）＝ sin β cos α－ sin α cos β D. sin （α＋β）＝ sin α＋ sin β 一定不成立 √ √ 解析： 　对于A，两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意 的，故A正确；对于B，当α＝β＝0时， sin （α－β）＝ sin α－ sin β 成立，故B正确；对于C， sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β， 故C错误；对于D，当α＝β＝0时， sin （α＋β）＝ sin α＋ sin β成 立，故D错误.故选A、B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. sin 15°＝（　　） A. C. 解析： 　 sin 15°＝ sin （45°－30°）＝ sin 45° cos 30°－ cos 45° sin 30°＝ × － × ＝ .故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在△ABC中，A＝ ， cos B＝ ，则 sin C＝ 　 　. 解析： sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ sin B cos A，由A＝ ，得 sin A＝ ， cos A＝ ，由B为△ABC内角， cos B＝ ，则 sin B＝ .则 sin C＝ × ＋ × ＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜给角求值 【例1】　（1）（链接教科书第59页练习2题） sin 18° cos 12°＋ cos 18° sin 12°＝（　D　） A. － B. － C. D. 解析： sin 18° cos 12°＋ cos 18° sin 12°＝ sin （18°＋12°）＝ sin 30°＝ . D 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2） ＝（　B　） A. 2 B. C. 2 D. 1 B 解析： ＝ ＝ ＝2 sin 60°＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解决给角化简与求值问题的策略 （1）化简：三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充分利用 角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；②观察函数特 点，向同名转化，弦切互化，通常是切化弦； （2）求值：运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形 式：①将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如 sin 15°＝ sin （45°－ 30°）＝ sin （60°－45°）；②逆用公式凑成特殊角求值，如 sin 13° cos 17°＋ cos 13° sin 17°＝ sin （13°＋17°）＝ sin 30°；③进行拆 角、拼角，整体代换求值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本一 致，如α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. （2025·淮安期中） sin 24° cos 36°＋ cos 54° cos 24°＝（　　） A. － B. C. D. － √ 解析： 　原式＝ sin 24° cos 36°＋ sin 36° cos 24°＝ sin 24° cos 36° ＋ cos 24° sin 36°＝ sin （24°＋36°）＝ sin 60°＝ .故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 化简： －2 cos （α＋β）. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜给值求值 【例2】　（链接教科书第57页例1）（1）已知 sin α＝ ，α∈（ ， π）， cos β＝－ ，β∈（π， ），求 sin （α－β）的值； 解： 由 sin α＝ ，α∈（ ，π），得 cos α＝－ ＝－ ＝－ . 又由 cos β＝－ ，β∈（π， ），得 sin β＝－ ＝－ ＝－ . ∴ sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ×（－ ）－（－ ） ×（－ ）＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若 cos （α＋ ）＝－ ，α∈（0， ），求 sin α的值. 解： ∵α∈（0， ），∴ ＜α＋ ＜ ， sin （α＋ ）＝ ＝ ＝ ，则 sin α＝ sin （α＋ － ）＝ sin （α＋ ） cos － cos （α＋ ） sin ＝ × －（－ ） × ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解给值求值问题的思路及常用变换 （1）解决给值求值型问题的一般思路：观察公式中的量，确定哪些是已 知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出 待求值，注意根据角的终边所在的象限确定符号； 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ③ ＋ ＝ ＋（α＋β）， ＋ ＝ ＋（α－ β）. 另外，还要特别注意题干中的隐含条件. （2）解决给值求值型问题的关键是找已知式与待求式之间角、运算及函 数名的差异，常见角的变换有： ①2α＋β＝（α＋β）＋α，2α－β＝（α－β）＋α； ② ＝ － ， ＝（ α＋ ）－ ； 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知α，β都是锐角，且 sin α＝ ， sin （α－β）＝ ，求 sin β 的值. 解：∵α为锐角，且 sin α＝ ，∴ cos α＝ ＝ ， ∵α，β都是锐角，∴－ ＜α－β＜ ， 又 sin （α－β）＝ ，∴ cos （α－β）＝ ＝ ， ∴ sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin （α －β）＝ × － × ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜给值求角 【例3】　已知 sin （α＋β）＝ ， cos α＝ ，α，β均为锐角，求角 β的值. 解：因为α为锐角，则0＜α＜ ，又 cos α＝ ，所以 sin α＝ . 又因为β为锐角，则0＜β＜ ，所以0＜α＋β＜π. 因为 sin （α＋β）＝ ＜ sin α，所以 cos （α＋β）＝－ ， 所以 sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋ β） sin α＝ × －（－ ）× ＝ . 又因为0＜β＜ ，所以β＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解决给值求角问题的方法 　　解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的 选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是（0，π）或 （π，2π）时，选取求余弦值，当所求角范围是 或 时， 选取求正弦值. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， cos β＝ ，求α－β的值. 解：因为α，β均为锐角，且 sin α＝ ， cos β＝ ， 所以 cos α＝ ， sin β＝ . 所以 sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ × － × ＝－ . 又因为α，β均为锐角，所以－ ＜α－β＜ . 故α－β＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜辅助角公式及应用 【例4】　（链接教科书第58页例3）已知f（x）＝ sin x－ cos x. （1）将f（x）化成y＝A sin （x＋φ）的形式； 解： f（x）＝ sin x cos － cos x sin ＝ sin （x－ ）. （2）求f（x）的最小正周期及最大值. 解： 由（1）知T＝ ＝ ＝2π， 当x－ ＝ ＋2kπ（k∈Z），即x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取得 最大值1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 　（变条件）若本例条件改为：已知f（x）＝ sin x－ cos x，如何求解？ 解：（1）f（x）＝ （ sin x－ cos x）＝ （ cos sin x－ sin cos x）＝ sin （x－ ）. （2）由（1）知T＝ ＝ ＝2π， 当x－ ＝ ＋2kπ（k∈Z），即x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取得 最大值 . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 将a sin x＋b cos x化为A sin （ωx＋φ）的方法技巧 （1）对形如 sin x± cos x， sin x± cos x的三角函数式均可利用特殊角 的关系，运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形 式，即y＝A sin （x＋φ）的形式； （2）对于不能构造含特殊角的三角函数式也可通过辅助角公式进行化简. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　求函数y＝ cos x＋ cos （x＋ ）的最大值. 解：y＝ cos x＋ cos x－ sin x ＝ cos x－ sin x ＝ （ cos x－ sin x） ＝ （ sin cos x－ cos sin x） ＝ sin （ －x）＝－ sin （x－ ）， 故当x－ ＝－ ＋2kπ（k∈Z），即x＝－ ＋2kπ（k∈Z）时，函数y 取得最大值 . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. sin 7° cos 37°－ cos 7° cos 53°＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　原式＝ sin 7° cos 37°－ cos 7° sin 37°＝ sin （7°－37°） ＝ sin （－30°）＝－ .故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （2025·宿迁期中）已知α∈（0，π），若 cos α＝－ ，则 sin （α－ ）＝ 　 　. 解析：∵α∈（0，π），∴ sin α＝ ＝ ，∴ sin （α－ ）＝ sin α· － cos α· ＝ × ＋ × ＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 函数f（x）＝ sin x－ cos （x＋ ）的值域为 　[－ ， ]　. 解析：f（x）＝ sin x－ cos x＋ sin x＝ · sin x－ cos x＝ （ sin x － cos x）＝ sin （x－ ），所以f（x）的值域为[－ ， ]. [－ ， ]　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 化简 sin ＋ sin ＝（　　） A. － sin x B. sin x C. － cos x D. cos x 解析： 　 sin ＋ sin ＝ sin x＋ cos x＋ sin x－ cos x＝ sin x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 sin C＝2 sin A cos B，则三角形一定是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 解析： 　因为C＝π－（A＋B），所以 sin [π－（A＋B）]＝ sin （A ＋B）＝2 sin A cos B，即 sin A cos B＋ cos A sin B＝2 sin A cos B，所以 sin A cos B－ cos A sin B＝0，则 sin （A－B）＝0，因为A，B∈（0，π），所 以A－B∈（－π，π），A－B＝0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形. 故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知 cos （α－β）＝ ， sin β＝－ ，且α∈ ， β∈ ，则 sin α＝（　　） A. B. 解析： 　∵α∈ ，β∈ ，∴ cos β＝ ，∴0＜α－β ＜π，∴ sin （α－β）＝ ，∴ sin α＝ sin [（α－β）＋β]＝ × ＋ × ＝ ＝ .故选A. √ C. － D. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，则β＝ （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： ∵0＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ ，由 cos α＝ 得 sin α＝ ，由 cos （α－β）＝ 得 sin （α－β）＝ ，∴ sin β＝ sin [α－ （α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin （α－β）＝ × － × ＝ ＝ ，∴β＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕已知θ是锐角，那么下列各值中， sin θ＋ cos θ不能取得的 值是（　　） A. B. C. D. √ √ √ 解析： 　 sin θ＋ cos θ＝ （ sin θ＋ cos θ）＝ sin .∵0＜θ＜ ，∴ ＜θ＋ ＜ ，∴ ＜ sin ≤1，∴1＜ sin ≤ .故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕下列计算正确的是（　　） A. sin 15°－ cos 15°＝ B. sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝ C. sin － cos ＝ D. sin 105°＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A， sin 15°－ cos 15°＝ sin 15° cos 60°－ sin 60° cos 15°＝ sin （15°－60°）＝ sin （－45°）＝－ ，故A错 误；对于B， sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝ sin 20° cos 10°＋ cos 20° sin 10°＝ sin （20°＋10°）＝ sin 30°＝ ，故B 正确；对于C， sin － cos ＝2（ sin cos － sin cos ）＝2 sin ＝2 sin ＝－ ，故C错误；对于D， sin 105°＝ sin （60°＋45°）＝ sin 60° cos 45°＋ cos 60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ ，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. ＝ 　 　. 解析： ＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 化简3 sin x－3 cos x＝ 　6 sin （x－ ）　. 解析：3 sin x－3 cos x＝6 ·（ sin x－ cos x）＝6 sin （x－ ）. 6 sin （x－ ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 在平面直角坐标系xOy中，已知锐角α的始边为x轴的非负半轴，顶点 在原点.将角α绕原点逆时针转过 后，终边交单位圆于点P（ － ， ），则 sin α＝ 　 　. 解析：因为锐角α的始边为x轴的非负半轴，顶点在原点.将角α绕原点逆 时针转过 后，终边交单位圆于点P（－ ， ），所以 sin （α＋ ） ＝ ， cos （α＋ ）＝－ ，所以 sin α＝ sin ［（α＋ ）－ ］＝ sin （α＋ ） cos － cos （α＋ ） sin ＝ × －（－ ）× ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 化简下列各式： （1） sin （α－30°）＋ sin （α＋30°）； 解： sin （α－30°）＋ sin （α＋30°）＝ sin α cos 30°－ cos α sin 30°＋ sin α cos 30°＋ cos α sin 30°＝2 sin α cos 30°＝ sin α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2） sin ＋2 sin － cos . 解： 法一　原式＝ sin x cos ＋ cos x sin ＋2 sin x cos －2 cos x sin － cos cos x－ sin sin x＝ sin x＋（ sin －2 sin － cos ）· cos x＝（ ＋1－ × ） sin x＋［ －2× － × ］ cos x＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　原式＝ sin ＋ cos ＋2 sin ＝2［ sin · ＋ cos （x＋ ）· ］＋2 sin ＝2 sin ＋2 sin （x － ）＝2 sin ＋2 sin （x－ ）＝2 sin ＋2 sin ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知α∈（0， ）， cos （α＋ ）＝ ，则 sin （α＋ ）＝ （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为α＋ ∈（ ， ）， cos （α＋ ）＝ ， cos 2（α＋ ）＋ sin 2（α＋ ）＝1，所以 sin （α＋ ）＝ ，所以 sin （α＋ ）＝ sin ［（α＋ ）＋ ］＝＝ sin （α＋ ）× ＋ cos （α＋ ） × ＝ × ＋ × ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知α，β均为锐角，则下列不等式一定成立的是（　　） A. sin （α＋β）＞ sin α＋ sin β B. sin （α＋β）＜ sin α＋ sin β C. cos （α＋β）＞ cos α＋ cos β D. cos （α＋β）＜ cos α＋ cos β √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，当α＝β＝ 时， sin （α＋β）＜ sin α＋ sin β， 故A错误；对于B，由于α，β均为锐角，所以 sin α， cos α， sin β， cos β的范围均为（0，1），所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ sin β cos α＜ sin α＋ sin β，故B正确；对于C，当α＝β＝ 时， cos （α＋ β）＜ cos α＋ cos β，故C错误；对于D， cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＜ cos α cos β＜ cos α＜ cos α＋ cos β，故D正确.故 选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC， ED，则 sin ∠CED＝ ⁠. 解析：由题意知 sin ∠BEC＝ ， cos ∠BEC＝ ，又∠CED＝ － ∠BEC，所以 sin ∠CED＝ sin · cos ∠BEC－ cos sin ∠BEC＝ × － × ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知α，β∈（0， ）， cos α＝ ， cos （α＋β）＝ . （1）求 sin β的值； 解： ∵α，β∈（0， ），∴α＋β∈（0，π）， 又 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ， 则 sin α＝ ＝ ， sin （α＋β）＝ ＝ ， ∴ sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋ β） sin α＝ × － × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求2α＋β的值. 解： cos （2α＋β）＝ cos [（α＋β）＋α]＝ cos （α＋β） cos α－ sin α sin （α＋β）＝ × － × ＝0. 由α，β∈（0， ），得2α＋β∈（0， ）， ∴2α＋β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知函数f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＋ . （1）求函数f（x）的最小正周期； 解： 函数f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＋ ＝2 ＋ ＝2 sin （2x＋ ）＋ ， 故它的最小正周期为 ＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求函数f（x）的对称轴和对称中心. 解： 令2x＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，得x＝ ＋ ，k∈Z， 故函数f（x）的对称轴为x＝ ＋ ，k∈Z. 令2x＋ ＝kπ，k∈Z，得x＝ － ，k∈Z， 故函数f（x）的对称中心为 ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $