9.2.2.2 向量共线定理课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.2.2.2 向量共线定理 已知向量，，作图验证：向量与是相等的. 思考：与是什么关系？ 与是什么关系？ 与是什么关系？ 对于向量(≠)，，以及实数λ. 问题1：如果＝λ，那么向量与是否共线？ 问题2：如果向量与共线，那么＝λ？ 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. 向量共线定理 向量共线定理的代数形式及其推论： ①代数形式：b∥a(a≠0)⇔存在唯一λ∈R使b＝λa； ②推论：若a，b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0. 向量共线定理的几何形式及其推论： ①几何形式： ∥ ⇔存在唯一λ∈R使 ＝λ ； ②推论： ∥ ⇔存在x，y∈R使 ＝x ＋y 且x＋y＝1. 讨论：向量共线定理中为什么规定a≠0？ (1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； (2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线； (3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯一一个实数λ矛盾. 例1 (1)如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点. 求证： 与 共线，并将 用 线性表示. (2)已知非零向量e1，e2不共线，若a＝e1－ e2，b＝5e1－e2，判 断向量a，b是否共线. (1)证：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴ 与 共线. 又DE＝ BC，且 与 同向，∴ ＝ . (2)解：∵b＝5a，∴a与b共线. 归纳总结 向量共线的判定一般是用向量共线定理，即a是一个非零向量， 若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线. 向量共线的判断（证明），需要把两向量用共同的已知向量来表示， 进而互相表示，由此判断共线. 例2 如图，已知在平行四边形 ABCD 中， M ， N 分别是 DC ， BC 的中点， O 为 MN 与 AC 的交点.若 ＝ e1， ＝ e2，试用 e1， e2表示 ， . 解：∵ M ， N 分别是 DC ， BC 的中点， ∴ MN＝ BD . ∵ ＝ － ＝ e2－ e1， ∴ ＝2 ＝2e2－2e1. 又∵ AO 是△ AMN 的中线，∴ ＝ ( ＋ )＝ e2＋ e1. 归纳总结 用已知向量表示未知向量的求解思路： (1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中. (2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及数乘和线性运算用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 例3 已知 e1， e2是两个不共线的向量，若 ＝2 e1－8 e2， ＝ e1＋3 e2， ＝2 e1－ e2，求证： A ， B ， D 三点共线. 证明：∵ ＝ e1＋3 e2， ＝2 e1－ e2，∴ ＝ － ＝ e1－4 e2. 又 ＝2 e1－8 e2＝2（ e1－4 e2），∴ ＝2 ， ∴ ∥ . ∵ AB 与 BD 有公共点 B ，∴ A ， B ， D 三点共线. 变式：设e1，e2是两个不共线的向量，=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，若A，B，D三点共线，求实数k的值. 解:若A，B，D三点共线，则与共线.设=λ(λ∈R)， ∵=-=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2，∴2e1+ke2=λe1-4λe2. 由e1与e2不共线可得解得λ=2，k=-8. 归纳总结 一般地，如果存在实数λ，使得，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线. 一、向量共线定理的内容 二、向量共线定理的应用 1.已知向量证明共线 2.向量共线求参数 1.已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有(　 　) ①a＝5e1，b＝7e1； ②a＝ e1－ e2，b＝3e1－2e2； ③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 2.已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝-3a＋3b，则 (　 　) A.A，B，C 三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D 三点共线 D.B，C，D三点共线 A B 3.已知4-3=，则下列结论正确的是( 　　) A.A，B，C，D四点共线 B.C，B，D三点共线 C.||=|| D.||=3|| 4.设向量a，b不平行，向量2a－λb与a＋2b平行，则实数λ＝ ，此时向量2a－λb与a＋2b的方向 .（填“相同”或“相反”） BD －4　 相同　 $