9.2.1 第2课时 向量的减法运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

第2课时　向量的减法运算 1 1.了解向量加法与减法的关系（逻辑推理）. 2.掌握向量的减法运算，并理解其几何意义（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　在实数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是：减去一个数 等于加上这个数的相反数.如图，向量 是向量 与向量x的和. 【问题】　（1）类比实数的运算，向量的减法与加法有什么关系？ （2）图中，结合向量加法的几何表示，你能作出向量x吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　向量的减法 1. 定义：平面上任意两个向量a，b，如果向量x满足 ，则 向量x叫作a与b的差，记为 .求两个向量差的运算，叫作向量的 减法. b＋x＝a　 a－b　 2. 作法：如图，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则向量a－ b＝ ⁠. 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 法则：当向量 时，向量a，b，a－b正好能构成一个 三角形，因此求两 的作图方法也常称为向量作差的 ⁠ ⁠. 4. 几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以 减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 　　提醒：对向量减法的三点说明：①向量减法的实质是向量加法的逆运 算.利用相反向量的定义，－ ＝ ，就可以把减法转化为加法，即a －b＝a＋（－b）；②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起 点；③在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被 减”. a，b不共线　 向量差　 三角形法 则　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. ｜a＋b｜与｜a－b｜的几何意义 若a，b是不共线的向量，则｜a＋b｜与｜a－b｜的几何意义分别是： 如图所示，设 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b， ＝a－b.因为四边 形OACB是平行四边形，所以｜a＋b｜＝｜ ｜，｜a－b｜＝｜ ｜，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 在△ABC中，若 ＝a， ＝b，则 ＝（　　） A. a B. a＋b C. b－a D. a－b 解析： 　 ＝ － ＝a－b.故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 下列计算正确的是（　　） A. － ＝ B. － ＝ C. － ＝ D. ＋ ＝ 解析： 　∵ － ＝ ，∴B正确，A错误；∵ － ＝ ＋ ＝ ，∴C错误，D错误.故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 化简： ＋ ＋ － ＝ ⁠. 解析：原式＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0. 0　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量减法及其几何意义 【例1】　（链接教科书第13页例3）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b，再作 ＝c，则 ＝a＋b－c. 法二　如图②所示，在平面内任取一点 O，作 ＝a， ＝b，则 ＝a＋ b，再作 ＝c，连接OC，则 ＝a＋ b－c. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求作两个向量的差向量的两种思路 （1）转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋ （－b）即可； （2）用向量减法的三角形法则，即通过平移使两个向量的起点重合，则 差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，O为△ABC内一点， ＝a， ＝b， ＝c，求作： （1）向量b＋c－a； 解： 以 ， 为邻边作▱OBDC， 如图，连接OD，AD， 则 ＝ ＋ ＝b＋c， ＝ － ＝b＋c－a. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）向量a－b－c. 解： 由a－b－c＝a－（b＋c），如图， 作▱OBEC，连接OE，则 ＝ ＋ ＝b＋c，连接 AE，则 ＝a－（b＋c）＝a－b－c. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜向量的减法运算 【例2】　（链接教科书第15页练习4题）（1）如图，P，Q是△ABC的 边BC上的两点，且BP＝QC，则化简 ＋ － － 的结果为 （　A　） A. 0 B. C. D. 解析：　 ＋ － － ＝ － ＋ － ＝ ＋ ＝0，故 选A. A 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）化简：（ ＋ ＋ ）－（ － － ）. 解：（ ＋ ＋ ）－（ － － ）＝ ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 向量减法运算的常用方法 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 化简：（1） － － ＋ ＋ ； 解： － － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ － ＝ . （2）（ － ）－（ － ）. 解： 法一　（ － ）－（ － ）＝ － － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　（ － ）－（ － ）＝ － － ＋ ＝（ － ）－ ＋ ＝ － ＋ ＝ ＋ ＝0. 法三　设O是平面内任意一点，则（ － ）－（ － ）＝ － － ＋ ＝（ － ）－（ － ）－（ － ）＋（ － ）＝ － － ＋ － ＋ ＋ － ＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜向量加、减法法则的综合应用 【例3】　（链接教科书第14页例4）如图，点O是▱ABCD的两条对角线 的交点， ＝a， ＝b. （1）试用向量a，b表示向量 ， ； 解： 由向量加法的平行四边形法则，得 ＝a＋b； 同样，由向量减法的三角形法则，知 ＝ － ＝a－b. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若 ＝c，求证：c－b－a＝ . 解： 证明：c－b－a＝ － － ＝ ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＝ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 　（变设问）本例条件不变，当a，b满足什么条件时，｜a＋b｜＝｜a －b｜. 解：｜a＋b｜＝｜a－b｜表示平行四边形的两条对角线长度相等，这样 的平行四边形为矩形，故a，b应互相垂直. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 （1）一个关键：一定要将两个向量之间的运算放在同一个三角形中，可 以通过平移其中的一个向量来达到此目的； （2）三点注意：①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形 三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运 算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且 ＝a， ＝b， ＝c，试用向量a，b，c表示向量 ， ， . 解：由平行四边形的性质可知 ＝ ＝c， 由向量的减法可知 ＝ － ＝b－a， 由向量的加法可知 ＝ ＋ ＝b－a＋c. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜向量加减法几何意义的应用 【例4】　（链接教科书第16页习题14题）已知｜ ｜＝6，｜ ｜＝ 9，求： （1）｜ － ｜的取值范围； 解： ∵｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ － ｜≤｜ ｜＋｜ ｜，且｜ ｜＝9，｜ ｜＝6， ∴3≤｜ － ｜≤15， 当 与 同向时，｜ － ｜＝3；当 与 反向时，｜ － ｜＝15. ∴｜ － ｜的取值范围为[3，15]. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）｜ ＋ ｜的取值范围. 解： 由｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ ＋ ｜≤｜ ｜＋｜ ｜，且｜ ｜＝6，｜ ｜＝9， ∴3≤｜ ＋ ｜≤15. 当 与 同向时，｜ ＋ ｜＝15；当 与 反向时，｜ ＋ ｜＝3. ∴｜ ＋ ｜的取值范围为[3，15]. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 向量加减法几何意义的应用 （1）由题意作出相应的几何图形，构造有关向量，一般作图思路为①首 尾相连对应和；②起点相同对应差； （2）利用三角形法则或平行四边形法则，对向量进行加减运算； （3）弄懂a＋b，a－b的几何意义，正确理解｜a｜－｜b｜≤｜ a±b｜≤｜a｜＋｜b｜的几何含义及等号成立的条件. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 若非零向量a，b满足｜a－b｜＝｜b｜，则（　　） A. ｜2a｜＞｜2a－b｜ B. ｜2a｜＜｜2a－b｜ C. ｜2b｜＞｜a－2b｜ D. ｜2b｜≤｜a－2b｜ 解析： 　∵｜a－b｜＝｜b｜，∴｜a－2b｜＝｜a－b－b｜≤｜a－ b｜＋｜b｜＝｜2b｜.若｜a－2b｜＝｜2b｜，由｜a－b｜＝｜b｜， 则a必为零向量，∴这与a，b非零向量矛盾，即｜a－2b｜≠｜2b｜， ∴｜2b｜＞｜a－2b｜.同理知无法判断｜2a｜，｜2a－b｜之间的大小 关系.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且 ＝ a， ＝b，则 可以表示为（　　） A. a＋b B. a－b C. b－a D. －a－b 解析： 　在平行四边形ABCD中，依题意， ＝－ ＝－a，而 ＝ b，所以 ＝ － ＝－a－b.故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕下列四个等式中正确的是（　　） A. a－b＝b－a B. －（－a）＝a C. ＋ ＋ ＝0 D. a＋（－a）＝0 解析： 　A中，a－b＝－（b－a），故A错误；D中，a＋（－a）＝ 0，故D错误；B、C正确.故选B、C. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a与b的夹角 为 ⁠. 解析：由题意可知a，b，a－b所在有向线段可构成等边三角形，故a， b的夹角为60°. 60°　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知｜a｜＝8，｜b｜＝6，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，求｜a－b｜. 解：设 ＝a， ＝b，以AB，AD为邻边作平行四边 形ABCD，如图所示， 则 ＝a＋b， ＝a－b，因为｜a＋b｜＝｜a－ b｜，所以｜ ｜＝｜ ｜. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB. 在Rt△DAB中，｜ ｜＝｜a｜＝8，｜ ｜＝｜b｜＝6， 由勾股定理，得｜ ｜＝ ＝ ＝10，所以 ｜a－b｜＝10. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 化简： ＋ － ＝（　　） A. B. C. D. 解析： ＋ － ＝ － ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（　　） A. a＋b B. b－a C. c－b D. b－c 解析： 　由题可得 ＝ ＝ ＝ － ＝b－c，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在四边形ABCD中， ＝ ，若｜ － ｜＝｜ － ｜，则 四边形ABCD是（　　） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定 解析： 　∵ ＝ ，∴四边形ABCD为平行四边形.又∵｜ － ｜ ＝｜ － ｜，∴｜ ｜＝｜ ｜，∴四边形ABCD为矩形.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 在如图所示的四边形ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（　　） A. a－b＋c B. b－（a＋c） C. a＋b＋c D. b－a＋c 解析： 　 ＝－ ＋ ＋ ＝－b＋a＋c＝a－b＋c.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕如图，在五边形ABCDE中，下列运算结果为 的是（　　） A. ＋ － B. ＋ C. － D. － 解析： 　 ＋ － ＝ ＋ ＝ ，故A正确； ＋ ＝ ，故B正确； － ＝ ＋ ＝ ，故C错误； － ＝ ＋ ≠ ，故D错误.故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕对于菱形ABCD，下列各式正确的是（　　） A. ＝ B. ｜ ｜＝｜ ｜ C. ｜ － ｜＝｜ ＋ ｜ D. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　向量 与 的方向不同，但它们的模相等，所以B正确， A错误；因为｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，｜ ＋ ｜＝ 2｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜ ＋ ｜， 所以C正确；因为｜ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜ － ｜＝｜ ｜，所以D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则 － － ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析： － － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图，在边长为 的等边△ABC中，D是BC上的中点，则｜ ＋ － ｜＝ ⁠. 解析： ＋ － ＝ － ＝ ，所以｜ ＋ － ｜＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a－b与b的 夹角为 ⁠. 135°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：如图， ＝a， ＝b，则 ＝a－b，设最 小的小正方形网格长度为1，则｜ ｜＝｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2 ，所以｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，所以三角形OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝ 45°，向量a－b与b的夹角为∠OBA的补角，所以向 量a－b与b的夹角为135°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题： （1）用a，d，e表示 ； （1） ＝ ＋ ＋ ＝a＋d＋e. 解：由图知， ＝a， ＝b， ＝c， ＝d， ＝e. （2）用b，c表示 ； 解： ＝ － ＝－ － ＝－b－c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）用a，b，e表示 ； 解： ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋e. （4）用d，c表示 . 解： ＝－ ＝－（ ＋ ）＝－c－d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 边长为1的正三角形ABC中，｜ － ｜＝（　　） A. 1 B. 2 C. D. √ 解析： 　如图延长AB到D. 使AB＝BD. ∴ ＝ ， ∴｜ － ｜＝｜ － ｜＝｜ ｜，∵△ABC是边长 为1的正三角形.∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°， ∴△ACD为直角三角形，∴｜ ｜＝ ＝ ＝ ，∴｜ － ｜＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则有 （　　） A. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜ B. ｜ － ｜＝｜ － ｜ C. ｜ － ｜＝｜ － ｜ D. ｜ － ｜2＞｜ － ｜2＋｜ － ｜2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由条件可知｜ ｜＝｜ ｜，以 ， 为邻边的四边形 是正方形，对角线相等，根据向量加、减法则可知｜ ＋ ｜＝｜ － ｜，故A正确；｜ － ｜＝｜ ｜，｜ － ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜ － ｜，故B正确；｜ － ｜ ＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜， 所以｜ － ｜＝｜ － ｜，故C正确；｜ － ｜2＝｜ ｜ 2，｜ － ｜2＝｜ ｜2，｜ － ｜2＝｜ ｜2，由条件可知｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，即｜ － ｜2＝｜ － ｜2＋｜ － ｜2，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知非零向量a，b满足｜a｜＝ ＋1，｜b｜＝ －1，且｜a－ b｜＝4，则｜a＋b｜＝ ⁠. 解析：如图，设 ＝a， ＝b，则｜ ｜＝｜a－b｜. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则｜ ｜＝｜a ＋b｜，由于（ ＋1）2＋（ －1）2＝42，因此｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，因此△OAB是直角三角形，从而OA⊥OB，所以四边形OACB是矩形，所以｜ ｜＝｜ ｜＝4，即｜a＋b｜＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，在▱ABCD中， ＝a， ＝b. （1）当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？ 解： ＝ ＋ ＝a＋b， ＝ － ＝a－b. 若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD. 因为当｜a｜＝｜b｜时，四边形ABCD为菱形，此时 AC⊥BD，故当a，b满足｜a｜＝｜b｜时，a＋b与a－b 所在的直线互相垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？ 解： 不可能.因为▱ABCD的两对角线不可能平 行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相 等向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图，O为△ABC的外心，H为垂心， 求证： ＝ ＋ ＋ . 证明：如图，连接AH，HC，延长BO交圆O于点D，连接 DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC. 又AH⊥BC，CH⊥AB， 所以CH∥DA，AH∥DC， 所以四边形AHCD是平行四边形，所以 ＝ . 又 ＝ － ＝ ＋ ， 所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $