模块综合检测（A）(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

模块综合检测（A） （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.在等差数列{an}中，a4＝2，a8＝14，则a15＝（　　） A.32 B.－32 C.35 D.－35 2.已知函数f（x）＝aln x＋2，f'（e）＝2，则a的值为（　　） A.－1 B.1 C.2e D.e2 3.已知等比数列{an}的公比q为整数，且a1＋a4＝9，a2·a3＝8，则＝（　　） A.2 B.3 C.－2 D.－3 4.函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为（　　） A.1，－3 B.1，3 C.－1，3 D.－1，－3 5.已知等差数列{an}的公差不为零，其前n项和为Sn，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（　　） A.3 B.6 C.9 D.12 6.若函数f（x）＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A.（3，＋∞） B.[－3，＋∞） C.（－3，＋∞） D.（－∞，－3） 7.设a＝0.1，b＝sin 0.1，c＝e－0.9，则（　　） A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a 8.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）－f（x）≤－1（其中“＝”不恒成立），且f（x＋2）为偶函数，f（4）＝6，则不等式f（x）＜5ex＋1的解集是（　　） A.（0，＋∞） B.（－∞，－1） C.（－∞，0） D.（1，＋∞） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1（2－an）＝2（an≠2），则（　　） A.a3＝ B.{an}是周期数列且周期为4 C.S4＝ D.S21＝ 10.已知f（x）＝，函数f（x）的导函数为f'（x），则下列说法正确的是（　　） A.f'（0）＝1 B.f（x）的单调递增区间为（1，＋∞） C.f（x）的极大值为 D.方程f（x）＝－1有两个不同的解 11.已知f（x）＝ex·x3，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）在R上是增函数 B.f（log52）＜f＜f（ln π） C.方程f（x）＝－1有实数根 D.存在实数k，使得方程f（x）＝kx有3个实数根 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.写出一个“公差为2且前3项之和小于第3项”的等差数列{an}的通项公式：an＝　　　　 　. 13.若曲线y＝在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝　　　. 14.已知数列{an}满足an＝ 定义使a1·a2·a3·…·ak（k∈N＋）为整数的k为“幸福数”，则区间[1，2 026]内所有“幸福数”的和为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）. （1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； （2）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围. 16.（本小题满分15分）数列{an}的首项为a1＝1，且an＋1＝2（an＋1）（n∈N＋）. （1）证明数列{an＋2}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝log2（an＋2）－log23，求数列{}的前n项和Tn. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝x－ln x－2. （1）判断函数的单调性； （2）若对于任意的x∈（1，＋∞），都有xln x＋x＞k（x－1），求整数k的最大值. 18.（本小题满分17分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，2Sn＝an＋1（n∈N＋）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝an·log3a2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 19.（本小题满分17分）设函数f（x）＝x3－6x＋5，x∈R. （1）求f（x）的极值点； （2）若关于x的方程f（x）＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围； （3）已知当x∈（1，＋∞）时，f（x）≥k（x－1）恒成立，求实数k的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块综合检测（A） 1.C　2.C　3.A　4.A　5.C　 6.B　因为f（x）＝x3＋ax－2，所以f'（x）＝3x2＋a，因为函数f（x）＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞）上单调递增，所以f'（x）＝3x2＋a≥0在区间[1，＋∞）上恒成立且不恒为零，即a≥－3x2在区间[1，＋∞）上恒成立且不恒为零，又x∈[1，＋∞）时，（－3x2）max＝－3，所以实数a的取值范围是[－3，＋∞）. 7.C　令g（x）＝x－sin x，x∈（ 0，），则g'（x）＝1－cos x＞0，所以g（x）＝x－sin x在（ 0，）上单调递增，又g（0）＝0，所以g（0.1）＞g（0）＝0，即0.1－sin 0.1＞0，所以0.1＞sin 0.1，即a＞b，令f（x）＝ex－x－1，则f'（x）＝ex－1，当x＜0时f'（x）＜0，即f（x）在（－∞，0）上单调递减，又f（0）＝0，所以f（－0.9）＞f（0），即e－0.9＋0.9－1＞0，即e－0.9＞0.1，即c＞a，综上可得c＞a＞b.故选C. 8.A　∵y＝f（x＋2）为偶函数，∴y＝f（x＋2）的图象关于直线x＝0对称，∴y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（4）＝f（0），又∵f（4）＝6，∴f（0）＝6，设g（x）＝，则g'（x）＝，∵f'（x）－f（x）≤－1（其中“＝”不恒成立），∴f'（x）－f（x）＋1≤0，即g'（x）≤0且不恒等于零，∴y＝g（x）在定义域R上是减函数，∵f（x）＜5ex＋1等价于g（x）＜5.又∵g（0）＝＝＝5，∴不等式f（x）＜ex＋1的解集等于g（x）＜g（0）的解集，又∵g（x）在R上是减函数，∴x＞0，∴f（x）＜ex＋1的解集为（0，＋∞）. 9.BCD　由an＋1（2－an）＝2（an≠2）可得an＋1＝，所以a2＝＝－4，a3＝＝，A错；a4＝＝，a5＝＝＝a1，所以数列{an}是周期数列且周期为4，B正确；S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝，C正确；S21＝5×＋＝，D正确. 10.AC　由题意知f'（x）＝，所以f'（0）＝1，A正确；当x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，B错误；f（x）的极大值为f（1）＝，C正确；方程f（x）＝－1等价于＝－1⇒ex＝－x，易知函数y＝ex与函数y＝－x的图象有且只有一个交点，即方程f（x）＝－1有且只有一个解，D错误.故选A、C. 11.BCD　f（x）＝ex·x3，∴f'（x）＝ex（x3＋3x2）.令f'（x）＝0，得x＝0或x＝－3.当x＜－3时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞－3时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，A错误.又0＜log52＜＜＜1＜ln π，∴f（log52）＜f＜f（ln π），B正确.∵f（0）＝0，f（－3）＝e－3·（－3）3＝－＜－1，∴f（x）＝－1有实数根，C正确.设f（x）＝kx，显然x＝0是方程的根，当x≠0时，k＝＝ex·x2，设g（x）＝ex·x2，则g'（x）＝x（x＋2）ex，令g'（x）＝0，得x＝0或x＝－2.当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表： x （－∞，－2） －2 （－2，0） 0 （0，＋∞） g'（x） ＋ 0 － 0 ＋ g（x） ↗ ↘ 0 ↗ 画出y＝g（x）的大致图象，如图， ∴当0＜k＜时，g（x）＝k有3个实数根，此时f（x）＝kx有4个实根，当k＝时，g（x）＝k有2个实根，此时f（x）＝kx有3个实根，∴D正确.故选B、C、D. 12.2n－4（答案不唯一）　解析：前3项之和小于第3项，则a1＋a2＜0⇒2a1＋2＜0⇒a1＜－1，设a1＝－2，d＝2，则an＝2n－4. 13.64　解析：因为y'＝－，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝－（x－a），令x＝0得y＝，令y＝0得x＝3a，所以三角形的面积S＝··3a＝18，解得a＝64. 14.2 036　解析：当n≥2时，an＝logn（n＋1）＝，所以a1·a2·…·ak＝1×××…×＝log2（k＋1），若满足a1·a2·…·ak（k∈N＋）为整数，则k＋1＝2m，即k＝2m－1，所以在[1，2 026]内的所有“幸福数”的和为21－1＋22－1＋…＋210－1＝－10＝2 036. 15.解：（1）f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）. 由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. （2）∵曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线， ∴关于x的方程f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4（1－a）2＋12a（a＋2）＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－. ∴a的取值范围为（－∞，－）∪（－，＋∞）. 16.解：（1）在数列{an}中，an＋1＝2（an＋1），则an＋1＋2＝2（an＋2），由a1＝1得a1＋2＝3， 所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列， 则有an＋2＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－2， 所以数列{an}的通项公式是an＝3×2n－1－2（n∈N＋）. （2）由（1）知，bn＝log2（3×2n－1）－log23＝n－1，＝＝－， 则Tn＝（ 1－）＋（ －）＋（ －）＋…＋（ －）＝1－＝， 所以数列{}的前n项和Tn＝. 17.解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），求导得f'（x）＝1－＝， 令f'（x）＞0，则x＞1，令f'（x）＜0，则0＜x＜1， 所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减. （2）∀x∈（1，＋∞），xln x＋x＞k（x－1）⇔k＜， 令g（x）＝，x＞1，则g'（x）＝， 由（1）知，f（x）＝x－ln x－2在（1，＋∞）上单调递增，且f（3）＝1－ln 3＜0，f（4）＝2－ln 4＞0， 则f（x）在区间（3，4）内存在唯一的零点x0，使f（x0）＝x0－ln x0－2＝0，即ln x0＝x0－2， 则当x∈（1，x0）时，f（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减，当x∈（x0，＋∞）时，f（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）在（x0，＋∞）上单调递增， 于是得g（x）min＝g（x0）＝＝＝x0∈（3，4），因此k＜g（x）min＝x0∈（3，4）， 所以整数k的最大值为3. 18.解：（1）∵数列{an}满足2Sn＝（1－ ）an＋1，① ∴2Sn－1＝an（n≥2）， ② ①－②，得2an＝an＋1－an， 即（an＋1－3an）＝0（n≥2），可得an＋1＝3an（n≥2）， 由a1＝1，2a1＝2S1＝a2，解得a2＝3，∴a2＝3a1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝3n－1. （2）由（1）知an＝3n－1，则bn＝an·log3a2n＝3n－1·log332n－1＝（2n－1）·3n－1， 则Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋（2n－1）×3n－1， ③ 3Tn＝1×31＋3×32＋…＋（2n－3）×3n－1＋（2n－1）×3n， ④ ③－④，得－2Tn＝1＋2×（31＋32＋…＋3n－1）－（2n－1）×3n＝1＋2×－（2n－1）×3n＝－2＋（2－2n）×3n， ∴Tn＝（n－1）×3n＋1. 19.解：（1）f'（x）＝3（x2－2），令f'（x）＝0，得x1＝－，x2＝. 当x∈（－∞，－）∪（，＋∞）时，f'（x）＞0， 当x∈（－，）时，f'（x）＜0， 因此x1＝－，x2＝分别为f（x）的极大值点、极小值点. （2）由（1）可知y＝f（x）图象的大致形状及走向如图所示. 要使直线y＝a与y＝f（x）的图象有3个不同交点，需5－4＝f（）＜a＜f（－）＝5＋4. 则方程f（x）＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为（5－4，5＋4）. （3）法一　f（x）≥k（x－1），即（x－1）（x2＋x－5）≥k（x－1）， 因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在（1，＋∞）上恒成立， 令g（x）＝x2＋x－5， 由二次函数的性质得g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）＝－3， 所以所求k的取值范围为（－∞，－3]. 法二　直线y＝k（x－1）过定点（1，0）且f（1）＝0， 曲线f（x）在点（1，0）处切线斜率f'（1）＝－3， 由（2）中图知要使x∈（1，＋∞）时，f（x）≥k（x－1）恒成立需k≤－3. 故实数k的取值范围为（－∞，－3]. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $