第5讲 导数大题(复习课）(学霸满分练)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第5讲 导数大题 一、利用导数证明或求解函数的单调区间（不含参） 1．已知函数.讨论的单调性. 【答案】在上单调递减，在上单调递增. 【分析】求导函数，由得增区间，由得减区间. 【详解】的定义域为，. 令，得；令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 2．设为函数的导函数，已知，且的图像经过点． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和；单调递减区间为 【分析】(1)求导，计算得到切线斜率，点斜式求切线方程. (2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间. 【详解】（1） ，则，得． 由题意，可得曲线在点处的切线方程为，即． （2）由已知得． 又由（1）知，所以． 故． ， 由，得，或；由，得． 故在上的单调递增区间为和；单调递减区间为． 二、分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参） 3．已知函数．讨论函数的单调性． 【分析】先对函数求导，然后分，，三种情况讨论导数的正负即可求解. 【详解】因为， 所以的定义域为，， ①当时，，在上单调递减； ②当时，令，得， 当时，；当时，. ③当时，令，得， 当时，；当时，. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 4．已知函数.讨论的单调性． 【分析】根据导数和因式分解，分类讨论导数的正负即可分析函数的单调性. 【详解】， 令，则或， ①若，则有， 所以函数在R上为增函数； ②若， 当或时，， 当时，， 所以函数在和上递增，在上递减； ③若， 当或时，， 当时，， 所以函数在和上递增，在上递减； 综上所述， 当时，函数在和上递增，在上递减； 当时，函数在R上为增函数； 当时，函数在和上递增，在上递减. 5．已知函数，求函数的单调区间． 【答案】答案见解析. 【分析】求出函数的导数，按分类讨论求解大于0、小于0的不等式作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，由，得，由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或， 当或时，，当时，， 因此在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，当且仅当时取等号，因此在上单调递增； 当时，当或时，，当时，， 因此在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 三、已知函数单调区间求参数范围 6．已知函数． 当时，求的单调增区间； 若在上是增函数，求得取值范围． 【答案】(1) .(2) . 【分析】（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可； （2）已知在区间（0，1）上是增函数，即在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可． 【详解】（1）当时，， 所以， 由得，或， 故所求的单调递增区间为. （2）由，∵在上是增函数， 所以在上恒成立，即恒成立， ∵（当且仅当时取等号）， 所以，即. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和对勾函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力． 7．设函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上不存在单调增区间，求的取值范围. 【答案】（1）在递增，在递减，在递增；（2）. 【分析】（1）先对函数求导，分别令导数大于零，小于零，即可求出函数的单调增减区间； （2），令，由于函数在上不存在单调增区间，则必有，然后列出不等式组可求出的取值范围 【详解】（1）时，， ， 令，解得：或， 令，解得：， 故在递增，在递减，在递增； （2）， 设，假设函数在上不存在单调递增区间，必有， 于是，解得. 四、利用导数求解函数的极值/最值 8．已知函数，求函数的极值． 【答案】极大值为，极小值为 【分析】直接求导得，根据导数与极值的关系即可得到答案. 【详解】函数的定义域为， ， ∵，∴ ∴由得或， 由得， ∴的单调递增区间为和；单调递减区间为. ∴的极大值： 的极小值： 9．已知函数.讨论在定义域内的极值． 【分析】求出函数的定义域及导数，探讨单调性并分析极值情况作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，恒有成立，因此在上单调递减，无极值； 当时，由，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则当时，函数取得极小值， 所以当时，函数无极值； 当时，有极小值，无极大值. 10．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，求在区间的最小值. 【答案】(1)， (2)当时的单调增区间为，，单调减区间为； 当时在R上单调递增； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值； （2）求导函数，分，，讨论可得结果； （3）结合（2）的结论，分、两种情况讨论，分别求出函数的最小值. 【详解】（1）当时定义域为R， 且， 所以当或时，当时， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 即，； （2）函数定义域为R，则， 令，解得或， ①当时，则当或时，， 当时，， 所以的单调增区间为，，单调减区间为； ②当时，恒成立，所以在R上单调递增； ③当时，当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为； 当时在R上单调递增； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； （3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为， 若，即时在上单调递减， 所以在上的最小值为， 若，即时，在单调递减，在单调递增， 所以在的最小值为，所以. 五、利用导数的极值/最值求参数值 11．已知函数的两个极值点满足. (1)求的值； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1)；(2)最大值为36，最小值为-16 【分析】（1）有2个极值点等价于导函数有2个零点，根据条件运用韦达定理求解； （2）根据导函数求出的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解. 【详解】（1） ，令，则有2个零点，显然 ， 由韦达定理得 ，又代入①得： ， 再代入②得： ， ，符合题意， ； （2） ，得下表： -1 2 0 0 单调递减 极小值-16 单调递增 极大值11 单调递减 又，  ， 所以在区间上的最大值为36，最小值为-16； 综上，，在区间上的最大值为36，最小值为-16. 12．已知函数在处取得极值． (1)求实数，的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)最大值为11，最小值为 【分析】（1）求出函数的导数，根据和，求出，的值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【详解】（1）由已知得， 因为在处取得极值，所以，解得， 又因为，所以. （2）由（1）知，， 令，解得或． 当x变化时，，的变化情况如下表所示： + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 11 所以在区间上的最大值为11，最小值为． 13．函数. (1)若是函数的极值点，求a的值，并判断是极大值点还是极小值点； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)，极小值点； (2)当时，函数在R上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）利用，求得，再根据在两侧的正负，可确定是极大值点还是极小值点； （2）由题意可得，分、和三种情况讨论的正负，从而即可确定函数单调区间. 【详解】（1）解：因为， ∵是函数的极值点， ∴，解得， 当时，，∴在上递减， 当时，，∴在上递增， ∴是函数的极小值点； （2）解：∵， ①当时，在R上恒成立， 所以函数在R上单调递增， ②当时，令，解得或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ③当时，令，解得或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在R上单调递增， 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. 六、利用导数求解函数的极值点问题 14．已知函数. (1)求处的切线方程； (2)求证：有且仅有一个极值点． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）求出，求导，得到切线斜率，写出切线方程； （2）二次求导，得到导函数的单调性，结合放缩法求出在仅有一个变号零点，故有且仅有一个极值点. 【详解】（1），而，故， 所以在处的切线方程为. （2），令，则， 当时，，当时，， 故即在上为增函数，在上为减函数， 而时，恒成立， 设，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即恒成立， 当时，， 故在仅有一个变号零点，故有且仅有一个极值点. 15．已知函数. (1)若的图象在处的切线方程是，求实数； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线方程，对比已知切线方程可构造方程组求得结果； （2）将问题转化为在上有两个不等实根问题，根据一元二次方程根的分布可构造不等式组求得结果. 【详解】（1），，又， 在处的切线方程为：，即， ，解得：，. （2）有两个极值点，， 在上有两个不等实根， ，解得：，即实数的取值范围为. 16．已知函数，为的导函数且. (1)求实数a的值，并判断是否为函数的极值点； (2)确定函数在区间内的极值点个数，并说明理由. 【答案】(1)，不是； (2)2，理由见解析. 【分析】（1）根据题意和求导的运算法则计算即可求出a，结合极值点的定义即可求解； （2）由（1）得，根据三角函数的性质可知当时函数单调递增，无极值点；当时函数单调递减，结合零点的存在性定理和函数的奇偶性，即可求解. 【详解】（1），则， 由，得， 所以，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递增， 所以不是函数的极值点. （2）由（1）知，， 当时，，函数单调递增，无极值点； 设，则， 当时，，函数单调递减， 又， 所以存在唯一的实数，使得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数在上只有一个极值点，且该极值点为m. 又，所以函数为奇函数， 则在上也有一个极值点，且该极值点为. 综上，函数在上有2个极值点. 七、利用导数解决恒（能）成立问题 17．设函数，且． (1)求函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可； （2）方法一：讨论当时成立，当时参变分离可得，再构造函数，，求导分析最小值即可； 方法二：将题意转化为，再构造函数，求导分类讨论单调性与最大值即可. 【详解】（1），， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，时，，则在上单调递减； 时，，则在上单调递增． （2）方法一：在恒成立，则 当时，，显然成立，符合题意； 当时，得恒成立，即 记，，， 构造函数，，则，故为增函数，则. 故对任意恒成立，则在递减，在递增，所以 ∴． 方法二：在上恒成立，即． 记，，， 当时，在单增，在单减，则，得，舍： 当时，在单减，在单增，在单减，，， 得； 当时，在单减，成立； 当时，在单减，在单增，在单减，，，而，显然成立． 综上所述，． 18．已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为；(2) 【分析】（1）求导，根据的正负求解； （2）当时，求得＝，由题意，解不等式即可. 【详解】（1）已知函数， 则，， 令，解得：或， 令，解得：， 即的单调增区间为，，单调减区间为； （2）由（1）可得：函数在单调递增，在单调递减， 则当时，， 又当时，，则，即， 即的取值范围为：． 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）求出函数定义域，利用导数分类讨论求解的单调区间即可求解； （2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出在的最小值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 若，，函数在上单调递减； 若，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，函数在上单调递减； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）令， 于是恒成立，即恒成立， 令，求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此，，则有， 所以的取值范围是. 【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法 (1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题； (2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围. 20．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （2）根据（1）的结论对进行分类讨论，由，结合构造函数法以及导数来求得的取值范围. 【详解】（1）已知函数，定义域为， ， ①当时，， x + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 在上单调递增，在上单调递减； ②当时，，函数在单调递增； ③当时，， x + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. （2）若存在，使得成立，即使得. 由（1），可知当时，在上单调递增，， 不满足； 当时， x - 0 + 递减 极小值 递增 ，所以，即， 令，∴， ∴在上单调递减， 又∵，由，得. 综上，实数a的取值范围为. 八、利用导数解决函数的零点、交点与方程的根的问题 21．已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． 【答案】（1）增区间是，，减区间是； （2）证明见解析. 【分析】（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间； （2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得. 【详解】（1）当a=3时，，． 令解得x=或x=． 由解得：； 由解得：． 故函数的增区间是，，减区间是． （2）［方法一］：【最优解】【通性通法】等价转化＋零点存在性定理 由于，所以等价于． 设,则,仅当时,所以在单调递增.故至多有一个零点,从而至多有一个零点.又,故有一个零点.综上,只有一个零点. ［方法二］：函数零点与图象交点个数的关系 因为，所以等价于，令，则．因为，则，当且仅当时，等号成立，所以在区间内单调递增，且． 当时，；当时，．所以直线与的图像只有一个交点，即只有一个零点． ［方法三］：【通性通法】含参分类讨论＋零点存在性定理 ． ①当时，单调递增，只有一个零点． ②当与时，，再令或，则有．当与时，单调递增，当时，单调递增． 因为， ， 所以． 极大值与极小值同正同负，故只有一个零点． ［方法四］： 等价转化＋零点存在性定理 由于，所以，等价于． 设，则，仅当时，，所以在区间内单调递增．故至多有一个零点，从而至多有一个零点． 结合函数与方程的关系，根据零点存在性定理，取，则有，取，则有，所以在内有一个零点，故有一个零点． 综上，只有一个零点． 【整体点评】（2）方法一：通过分离参数将原函数的零点问题转化为易求单调性的函数零点问题，该法既是该类型题的通性通法，也是该题的最优解； 方法二：将函数的零点个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，是常见的解题思路，对于证明题，这种方式显得不是特别严谨； 方法三：直接对参数分类讨论，研究函数的单调性和最值，也是该类型问题的通性通法，但对于该题，显得有些复杂； 方法四：该法同方法一，只是在零点存在性定理的运用过程中取点不一样． 22．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)递减区间是；递增区间是，；(2) 【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间； （2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，函数，可得， 因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值， 可得，即，解得，   所以，可得， 令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下： －1 ＋ 0 － 0 ＋ 2 所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，． （2）解：由函数，， 则， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使得有三个零点，则满足，即，解得， 所以的取值范围为． 23．已知函数 (1)若，判断函数的单调性，并求出函数的最值. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，最小值为，无最大值；(2) 【分析】（1）把的值代入函数的解析式，从而根据导数判断函数的单调性，进而可求函数的最值； （2）利用导数判断函数的单调性，根据单调性可求函数的最小值；根据题意列出满足条件的的不等式，从而求出的范围，然后验证即可. 【详解】(1)易知函数的定义域为， 当时，， 所以， 当时，；当，； 所以在上单调递减，在上单调递增； 由此可得，的最小值为，无最大值. (2)因为，所以. 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 故可得函数至多只有一个零点，不符合题意； 当时，令，设该方程的解为， 则在上，；在上，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 为了满足有两个零点，则有  ① 因为是方程的解，所以，两边取对数可得  ②， 将②式代入①式可得，所以的取值范围为. 且当时，由②式得，所以在上仅有1个零点；当时，，故可得在上仅有1个零点； 综上，若函数存在两个零点，则实数的取值范围是. 九、利用导数证明不等式 24．已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx. (1)若a＝1，证明：f（x）≥1； (2)讨论f（x）的单调性. 【分析】（1）对f（x）求导，利用导数求出f（x）的最小值，即可得证； （2）对f（x）求导，对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可解出. 【详解】(1)若a＝1，则f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，， 令f′（x）＝0，可得x＝1，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝1处取得极小值，也是最小值，最小值为f（1）＝1，故f（x）≥1. (2)f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0，（x＞0）， 当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减； 当a＞0时，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，得0＜x， 所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增. 综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减； 当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增. 25．已知函数 ． （1）若 ，求的极值； （2）证明：当 时，． 【答案】（1）极大值为 ，没有极小值；（2）证明见详解. 【分析】（1）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值； （2）构造函数，证明函数在时恒成立. 【详解】（1） , 当时,； 当时, 当变化时,的变化情况如下表： 单调递增 单调递减 因此,当时,有极大值,并且极大值为 ，没有极小值. （2）令函数, 由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递减. 又 故在存在唯一零点.设为,则 当时,；当时,, 所以在区间上单调递增,在区间上单调递减 又， 所以，当时,. 故. 26．已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行． （1）求的值； （2）求证：在上恒成立． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； （2）转化为证，构造函数，结合导数分析函数的性质，可证． 【详解】解：（1）因为， 所以，， 由题意得， 所以，解得； 证明（2）， 令，， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故当时，取得最小值， 所以， 故， 所以． 十、利用导数解决双变量问题 27．已知函数，在处取得极小值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的极值； (3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2)极小值；极大值；(3)． 【分析】（1）根据函数在极值处导函数为，极小值为联立方程组即可求得，，求得函数解析式，求导，利用导数判断原函数的单调性，检验求得，值是否满足题意； （2）由（1）即可求得极大值和极小值； （3）依题意只需即可，当时，函数有最小值，即对任意总存在，使得的最小值不大于；对于，分、、三种情况讨论即可． 【详解】（1）∵，则， 由题意可得 ，解得， 则函数的解析式为，且， 令，解得：， 则当变化时，的变化情况如下表： 减 极小值 增 极大值 减 故符合题意，即. （2）由（1）可得：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值2. （3）∵函数在时，，在时，且， ∴由（1）知：当时，函数有最小值， 又∵对任意总存在，使得，则当时，的最小值不大于， 对于开口向上，对称轴为， 当时，则在上单调递增，故的最小值为，得； 当时，则在上单调递减，故的最小值为，得； 当时，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，得或，不合题意，舍去； 综上所述：的取值范围是. 28．已知函数． (1)试讨论的极值； (2)设，若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）先讨论的单调性，再确定极值（2），，使得等价于，分别求出与，即可求解 【详解】(1) 函数的定义域为， ． 当时，，所以在上为增函数，此时函数不存在极值． 当时，由，解得，故在上单调递增． 由，解得，故在上单调递减． 此时函数在处取得极大值．无极小值． 综上所述，当时，函数不存在极值． 当时，函数在处取得极大值，无极小值． (2)由（1）知当时，在上为增函数， 故无最大值，此时不符合题意；当时，． 易知在上单调递减，所以． 因为，，使得， 所以，即 解得，所以实数a的取值范围是． 29．已知函数. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）当时，证明：. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【分析】（Ⅰ）显然，，可分和分别讨论函数的单调性; （Ⅱ）当时，要证：， 只需证：，由（Ⅰ）易知，     所以即证：，从而设求最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然，， （1）当时，，在上单调递减； （2）当时，由得 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． （Ⅱ）当时，要证：， 只需证：，由（Ⅰ）易知，     所以即证：， 设，则，令得得， 当时，，在上单调递减；当时，， 在上单调递增．，即，即，所以 【点睛】本题主要考查函数与导数的应用，意在考查学生的计算能力和逻辑分析能力，具有较高的思维技巧，对学生分类讨论的能力要求较高. 十一、参变分离法解决导数问题 30．已知. (1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上存在单调递增区间，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）函数求导后，函数在区间内单调递增，转换成在上恒成立，孤立参数得，转换成求函数最大值，从而得实数的取值范围； （2）函数求导后，在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，孤立参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围. 【详解】（1）解：， 在区间内单调递增 在上恒成立， 在上恒成立， 在上恒成立， ， 在， 则的取值范围是：. （2）解：在上存在单调递增区间， 则在上有解， 即在上有解， ， 又，. 则的取值范围是：. 31．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若且恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）代入，得到，求出导函数，根据导数的几何意义求得切线的斜率，即可得出答案； （2）因为，分离参数可得.构造函数，根据的导函数，得出的单调性，进而得出函数的最大值为，即可得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 可得，故， 所以函数在点处的切线方程为. （2）由已知，所以， 由，得. 因为，所以上式可化为. 令，则， 令，则. 因为，所以，所以为上的减函数，且， 故时，，即，所以在上单调递增； 当时，，即，所以在在上为单调递减. 所以，当时，取得极大值，也是最大值. 则要使在上恒成立，则应有. 又因为，故. 32．已知函数． （1）求函数的极值点； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值点是，无极大值点；（2）． 【分析】（1）对函数进行求导，列表，根据函数极值的定义进行求解即可； （2）对函数进行求导，根据函数的单调性，结合导数的性质，利用常变量分离法进行求解即可. 【详解】解析：（1）定义域， 令，得， 列表如下： － ＋ 递减 极小值 递增 所以，的极小值点是，无极大值点； （2）， 在上单调递减 在上恒成立 在恒成立 ， 令， 在上恒成立 在上单调递减 实数的取值范围是． 【点睛】关键点睛：运用常变量分离法，结合导数的性质进行求解是解题的关键. 十二、构造函数法解决导数问题 33．已知函数. (1)若在处的切线方程为，求a的值； (2)对于任意，，且，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)2；(2) 【分析】（1）求出，再根据计算可得答案； （2）将条件变形可得在上是增函数，记，求出，有恒成立，转化为最值求解即可. 【详解】(1)由已知，且， 由，可得，∴ (2)由已知可得，当时，有恒成立， 即在上是增函数. 记，则， ∴在上恒成立，即在上恒成立. ∵时，有，当时，， 由在上恒成立，得，即， 即实数a的取值范围为. 34．已知函数． (1)求的极值； (2)若在时有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值为0，无极大值；(2) 【分析】（1）直接求导确定单调性求出极值即可； （2）先参变分离得到，再构造函数求导确定最小值，即可求出实数a的取值范围． 【详解】（1），当时，，当时，，则在上单减，在上单增， 故的极小值为，无极大值. （2）在时有解，即在时有解，令， 则，由（1）知在上单增，且，则， 则当时，单减，当时，单增，所以，故. 十三、利用二次求导法解决导数问题 35．已知函数（a∈R）. (1)当a＝2时，求f (x)的单调区间； (2)若f (x)在区间(－3,1)内存在两个极值点，求a的取值范围. 【答案】(1)在(,－1)，(ln2,)上递增；在(－1,ln2)上递减； (2)(1,2e－2). 【分析】（1）利用导数研究f (x)的单调区间. （2）对函数求导得，将问题转化为y＝a与在 (－3,1)内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a的范围. 【详解】（1）当a＝2时，由. 令，得或，故在，上递增； 令，得，故在上递减. 综上所述，f (x)在，上递增；在上递减. （2）由题设， 由题意知：y＝a与在 (－3,1)内有两个交点. 由，，则在(－3,1)上递增. 而，，则在(－3,0)上，在(0,1)上， 所以在(－3,0)上递减，在(0,1)上递增 由g(－3)＝6－，g(0)＝1，g(1)＝2e－2，且g(－3)＞g(1). 故1＜a＜2e－2时，y＝a与g(x)＝的图象有两个交点. 即f (x)在(－3,1)上存在两个极值点时，a的取值范围为(1,2e－2). 36．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明: . 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调区间； （2）计算，构造函数，，求出，对再一次求导（需引入新函数），确定的单调性后得其正负，从而确定的单调性，得证结论成立． 【详解】（1）， 若，，即，此时在R上单调递减． 若，解得， 解得， ∴在上单调递减，在上单调递增． （2）∵， 设，  ， 设  ， ∴在上单调递增，，． ∴，在上单调递增． ∴． ∴． 37．已知函数，. (1)若函数在区间上的最小值为3，求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数的导数，分别讨论时，函数的单调性，即可确定函数在区间上的最值点，列式即可解出； （2）根据分离参数可知，不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得到实数的取值范围. 【详解】(1)因为，，， 所以当时，则在上单调递增，的最小值为不符合，舍去； 当时，则在上单调递减，在上单调递增，在的最小值为，则不符合，舍去； 当时，在上单调递减，的最小值为，则． (2)在上恒成立，即在上恒成立， 设，，， 设，在上恒为正， 则在上单调递增，， 则在上单调递增，. 所以，即实数的取值范围为. 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $