9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

第2课时　向量数量积的坐标表示 1 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角（数学抽象）. 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）. 【问题】　（1）如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b？ （2）a⊥b如何用坐标来表示？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　向量数量积的坐标表示 1. 向量数量积的坐标计算公式 已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝ ⁠. 2. 向量长度（模）的坐标计算公式 （1）设a＝（x，y），则a2＝ ，即｜a｜＝ ⁠； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则｜ ｜ ＝ ⁠. x1x2＋y1y2　 x2＋y2　 　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 向量夹角的坐标计算公式 设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），它们的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ 　 　. 4. 向量垂直的充要条件 若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.即a⊥b⇔ ⁠ ⁠. 　 x1x2 ＋y1y2＝0　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列结果中正确的是（　　） A. 若a＝（1，0），b＝（0，2），则a⊥b B. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则a＝b C. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则｜a｜＝｜b｜ D. 若a＝（1，2），b＝（0，1），则｜a＋2b｜＝4 √ √ 解析： 　对于A，a·b＝0，则a⊥b，故A正确；对于B，a＝－b，故 B错误；对于C，｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，故C正确；对于D，a＋2b＝ （1，4），｜a＋2b｜＝ ，故D错误.故选A、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知a＝（－2，4），b＝（1，2），则a·b＝（　　） A. 0 B. 10 C. 6 D. －10 解析： 由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. （2025·徐州期中）若向量a＝（ ，1），b＝（1， ），则a与b 的夹角为 ⁠. 解析：由题意得a·b＝（ ，1）·（1， ）＝2 ，｜a｜＝｜b｜＝ ＝2.设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ . 又因为0≤θ≤π，所以θ＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量数量积的坐标运算 【例1】　（链接教科书第35页例1）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）. （1）求a·（a－b）； 解： 法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2）， 所以a－b＝（－4，0）. 所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－4）＋2×0 ＝4. 法二　a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求（a＋b）·（2a－b）. 解： 因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4）， 2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5， 2）， 所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝ －2. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 向量数量积坐标运算的方法 　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解 题时通常有三种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运 算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算；三是若题 中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之差求出向量的坐 标，再由向量坐标求得数量积. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a－b）·c＝ 30，则x＝（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析： 　由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝30，c＝ （3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上， ＝ 2 ，则 · ＝ ⁠. 解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E （2，1），D（2，2），B（0，0），C（2，0），因 为 ＝2 ，所以F（ ，2）.所以 ＝（2，1）， ＝（ ，2）－（2，0）＝（－ ，2），所以 · ＝（2，1）·（－ ，2）＝2×（－ ）＋1×2＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜向量的模、夹角、垂直问题 【例2】　（链接教科书第35页例2）已知点A（1， 0）， B（3，1），C （4， －1），若a＝ ，b＝ .求： （1）｜a－2b｜； 解： 由题意，得a＝ ＝（2， 1），b＝ ＝（3， －1）， 因为a－2b＝（2， 1）－2（3， －1）＝（－4， 3）， 所以｜a－2b｜＝ ＝5. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）∠BAC的大小； 解： a与b的夹角为∠BAC， 因为a·b＝2×3＋1×（－1）＝5， ｜a｜＝ ， ｜b｜＝ ， 所以 cos ∠BAC＝ ＝ ＝ . 又∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC＝ . （3）B到直线AC的距离； 解： B到AC距离为｜ ｜ sin ∠BAC＝ ｜ ｜ sin ＝ · ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （4）若（λa－b）⊥（a－2b），求λ的值. 解： λa－b＝（2λ－3， λ＋1），a－2b＝（－4， 3）， 因为（λa－b）⊥（a－2b）， 所以（λa－b）·（a－2b）＝0. 即－4（2λ－3）＋3（λ＋1）＝0， 解得λ＝3. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）若本例条件不变，试求a＋b与a－b的夹角θ的余弦值. 解：因为a＋b＝ ＋ ＝（5，0），a－b＝ － ＝（－1，2）， 所以（a＋b）·（a－b）＝5×（－1）＋0×2＝－5，又｜a＋b｜＝ 5，｜a－b｜＝ ， 故 cos θ＝ ＝ ＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解： ＝（－4，2）， ＝（－3，k＋1）， ＝（1，k－1）， 若∠A＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－4）×（－3）＋2×（k＋ 1）＝0，解得k＝－7； 若∠B＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－4）×1＋2×（k－1）＝ 0，解得k＝3； 若∠C＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－3）×1＋（k＋1）×（k－ 1）＝0，解得k＝±2. 所以k的值为－7或3或±2. 2. （变条件，变设问）若本例中的条件改为“已知点A（5， －1）， B（1，1），C（2， k），设k为实数，△ABC为直角三角形”，试求k 的值. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量 与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋ y2，于是有｜a｜＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由 cos θ＝ ＝ 直接求出 cos θ； （2）注意事项：利用三角函数值 cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范 围是0°≤θ≤180°.利用 cos θ＝ 判断θ的值时，要注意 cos θ ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°； cos θ＞0时，也有 两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5 ，则｜b｜＝ （　　） A. B. C. 5 D. 25 解析： 　∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5 ，∴（a＋b）2 ＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴｜b｜ ＝5.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知△ABC的顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（3，4），则 cos A＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由题意得 ＝（3，0）， ＝（2，2），则 cos A＝ ＝ ＝ .故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜向量坐标运算的综合应用 【例3】　已知三点A（2，1），B（3，2），D（－1，4）. （1）求证：AB⊥AD； 解： 证明：∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4）， ∴ ＝（1，1）， ＝（－3，3）， 则 · ＝1×（－3）＋1×3＝0， ∴ ⊥ ，即AB⊥AD. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的 长度. 解： ∵ ⊥ ，四边形ABCD为矩形，∴ ＝ . 设点C的坐标为（x，y）， 则 ＝（x＋1，y－4）， 从而有 即 ∴点C的坐标为（0，5）. ＝（－2，4）， ＝ ＝2 ， 故点C的坐标为（0，5），矩形ABCD的对角线的长度为2 . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用向量解决平面几何问题的基本思路 　　利用向量可以解决与长度、角度、垂直等有关的几何问题，其解题的 关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系， 借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点， PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF. 求证：（1）DP⊥EF； 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平 面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（0，0），B （1，0），D（0，1），从而 ＝（1，0）， ＝（0， 1）. 由已知，可设P（a，a），其中0＜a＜1，则E（a， 0），F（1，a），因此 ＝（a，a－1）， ＝（1－ a，a）. （1）因为 · ＝a（1－a）＋（a－1）a＝0，所以 ⊥ ，因此 DP⊥EF. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）DP＝EF. 证明： 因为｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜ ＝ ＝ ，所以｜ ｜＝｜ ｜，因此DP ＝EF. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. （2025·徐州期末）已知向量a＝（3，2），b＝（－2，－1），则｜a ＋2b｜＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 解析： 　由题意，得a＋2b＝（3，2）＋2（－2，－1）＝（－1，0）， 则｜a＋2b｜＝ ＝1.故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕设向量a＝（2，0），b＝（1，1），则下列结论中正确的是 （　　） A. ｜a｜＝b2 B. a·b＝0 C. ｜a｜＝｜b｜ D. （a－b）⊥b 解析： 　因为｜a｜＝2，b2＝｜b｜2＝2，所以｜a｜＝b2，故A正 确；a·b＝2×1＋0×1＝2≠0，故B错误；｜a｜＝2，｜b｜＝ ，故｜ a｜≠｜b｜，故C错误；（a－b）·b＝a·b－b2＝2－2＝0，故D正确.故 选A、D. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 设向量a＝（1，2m），b＝（m＋1，1），c＝（2，m）.若（a＋ c）⊥b，则｜a｜＝ ⁠. 解析：a＋c＝（3，3m），由（a＋c）⊥b，可得（a＋c）·b＝0，即3 （m＋1）＋3m＝0，解得m＝－ ，则a＝（1，－1），故｜a｜＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知a＝（1，2），b＝（1，－1）. （1）若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值； 解： 因为a＝（1，2），b＝（1，－1）， 所以2a＋b＝（3，3），a－b＝（0，3）. 所以 cos θ＝ ＝ ＝ . 因为θ∈[0，π]，所以θ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若2a＋b与ka－b垂直，求k的值. 解： ka－b＝（k－1，2k＋1），依题意得（3，3）·（k－1，2k＋ 1）＝0， 所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，则x＝（　　） A. 3 B. C. － D. －3 解析： 　由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，∴x＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知a＝（1，0），｜b｜＝3，a⊥（a＋b），则 ＝（　　） A. 12 B. 2 C. 8 D. 2 解析： 　易知a·（a＋b）＝0，即a2＋a·b＝0，又a＝（1，0），则a2 ＝1，a·b＝－1，所以 ＝ ＝ ＝ ＝2 .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状是 （　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 解析： 　∵ ＝（8，－4）， ＝（2，4），∴ · ＝8×2＋（－ 4）×4＝0，∴ ⊥ ，∴△ABC是直角三角形.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. （2025·南通期中）在矩形ABCD中，已知AB＝4，AD＝2，点P在CD 边上，满足 · ＝6，则 · ＝（　　） A. － B. 0 √ C. D. 解析： 　如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0）， B（4，0），C（4，2），D（0，2），设P（x，2）， 0≤x≤4，则 ＝（x，2）， ＝（4，0），所以 · ＝4x＝6，得x＝ ，所以 ＝（ ，2）， ＝（－ ，2），所以 · ＝－ ＋4＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕已知a＝（1，2），b＝（m，－1），则下列结论正确的是 （　　） A. 若｜b｜＝2，则m＝ B. 若a⊥b，则m＝2 C. 若｜a｜＝｜b｜，则m＝2 D. 若m＝－3，则a，b的夹角为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　若｜b｜＝2，则 ＝4，解得m＝± ，所以A错 误；若a⊥b，则m－2＝0，解得m＝2，所以B正确；若｜a｜＝｜ b｜，则 ＝ ，解得m＝2或m＝－2，所以C错误；若m＝－ 3，则b＝（－3，－1），设向量a与b的夹角为θ，可得 cos θ＝ ＝ ＝－ ，因为θ∈[0，π]，所以θ＝ ，所以D 正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在α 的终边上，点Q（－3，－4），且tan α＝－2，则 与 夹角的余弦值 可能为（　　） A. － B. C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵tan α＝－2，∴可设P（x，－2x）， 与 的夹角为 θ，则 cos θ＝ ＝ ，当x＞0时， cos θ＝ ，当x ＜0时， cos θ＝－ .故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. （2025·淮安期末）已知向量a＝（1，－2），b＝（－3，x），且 a⊥b，则x＝ ⁠. 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即－3－2x＝0，解得x＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知向量m＝（1，1），向量n与向量m的夹角为 ，且m·n＝－1， 则｜n｜＝ ⁠. 解析： cos ＝ ＝ ＝－ ，｜n｜＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则实 数λ的取值范围是 ⁠. 解析：｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，a·b＝λ－1.又∵a，b的夹角α 为钝角，∴ 即 ∴λ＜1且λ≠－ 1.∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）. （－∞，－1）∪（－1，1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，－2），B（2，3），C（－ 2，－1）. （1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； 解： 由题设知 ＝（3，5）， ＝（－1，1）， 则 ＋ ＝（2，6）， － ＝（4，4）. 所以｜ ＋ ｜＝2 ，｜ － ｜＝4 . 故所求的两条对角线的长分别为2 ，4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）设实数t满足（ －t ）· ＝0，求t的值. 解： 由题设知， ＝（－2，－1）， －t ＝（3＋2t，5＋t）， 由（ －t ）· ＝0，得（3＋2t，5＋t）·（－2，－1）＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 若向量 ＝（3，－1），n＝（2，1），且n· ＝7，则n· ＝ （　　） A. －2 B. 2 C. －2或2 D. 0 解析： 　∵ ＋ ＝ ，∴n·（ ＋ ）＝n· ，即n· ＋ n· ＝n· ，∴n· ＝n· －n· ＝7－5＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. （2025·徐州期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在 另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角 形”.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB＝2，点P在 上，且∠PBC ＝45°，则 · － · ＝（　　） A. 2 －2 B. 2－2 C. 4－2 D. 2 －4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如图，以B为坐标原点，BC所在直线为x 轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，因 为｜BP｜＝｜AB｜＝2，∠PBC＝45°，所以P（2 cos 45°，2 sin 45°），即P（ ， ），且B（0， 0），C（2，0），A（1， ），所以 ＝（－1，－ ）， ＝（1，－ ）， ＝（ ， ）， ＝（ －2， ），所以 · － · ＝－1＋3－（4－2 ）＝2 －2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知O为坐标原点，向量 ＝（2，2）， ＝（4，1），在x轴上 有一点P使得 · 有最小值，则点P的坐标为 ⁠. 解析：设点P的坐标为（x，0），则 ＝（x－2，－2）， ＝（x－ 4，－1）.所以 · ＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－ 6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时， · 有最小值1.此时点P的 坐标为（3，0）. （3，0）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. （2025·南通期中）已知向量a，b满足2a－b＝（5，－8），a－2b ＝（7，－10），求： （1） ； 解： 由题意得3（a－b）＝（2a－b）＋（a－2b）＝（5＋7，－8 －10）＝（12，－18）. 故a－b＝（4，－6），所以 ＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）向量a＋b与a－b的夹角的余弦值. 解： a＋b＝（2a－b）－（a－2b）＝（5－7，－8＋10）＝（－ 2，2）， 则 ＝ ＝2 ，设向量a＋b与a－b的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β， sin β），且｜ka＋b｜ ＝ ｜a－kb｜（k＞0）. （1）用k表示数量积a·b； 解：由｜ka＋b｜＝ ｜a－kb｜，得（ka＋b）2＝3（a－kb）2， 即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2， 所以（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0. 又a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β， sin β），所以｜a｜＝ ｜b｜＝1， 所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角. 解： 由（1）得a·b＝ ＝ （k＋ ）. 令f（k）＝ （k＋ ）， 由函数的单调性，得f（k）＝ （k＋ ）在（0，1]上单调递减，在（1， ＋∞）上单调递增， 所以当k＝1时，f（k）min＝f（1）＝ ×（1＋1）＝ . 设此时a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，所以θ＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $