课时梯级训练(26) 实际问题中的最值问题（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(26)　实际问题中的最值问题 1．在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁．如图，已知矩形的宽为b，高为h，且梁的抗弯强度W＝bh2，则当梁的抗弯强度W最大时，矩形的宽b的值为(　　) A．d B．d C．d D．d D　解析：由题意，W＝bh2＝b(d2－b2)＝－b3＋d2b， 故W′＝－b2＋d2＝－， 故当0<b<d时，W′>0，当b>d时，W′<0， 故当b＝d时，W取得最大值． 2.如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径相等(半径大于1 dm).若该几何体的表面积为12π dm2，体积为V dm3，则V的取值范围是(　　) A． B． C． D． A　解析：设圆柱的底面半径与高分别为r dm，h dm，则该几何体的表面积S＝4πr2＋2πrh＝12π(dm2)，则h＝(1<r<)， 所以该几何体的体积V＝V(r)＝πr3＋πr2h＝(9r－r3)，1<r<， 则V′(r)＝(9－3r2)(1<r<)， 当1<r<时，V′(r)>0，则V(r)在(1，)上单调递增， 而V(1)＝，V()＝4π，故V的取值范围是. 3.某校为弘扬中华传统中医药文化，在一块边长为30 m的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为750 m2的矩形中药园，图中阴影部分是宽度为1 m的小路，中间三个矩形区域将种植益母草、板蓝根、苦参(其中两个小矩形区域形状、大小相同).若中药种植的总面积为S m2，则当S取得最大值时，x的值为(　　) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m C　解析：由条件可知，x·(2a＋3)＝750，则a＝>0，2<x<30， S＝(x－2)·a＋(x－3)·a＝(2x－5)·a＝(2x－5)· ＝＝－＋， 令S′＝－3＋＝0，解得x＝25， 当2<x<25时，S′>0，S单调递增； 当25<x<30时，S′<0，S单调递减， 所以当x＝25时，S取得最大值． 4．(多选)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1 000件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有(　　) A．年产量为9 000件 B．年产量为10 000件 C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元 AD　解析：设年利润为W万元． 当0<x≤10时，W＝x－(10＋2.7x)＝8.1x－－10，W′＝8.1－. 令W′＝0，得x＝9(负值舍去)，且当x∈(0，9)时，W′>0； 当x∈(9，10]时，W′<0，所以当x＝9时，年利润W取得最大值为38.6； 当x>10时，W＝x－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，W′＝－2.7. 令W′＝0，得x＝(负值舍去)，且当x∈时，W′>0；当x∈时，W′<0， 所以当x＝时，年利润W取得最大值为38. 因为38.6>38，所以当年产量为9 000件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元．故A，D正确，B，C错误． 5．做一个无盖的圆柱体水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 答案：3　解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为L， 则V＝πR2L＝27π，所以L＝. 要使用料最省，只需使圆柱表面积最小． 因为S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋π(R＞0)，所以S表′＝2πR－， 令S表′＝0，得R＝3，所以当R＝3时，S表最小． 6．某果园种植丑橘每年固定成本10万元，每年最大产量13万斤，产量每增加一斤，成本增加1元，已知年销售额f(x)＝－x3＋3ax2＋x(x是丑橘产量，单位：万斤，销售额单位：万元，a为常数)，若产2万斤，利润18万元，则a＝________；要使年利润最大，则丑橘的年产量为________万斤． 答案：3　6　解析：因为产2万斤，利润是18万元，所以－23＋12a＋2－10－2＝18，解得a＝3， 所以f(x)＝－x3＋9x2＋x. 若设产量与利润的函数为g(x)， 则g(x)＝－x3＋9x2＋x－10－x＝－x3＋9x2－10，x∈(0，13]，g′(x)＝－3x2＋18x， 令g′(x)＝0，则x＝0(舍去)或x＝6， 因为当0<x<6时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当6<x≤13时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以当x＝6时，g(x)取最大值． 故当年产量为6万斤时，年利润最大． 7．数据显示，近期某风景区中每天空气质量指数近似满足函数f(t)＝＋12ln t－t－6(4≤t≤22，a∈R)，其中t为每天的时刻．若在凌晨4点时刻，测得空气质量指数为21.8. (1)求实数a的值； (2)求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻t.(参考数值：ln 2≈0.7) 解：(1)由f(4)＝21.8，得＋12ln 4－4－6＝21.8，所以a≈600. (2)由(1)知f(t)＝＋12ln t－t－6，4≤t≤22，得f′(t)＝＋＝(12－t)·，4≤t≤22. 由f′(t)＝0得t＝12. 列表得 t (4，12) 12 (12，22) f′(t) ＋ 0 － f(t) 单调递增 极大值 单调递减 所以函数f(t)在t＝12时取极大值，也是最大值， 所以近期每天空气质量指数最高的时刻为12时． 8.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图).问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解：设OO1为x m(1＜x＜4)，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3， 则由题设可得正六棱锥的底面边长为＝(m)， 于是底面正六边形的面积为S＝6××()2＝(8＋2x－x2)(m2)， 所以帐篷的体积为V＝×(8＋2x－x2)·(x－1)＋(8＋2x－x2) ＝(8＋2x－x2)＝(16＋12x－x3)，1<x<4， 求导数，得V′＝(12－3x2)，1<x<4. 令V′＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2. 当1＜x＜2时，V′＞0，V单调递增； 当2＜x＜4时，V′＜0，V单调递减， 所以当x＝2时，V最大． 即当OO1为2 m时，帐篷的体积最大． 9．在函数f(x)＝6x－x2的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形ABCD，则可作矩形的最大面积为(　　) A．6 B．12 C．6＋2 D．27 B　解析：设A，B在抛物线上，若A(x，6x－x2)，x∈(0，3)，则点B的坐标为(6－x，6x－x2)， 所以矩形ABCD的面积可表示为S(x)＝(6－2x)·(6x－x2)，x∈(0，3)， 则S′(x)＝－2(6x－x2)＋(6－2x)2＝6x2－36x＋36， 令S′(x)＝0，解得x＝3－或x＝3＋(舍去)， 可得S(x)在(0，3－)上单调递增，在(3－，3)上单调递减， 所以矩形的最大面积为S(3－)＝2×6＝12. 10．根据以往经验，一超市中的某一商品每月的销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y＝＋2(x－50)2，其中20<x<50.已知该商品的成本为20元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为(　　) A．8 600元 B．8 060元 C．6 870元 D．4 060元 B　解析：设超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元， 则f(x)＝(x－20)＝60＋2(x－20)(x－50)2，20<x<50， f′(x)＝2[(x－50)2＋2(x－50)(x－20)]＝6(x－30)·(x－50)，20<x<50， 令f′(x)>0，得20<x<30，则f(x)在(20，30)上单调递增； 令f′(x)<0，得30<x<50，则f(x)在(30，50)上单调递减． 所以f(x)的最大值为f(30)＝8 060. 11．剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径AB＝20 cm，需要剪去菱形EFGH，可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开后得到．若CF＝EF，要使镂空的菱形EFGH面积最大，则菱形的边长EF＝________cm. 答案：　解析：设圆心为O，由圆的性质可知，A，E，O，G，B共线，C，F，O，H，D共线． 由菱形性质可知，EG⊥FH，设OF＝m，OE＝n，又半径为10， 则EF＝＝CF＝10－m，即2m＝10－n2，0<n<10， 故S菱形EFGH＝4S△OEF＝2OE·OF＝2mn＝－n3＋10n， 令f(x)＝－x3＋10x，0<x<10，则f′(x)＝－x2＋10，0<x<10， 由f′(x)>0，得0<x<； 由f′(x)<0，得<x<10，故f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以当x＝时，f(x)在(0，10)上取最大值，从而要使镂空的菱形EFGH面积最大， 只需n＝. 由2m＝10－n2可得，m＝，则此时EF＝10－m＝. 12．如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16 cm2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为________cm3. 答案：　解析：设圆锥底面圆的半径为R cm，圆柱形冰块的底面圆半径为x cm，高为h cm， 由题意可得×(2R)2＝16，解得R＝4，则h≤tan ·(R－x)＝(4－x)(0<x<4). 设圆柱形冰块的体积为V cm3，则V≤πx2·(4－x)(0<x<4). 设f(x)＝πx2(4－x)，0<x<4，则f′(x)＝πx(8－3x)，0<x<4. 当0<x<时，f′(x)>0；当<x<4时，f′(x)<0， 所以f(x)＝πx2(4－x)在x＝处取得极大值，也是最大值，f(x)max＝f＝， 故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为 cm3. 13．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？ 解：设C点距D点x km，则AC＝(50－x)km， 所以BC＝＝(km). 又设总的水管费用为y元， 依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0＜x＜50). y′＝－3a＋，令y′＝0，解得x＝30， 令y′>0，得30<x<50，此时函数单调递增，令y′<0，得0<x<30，此时函数单调递减， 在(0，50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 km. 故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省． 14．如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中直径AB长为2 km，C和D两点在半圆弧上，满足BC＝CD.设∠COB＝θ. (1)现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB，BC，CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值； (2)若要在景区内种植鲜花，其中在△AOD和△BOC内种满鲜花，在扇形COD内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大？ 解：(1)取BC的中点M，AD的中点N，连接OM，ON， 则OM⊥BC，ON⊥AD，∠BOM＝，BC＝CD＝2BM＝2OB sin ＝2sin ， ∠AOD＝π－2θ，故AD＝2AO sin ＝2cos θ， 则l＝2＋2×2sin ＋2cos θ＝2＋4sin＋2＝－4＋5. 因为0<θ<，所以0<<，sin ∈， 故当sin ＝，即θ＝时，l＝－4＋5取得最大值，最大值为5. (2)S△COB＝BC·OM＝×2sin ×cos ＝sin θ， S△AOD＝AD·ON＝×2cos θ×cos ＝cos θsin θ， 扇形COD的面积S1＝θ， 故S＝S△COB＋S△AOD＋S1＝sin θ＋cos θsin θ＋θ， 则S′＝cos θ＋cos 2θ－sin 2θ＋＝2cos 2θ＋cos θ－＝(4cos θ＋3)(2cos θ－1)， 因为0<θ<，所以cos θ∈(0，1)， 故当0<θ<，cos θ∈时，S′>0，当<θ<时，S′<0， 故当0<θ<时，S单调递增，当<θ<时，S单调递减， 所以当θ＝时，S取得极大值，也是最大值， 故当θ＝时，鲜花种植面积S最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$