9.2.2 第2课时 向量共线定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

第2课时　向量共线定理 1 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 2 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1 s的位移对应的向量用a表 示，那么在同方向上经过3 s的位移所对应的向量可用3a来表示，记b＝ 3a. 【问题】　（1）向量b与向量a共线吗？ （2）如果有一个实数λ，使得b＝λa，那么向量b与向量a共线吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　向量共线定理 　设a为非零向量，如果有一个实数λ，使 ，那么b与a 是 向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数 λ，使 ⁠. b＝λa　 共线　 b＝λa　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：（1）向量共线定理的代数形式及其推论：①代数形式：b∥a （a≠0）⇔存在唯一λ∈R使b＝λa；②推论：若a，b不共线，则λa ＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.（2）向量共线定理的几何形式及其推论：①几何 形式： ∥ ⇔存在唯一λ∈R使 ＝λ ；②推论： ∥ ⇔存 在x，y∈R使 ＝x ＋y 且x＋y＝1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 向量共线定理中为什么规定a≠0？ 提示：（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； （2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a 与b共线； （3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯一 一个实数λ矛盾. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是 （　　） A. b＝2a B. b＝－2a C. a＝2b D. a＝－2b √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕若非零向量e1与e2不共线，下列各组向量中，a与b一定共线 的是（　　） A. a＝－3e1，b＝2e1 B. a＝0，b＝－e2 C. a＝e1－e2，b＝－3e1＋3e2 D. a＝e1－e2，b＝e1＋2e2 √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 若e1与e2不共线，且e1与e1＋λe2共线，则λ＝ ⁠. 解析：∵e1与e1＋λe2共线，∴存在实数μ，使得e1＝μ（e1＋λe2）＝ μe1＋μλe2，∴ ∴λ＝0. 0　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量共线的判定及应用 角度1　判定向量共线 【例1】　（1）（链接教科书第18页例3）如图，已知D， E分别为△ABC的边AB，AC的中点.求证： 与 共线， 并将 用 线性表示； 解： 因为D，E分别是AB，AC的中点， 所以DE∥BC，所以 与 共线. 又DE＝ BC，且 与 同向，所以 ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知非零向量e1，e2不共线，若a＝e1－ e2，b＝5e1－e2，判断向 量a，b是否共线. 解： 因为b＝5a，所以a与b共线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 向量共线的判定方法 　　向量共线的判定一般是用向量共线定理，即a是一个非零向量，若存 在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线.向量共线 的判断（证明），需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表 示，由此判断共线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 角度2　证明或判断三点共线 【例2】　（链接教科书第21页习题11题）设a，b是不共线的两个非零向 量.若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，求证：A，B，C三点 共线. 证明：∵ ＝ － ＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b， ＝ － ＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2 ， ∴ 与 共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 证明或判断三点共线的方法 （1）一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数 λ，使得 ＝λ （或 ＝λ ， ＝λ 等）且两向量有公 共点； （2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x， y，使 ＝x ＋y 且x＋y＝1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 角度3　利用向量共线求参数 【例3】　（链接教科书第21页习题8题）（1）在△ABC中，已知D是AB 边上一点，若 ＝2 ， ＝ ＋λ ，则λ＝（　A　） A. B. C. － D. － √ 解析： 法一　由 ＝2 ，得 － ＝2（ － ），即 ＝ ＋ ，所以λ＝ . 法二　易知A、B、D三点共线，由共线向量的推论，可直接得到 ＋λ＝ 1，故λ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反， 则实数k＝ ⁠. 解析： 由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋ 2e2＝λ（8e1＋ke2）＝8λe1＋kλe2.∵e1，e2不共线，∴ 解得 或 ∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－ ，k＝－4. －4　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用向量共线求参数的方法 　　利用向量共线求参数，就是利用向量的加法、减法及数乘运算表示出 相关向量，再利用共线的条件转化为向量相等、相应向量的和相等，利用 待定系数法建立方程（组），解方程（组），求得参数的值.若解析过程 中出现λa＝μb（a，b不共线）的条件，则λ＝μ＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 〔多选〕向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是（　　） A. a∥b B. 向量a，b方向相反 C. ｜a｜＝3｜b｜ D. b＝－3a √ √ √ 解析： 　因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量 共线定理知，A正确；－3＜0，a与b方向相反，故B正确；由上可知｜ b｜＝3｜a｜，故C错误.故选A、B、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （2025·苏州汾湖高中月考）设a，b是不共线的两个非零向量. （1）若 ＝4a－2b， ＝6a＋2b， ＝2a－6b，求证：A，B， C三点共线； 解： 证明：因为 ＝ － ＝6a＋2b－（4a－2b）＝2a＋4b， ＝ － ＝2a－6b－（6a＋2b）＝－4a－8b＝－2（2a＋4b）＝ －2 ， 所以 ∥ ，又 与 有公共点B， 所以A，B，C三点共线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若4a＋ kb与 ka＋b共线，求实数k的值. 解：由4a＋ kb与 ka＋b共线，则存在实数λ，使得4a＋ kb＝ λ（ ka＋b）， 即（4－ λk）a＋（ k－λ）b＝0，又a，b是不共线的两个非零向量， 因此 解得 或 所以，实数k的值是±4. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜利用已知向量表示未知向量 【例4】　（链接教科书第198页例4）在△ABC中，已知D是BC上的点， 且CD＝2BD，设 ＝a， ＝b，试用a和b表示 . 解：∵B，C，D三点共线，且CD＝2BD， ∴ ＝ . ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ a＋ b. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 （变条件）若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用两种 方法解答吗？ 解：法一　如图①，∵ ＝ － ，且CD＝BD， ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ） ＝ ＋ ＝ （a＋b）. 法二　如图②，以AB，AC为邻边作▱ABEC，则 ＝ ＋ . ∵CD＝BD，∴D是AE的中点. ∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （a＋b）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 用已知向量表示未知向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行 四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向 量的方程. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA. 记 ＝m， ＝n，则 ＝（　　） A. 3m－2n B. －2m＋3n C. 3m＋2n D. 2m＋3n √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　法一　因为BD＝2DA，所以 ＝3 ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋3 ＝ ＋3（ － ）＝－2 ＋ 3 ＝－2m＋3n.故选B. 法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成出向量 ，由图易知 （即向量m）的系数为负数，排除A、C、 D，故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，已知ABCD是一个梯形， ∥ 且｜ ｜＝2｜ ｜，M， N分别是DC，AB的中点，已知 ＝e1， ＝e2，分别用e1，e2表示 ， . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：因为 ∥ ，｜ ｜＝2｜ ｜， 所以 ＝2 ， ＝ . 则 ＝ ＋ ＝e2＋ e1. 因为M，N分别为DC，AB的中点， 所以｜ ｜＝2｜ ｜，｜ ｜＝2｜ ｜， 则 ＝ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＝－ e1－e2＋ e1＝ e1－e2. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 若｜a｜＝5，b与a的方向相反，且｜b｜＝7，则a＝（　　） A. b B. － b C. b D. － b 解析： 　∵b与a的方向相反，∴存在实数λ＜0，使a＝λb，∴｜a｜ ＝－λ｜b｜，即5＝－λ×7，∴λ＝－ ，∴a＝－ b. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知a，b是不共线的非零向量， ＝a＋2b， ＝3a－b， ＝ 2a－3b，则四边形ABCD是（　　） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 解析： 　因为 ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝ （a＋2b）＋（3a－ b）＋（2a－3b）＝2（3a－b），因为 ＝3a－b，a，b是不共线的 非零向量，所以AD∥BC且｜ ｜≠｜ ｜，所以四边形ABCD是梯 形.故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，在△ABC中，向量 ＝3 ，且 ＝λ ＋μ （λ， μ∈R），则λ＋μ＝ ⁠. 解析：由题意知， ＝ ＋ ，所以 ＝3 ＝3 ＋3 ＝－ 3 ＋3 .所以 ＝ ＋ ＝ －3 ＋3 ＝－2 ＋3 ，则 λ＝－2，μ＝3，故λ＋μ＝1. 1　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知非零向量e1和e2不共线，试判断3e1＋2e2与3e1－2e2是否共线？ 解：若向量e1和e2不共线，设存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－ 2e2）， 则3e1＋2e2＝3λe1－2λe2，即（3－3λ）e1＝（－2λ－2）e2， 所以 λ无解，所以不存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－ 2e2）， 故两个向量不共线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知平面向量a，b不共线， ＝4a＋6b， ＝－a＋3b， ＝a ＋3b，则（　　） A. A，B，D三点共线 B. A，B，C三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A， ＝ ＋ ＝－a＋3b＋a＋3b＝6b，与 不共 线，故A错误；对于B， ＝4a＋6b， ＝－a＋3b，则 与 不共 线，故B错误；对于C， ＝－a＋3b， ＝a＋3b，则 与 不共 线，故C错误；对于D， ＝ ＋ ＝4a＋6b－a＋3b＝3a＋9b＝ 3 ，即 ∥ ，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共 线，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（　　） ①a＝5e1，b＝7e1； ②a＝ e1－ e2，b＝3e1－2e2； ③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 解析： 　①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝6 ＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k（e1＋e2），得 无解，故a与b不共线.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. （2025·徐州质检）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE 的中点，则 ＝（　　） A. ＋ B. ＋ C. ＋ D. ＋ √ 解析： 　因为E为AB的中点，F为CE的中点，所以 ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ＋ ）＝ ＋ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， ＝λ ＋ μ ，则λ＋μ＝（　　） A. － B. － C. D. √ 解析： 　如图， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ， 所以 ＝ － ，所以λ＝ ，μ＝－ ，故λ＋μ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕已知等边三角形ABC内接于☉O，D为线段OA的中点，E为 线段BC的中点，则 ＝（　　） A. ＋ B. － C. ＋ D. ＋ √ √ 解析： 　如图所示，则 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ － ＋ × ＝ ＋ .故 选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可 以使a，b共线的是（　　） A. 2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B. 存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0 C. 已知正五边形ABCDE，其中 ＝a， ＝b D. 已知梯形ABCD，其中 ＝a， ＝b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝ e，b＝ － e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－ b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为 梯形ABCD的两腰时，直线AB与直线CD是相交直线，则向量 ， 不 是共线向量，即不能判定a，b共线.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. （2025·苏州期中）已知a，b为两个不共线的非零向量，若ka＋b与a －2b共线，则k＝ ⁠. 解析：若ka＋b与a－2b共线，则ka＋b＝λ（a－2b），λ∈R，则ka ＋b＝λa－2λb，因为a，b为两个不共线的非零向量，故k＝λ，1＝ －2λ，解得k＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知四边形ABCD为正方形， ＝3 ，AP与CD交于点E，若 ＝ m ＋n ，则m－n＝ ⁠. 解析：由题作图如图所示，∵ ＝3 ，∴BP＝3CP， ∴AB＝3CE＝CD，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，∴m－n＝ － ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 如图，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上的动点，若 ＝x ＋ y ，则x＋y＝ ⁠. 解析：因为点D是线段BC的中点，所以 ＝2 ，所以 ＝x ＋ y ＝x ＋y .因为A，E，D三点共线，所以x＋y＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 设不共线向量e1，e2，若 ＝e1＋2e2， ＝－2e1－3e2， ＝6e1 ＋11e2. （1）计算2 ＋ － ； 解： 2 ＋ － ＝2（e1＋2e2）－2e1－3e2－6e1－11e2 ＝－6e1－10e2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）判断A，B，D三点是否共线，并说明理由. 解： 因为 ＝－2e1－3e2， ＝6e1＋11e2， 所以 ＝ ＋ ＝－2e1－3e2＋6e1＋11e2＝4e1＋8e2， 又 ＝e1＋2e2， 所以 ＝ ， 所以 和 共线，又 和 有公共点B， 所以A，B，D三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾 股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形 与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 ＝a， ＝b， ＝3 ，则 ＝（　　） A. a＋ b B. a＋ b C. a＋ b D. a＋ b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ （－ ＋ ）.解得 ＝ ＋ ，即 ＝ a＋ b. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕数学家欧拉在1765年提出如下定理：三角形的外心、重心、 垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一 半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.设点O， G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则 （　　） A. ＋ ＋ ＝0 B. ＋ ＝2 －4 C. ＝3 D. ｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如图，因为O，G，H分别是△ABC的外 心、重心、垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的 一半，所以 ＝ .对于A，因为G是重心，M为BC的 中点，所以 ＝2 .又 ＋ ＝2 ，所以 ＋＝ ，即 ＋ ＋ ＝0，故A正确；对于B，由A可得 ＝3 ，故 ＋ ＝2 ＝6 ＝2 ＋4 ＝2（ － ）＋4（ － ）＝2 －4 ＋4 －2 ＝2 －4 ，即 ＋ ＝2 －4 ，故B正确；对于C， ＝ － ＝2 －2 ＝2 ，故C不正确；对于D，因为点O为△ABC的外心，所以点O到三个顶点的距离相等，即｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足 ＋ ＋ ＝ ，则 △PBC与△ABC的面积之比是 ⁠. 解析：因为 ＋ ＋ ＝ ，所以 ＝ － － ＝ ＋ ＋ ＝2 ，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以 △PBC和△ABC的面积之比为2∶3. 2∶3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 在▱ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若 ＝ m ＋n （m，n∈R），求 的值. 解：根据题意作图如图所示，取BC的中点M，连接DM交AC 于点N. 在▱ABCD中，E是AD的中点，M是BC的中点，所 以ED∥BM，且ED＝BM，所以四边形BEDM是平行四边 形，所以BE∥MD. 在△AND中，E为AD的中点， 所以F为AN的中点，所以AF＝FN. 同理可得FN＝CN. 所以AF＝FN＝CN， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 所以 ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋ （ ＋ ）＝ － . 又因为 ＝m ＋n （m，n∈R）， 所以m＝ ，n＝－ ，所以 ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 设平面上不在一条直线上的三个点为O，A，B，当实数p，q满足 ＋ ＝1时，连接p ，q 两个向量终点的直线是否通过一个定点？证 明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：设 ＝ ＋ ，则C为定点.证明如下： 设p ＝ ，q ＝ ，C'为直线A'B'上任意一点. ∵O，A，B不共线， ∴存在实数m，n使 ＝m ＋n ＝mp ＋nq ，且m＋n＝1. ∵ ＋ ＝1，∴可设m＝ ，n＝ ，∴ ＝ ＋ . 又∵ ＋ ＝ ，∴C与C'重合. 故连接p ，q 两个向量终点的直线通过一个定点C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $