9.2.3 第2课时 向量数量积的运算律及性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

第2课时　向量数量积的运算律及性质 1 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 2 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律.例如，向量的加法满 足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以及实数 λ，有a＋b＝b＋a，λ（a＋b）＝λa＋λb. 【问题】　根据向量数量积的定义，向量数量积的运算满足哪些运算律？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　向量数量积的运算律 1. 向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 （1）交换律：a·b＝ ⁠； （2）数乘结合律：（λa）·b＝a·（λb）＝ ＝λa·b； （3）分配律：（a＋b）·c＝ ⁠. b·a　 λ（a·b）　 a·c＋b·c　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：（1）向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向 量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；（2）（a·b）·c≠a·（b·c），因 为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共 线，a·（b·c）与向量a共线，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情 况下不成立. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）2＝ ⁠ （a－b）2＝a2－2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2a·b＋b2 （a＋b）（a－b）＝a2－b2 （a＋b）·（a－b）＝ ⁠ （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋ 2ab＋2bc＋2ca （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋ 2b·c＋2c·a a2＋2a·b＋b2　 a2－b2　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，则（2a－3b）·（2a＋3b）＝ ⁠. 解析：（2a－3b）·（2a＋3b）＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65. 2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝ ，且（a＋b）与a 垂直，则a与b的夹角 是 ⁠. 解析：∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－a2＝－1.设a与b的夹角 为θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]，∴θ＝ . －65　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b夹角为60°，则｜a－4b｜ ＝ ⁠. 解析：｜a－4b｜＝ ＝ ＝ ＝2 . 2 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量的数量积的运算律及性质 【例1】　（1）〔多选〕设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共 线，给出下列结论，正确的是（　ACD　） A. a·c－b·c＝（a－b）·c B. （b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直 C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 ACD 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）（2025·淮安期末）在平行四边形ABCD中，若｜ ｜＝2｜ ｜＝ 2，则 · ＝（　C　） A. －1 B. －2 C. －3 D. 1 C 解析： ＝ ＋ ， ＝ － ，则 · ＝（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝－3.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求含向量线性运算的数量积的一般方法 　　运用向量数量积的运算律及多项式乘法展开化简，使其转化为两 个单一向量的数量积求解.对几何图形中向量的数量积的运算应先利用 向量的线性运算及运算律将其转化为两向量数量积的和、差形式，再 进行实数运算. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则（e1－e2）·（e1＋2e2）＝ （　　） A. － B. －1 C. 0 D. 解析： 　因为e1·e2＝ · cos 60°＝1×1× ＝ ，所以（e1－ e2）·（e1＋2e2）＝ ＋e1·e2－2 ＝1＋ －2＝－ .故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2 ，AD＝5，∠BAD＝30°， 点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则 · ＝ ⁠. 解析：如图，由AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE ＝∠EAB＝30°.又AB＝2 ，所以AE＝BE＝2.因为 ＝ － ，所以 · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝2×5× cos 60°－2×2 × cos 30°＝－1. －1　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜向量的夹角与模 【例2】　已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61. （1）求a与b的夹角θ； 解： 由（2a－3b）·（2a＋b）＝61，得4｜a｜2－4a·b－3｜b｜2 ＝61. 将｜a｜＝4，｜b｜＝3代入上式，得a·b＝－6， 所以 cos θ＝ ＝ ＝－ . 又0≤θ≤π，所以θ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求｜a＋b｜. 解： 因为｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2 ＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝13， 所以｜a＋b｜＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 求向量模的一般思路及常用公式 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 求向量a，b的夹角θ的思路 （1）求向量的夹角的关键是计算a·b及｜a｜｜b｜，在此基础上结合 数量积的定义或性质计算 cos θ＝ ，最后借助θ∈[0，π]， 求出θ值； （2）在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中，常利用消元思想 计算 cos θ的值. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知单位向量e1，e2满足（e1＋e2）·e1＝ ，则e1，e2的夹角为 （　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由题意， ＝ ＝1，∵（e1＋e2）·e1＝ ，则 ＋e1·e2＝ ，解得e1·e2＝ .设e1，e2的夹角为α，∴ cos α＝ ＝ ，又 α∈ ，∴α＝ ，∴e1，e2的夹角为 .故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知向量a，b的夹角为 ，且｜a｜＝2，｜b｜＝3，则 ＝ （　　） A. 19 B. 7 C. D. 解析： 　因为a·b＝2×3× cos ＝3，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ .故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜与垂直有关的问题 【例3】　已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的余弦 值为 ，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　） A. 4 B. －4 C. D. － 解析： 　由题意知， ＝ ＝ ，所以m·n＝ ｜n｜2＝ n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即 tn2＋n2＝0，所以t ＝－4. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求解向量垂直问题的一般思路 　　对于非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0是向量中非常重要的性质，其 作用主要有：（1）证明两向量垂直；（2）利用a·b＝0列方程求未知数的 值；（3）解决平面几何图形中有关垂直的问题. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，若 ＝a， ＝b， ＝c，且（a－b）⊥c，则 △ABC的形状是（　　） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 解析： 　c＝ ＝ － ＝－a－b，由（a－b）⊥c得，（a－ b）·c＝0，即（a－b）·（－a－b）＝0，化简得，｜a｜2－｜b｜2＝ 0，即｜a｜＝｜b｜，△ABC是等腰三角形.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知向量a，b，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，（a＋2b）⊥（3a－b）， 则向量a与b夹角的大小为 ⁠. 解析：设a与b的夹角为θ，由已知得（a＋2b）·（3a－b）＝3a2＋ 5a·b－2b2＝3＋10 cos θ－8＝0，所以 cos θ＝ ，又0°≤θ≤180°， 所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°. 60°　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝ （　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 解析： 　a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （2025·盐城期末）若向量a，b为单位向量，且 ＝ ，则a·b ＝（　　） A. － B. －1 C. D. 1 解析： 　因为向量a，b为单位向量，所以｜a｜＝1，｜b｜＝1.因为 ＝ ，所以｜a－2b｜2＝（a－2b）2＝a2－4a·b＋4b2＝｜a｜ 2－4a·b＋4｜b｜2＝5－4a·b＝（ ）2＝7，所以a·b＝－ .故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝3，｜a＋b｜＝ ，则｜ b｜＝ ⁠. 解析：∵a，b的夹角为60°，｜a｜＝3，∴a·b＝｜a｜｜b｜ cos 60° ＝ ｜b｜，又｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝9＋2×（ ｜b｜） ＋｜b｜2＝13，即｜b｜2＋3｜b｜－4＝0，解得｜b｜＝1或｜b｜＝－4 （舍去）. 1　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知a，b均为单位向量，（2a＋b）·（a－2b）＝－ ，则a与b夹 角的大小为 ⁠. 解析：∵（2a＋b）·（a－2b）＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－ ，∴a·b＝ .设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ .又 ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°. 30°　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. （2025·常州期中）已知单位向量a，b满足 ＝ ，则a·（a＋ b）＝（　　） A. B. C. 4 D. 2 解析： 　因为（a－2b）2＝a2＋4b2－4a·b＝5－4a·b＝2，所以a·b＝ ，所以a·（a＋b）＝a2＋a·b＝1＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 若｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，则｜a＋b｜＝ （　　） A. B. C. 7 D. 3 解析： 　∵｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，∴｜ a｜2－2a·b＋｜b｜2＝1，即｜b｜2＝2a·b，a·（a－b）＝｜a｜2－ a·b＝1×1× ＝ ，即a·b＝ ，可得｜b｜＝1，∴｜a＋b｜2＝｜a｜2 ＋2a·b＋｜b｜2＝1＋2× ＋1＝3，即｜a＋b｜＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知非零向量a，b满足（a＋b）⊥（a－b），则（　　） A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜ C. a⊥b D. a∥b 解析： 　∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝0，∴｜ a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 设向量a，b满足｜a＋b｜＝ ，｜a－b｜＝ ，则a·b＝ （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 解析： 　｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2 ＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（ － ）·（ ＋ － 2 ）＝0，则△ABC的形状为（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 解析： 　因为（ － ）·（ ＋ －2 ）＝0，即 ·（ ＋ ）＝0，又因为 － ＝ ，所以（ － ）·（ ＋ ）＝ 0，即｜ ｜＝｜ ｜，所以△ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足 ＝ 2a， ＝2a＋b，下列结论正确的是（　　） A. a是单位向量 B. ∥b C. a·b＝1 D. ⊥（4a＋b） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，因为｜ ｜＝2， ＝2a，所以｜a｜＝ ＝1，即a是单位向量，故A正确；对于B，因为 ＝ － ＝2a＋b－ 2a＝b，所以 ∥b，故B正确；对于C，由 ＝2a＋b，得 ＝4a2 ＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2.所以a·b＝－ ＝－1≠1，故C错误； 对于D，因为 ＝b， ·（4a＋b）＝b·（4a＋b）＝4a·b＋b2＝0， 所以 ⊥（4a＋b）， 故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 设单位向量a，b的夹角的余弦值为－ ，则（2a－b）·（a＋b） ＝ ⁠. 解析：因为 cos ＜a，b＞＝－ ，所以a·b＝｜a｜｜b｜· cos ＜a，b＞ ＝－ ，则（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－ －1＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则a与 b的夹角θ＝ ⁠. 解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜b｜，两 边平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝－｜a｜2，则2｜ a｜｜b｜ cos θ＝－｜a｜2，∴ cos θ＝－ .又0°≤θ≤180°，∴θ＝ 120°. 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为 ，若向量2a＋kb与a＋b 垂直，则实数k的值为 ⁠. 解析：a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＝2×1× ＝1.因为2a＋kb与a＋b垂直， 所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋kb2＝0.所以 2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5. －5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知平面向量a，b满足｜a｜＝ ，｜b｜＝1，且a与b的夹角为 . （1）求a·b和 ； 解：由题意得a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝ ×1× cos ＝1， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若（a＋λb）⊥（2a－b），求实数λ的值. 解： 因为（a＋λb）⊥（2a－b），又由（1）知a·b＝1， 所以（a＋λb）·（2a－b）＝2a2＋（2λ－1）·a·b－λb2＝ 2× ＋（2λ－1）－λ＝3＋λ＝0， 解得λ＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. （2025·扬州期末）如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分 点，AB＝12，AC＝9，∠BAC＝60°，则 · ＝（　　） A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋ · ＋ · ＋ ＝ ×144＋ ×12×9× ＋ ×81＝32＋30＋ 18＝80.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，它们的夹角为60°，则 （　　） A. a·b＝1 B. ｜2a＋b｜＝2 C. ｜2a－b｜＝2 D. 向量a与向量a－b的夹角为90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 60°＝1×2× ＝1，故A 正确；对于B，｜2a＋b｜＝ ＝ ＝2 ，故B 正确；对于C，｜2a－b｜＝ ＝ ＝2，故C错 误；对于D，a·（a－b）＝a2－a·b＝1－1＝0，所以a⊥（a－b），故 D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点， 则 · ＝ ⁠. 13　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：∵N是BC边的中点，可得 ＝ （ ＋ ），∵M是△ABC的 外接圆的圆心，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠BAM＝ ｜ ｜2＝ ×42＝8，同理可得 · ＝ ｜ ｜2＝18，∴ · ＝ （ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝ ×8＋ ×18＝13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知在△ABC中，M是边BC的中点，N是边AB上的点，且 ＝ 2 .记 ＝a， ＝b. （1）用a，b表示向量 ； 解： 因为在△ABC中，M是边BC的中点，N是边 AB上的点，且 ＝2 ， 所以 ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝ － ＝ a－ b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若｜a｜＝ ｜b｜，且AM⊥CN，求∠BAC的大小. 解： ＝ a＋ b， ＝ － ＝ a－b， 因为AM⊥CN，所以 ⊥ ，即 · ＝0， 故（ a＋ b）·（ a－b）＝0，化简得 a2－ a·b－ b2＝0， 因为｜a｜＝ ｜b｜，所以a2＝ b2， 代入上式得 a·b＝ a2－ b2＝ × b2－ b2＝0， 即a·b＝0，所以 ⊥ ，即∠BAC＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动（含 C，D点）. （1）若点F是CD上靠近点C的三等分点，设 ＝λ ＋μ ，求λ ＋μ的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点， ∴ ＝ ＝ ， ＝－ ＝－ ， ∴ ＝ ＋ ＝－ ＋ ， 又 ＝λ ＋μ ， ∴λ＝－ ，μ＝ ，故λ＋μ＝－ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若AB＝2，当 · ＝1时，求 cos ∠EAF的值. 解： 设 ＝m （0≤m≤1）， 则 ＝ ＋ ＝ －m ， 又 ＝ ＋ ＝ ＋ ， · ＝0， ∴ · ＝（ ＋ ）·（ －m ）＝－m ＋ ＝－4m＋2＝1， 故m＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ∴ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋ ＝3＋2＝5， 易得｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ∴ cos ∠EAF＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $