第2章 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

2.1　导数的概念 2.2　导数的几何意义 1.函数y＝f（x）的图象在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f（5）＋f'（5）＝（　　） A. B.1 C.2 D.0 2.若曲线y＝f（x）在其上一点（1，3）处的切线过点（0，2），则（　　） A.f'（1）＞0 B.f'（1）＝0 C.f'（1）＜0 D.f'（1）不存在 3.y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝（　　） A.　　　 B.　　　C.　　　D.1 4.设f（x）为可导函数，且满足 ＝－1，则f'（1）＝（　　） A.1　　　 B.－1　　　C.2　　　D.－2 5.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处也可能有切线 B.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f'（x0）必存在 C.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在 D.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f'（x0）有可能存在 6.〔多选〕设P0为曲线f（x）＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为（　　） A.（1，0） B.（2，8） C.（－1，－4） D.（－2，－12） 7.如图直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f'（4）＝　　　　. 8.已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是　　　　. 9.若函数f（x）＝x－，则它与x轴交点处的切线方程为　　　　　　　　. 10.已知曲线y＝x3上一点P，求： （1）曲线在点P处的切线的斜率； （2）曲线在点P处的切线方程. 11.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（　　） A. B.[－1，0] C.[0，1] D. 12.〔多选〕过点（2，0）作曲线f（x）＝x3的切线l，则切线l的方程可能为（　　） A.y＝0 B.x＝0 C.12x－y－24＝0 D.27x－y－54＝0 13.若点P是抛物线f（x）＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为　　　　. 14.在抛物线f（x）＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？ 15.已知函数f（x）＝x2＋bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列{}（n∈N＋）的前n项和为Sn，则S2 024的值为（　　） A. B. C. D. 16.已知曲线y＝f（x）＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　导数的概念及其几何意义 2.1　导数的概念 2.2　导数的几何意义 1.C　由题意可知f'（5）＝－1，将x＝5代入切线方程，得f（5）＝－5＋8＝3，所以f（5）＋f'（5）＝3＋（－1）＝2. 2.A　由题意知切线过点（1，3），（0，2），所以切线的斜率为k＝f'（1）＝＝1＞0. 3.B　设切点为（x0，y0），∵＝＝ ＝a（Δx）＋2ax0，令Δx趋于0，可知y＝ax2＋1在x＝x0处的导数为f'（x0）＝2ax0，于是函数∴f'（x0）在点（x0，y0）处的切线斜率为2ax0，即2ax0＝1，∴x0＝.∵切点在直线y＝x上，∴y0＝.代入y＝ax2＋1得＝＋1，∴a＝，故选B. 4.B　令x→0，则Δx＝1－（1－2x）＝2x→0，所以 ＝ ＝f'（1）＝－1. 5.AC　k＝f'（x0），所以f'（x0）不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，故A、C正确. 6.AC　＝＝＝3x2＋1＋3xΔx＋（Δx）2，令Δx→0得导数f'（x）＝3x2＋1，即斜率为3x2＋1.由于曲线f（x）＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f（x）在P0处的导数值等于4.设P0（x0，y0），则有f'（x0）＝3＋1＝4，解得x0＝±1，故P0点的坐标为（1，0）或（－1，－4）. 7.　解析：根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f'（4）＝. 8.f'（xA）＜f'（xB）　解析：由导数的几何意义，f'（xA），f'（xB）分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f'（xA）＜f'（xB）. 9.2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0 解析：f（x）＝x－与x轴交点坐标为（1，0），（－1，0），＝ ＝1＋，当Δx趋于0，可知f'（1）＝2，f'（－1）＝2，∴所求切线方程为y＝2（x－1）或y＝2（x＋1），即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0. 10.解：（1）由y＝x3，得＝ ＝ ＝[3x2＋3xΔx＋（Δx）2] ＝x2＋xΔx＋（Δx）2， 令Δx趋于0，可知y＝x3在x＝2处的导数为4，所以曲线在点P处的切线的斜率等于4. （2）曲线在点P处的切线方程为y－＝4（x－2）， 即12x－3y－16＝0. 11.D　＝＝＝Δx＋2x＋2，令Δx趋于0，可知曲线C在点P处切线的斜率为2x＋2，又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，所以其斜率k≥1.由2x＋2≥1，解得x≥－，故选D. 12.AD　因为f（x）＝x3，设切点（x0，），则k＝＝[3＋3x0·Δx＋（Δx）2]＝3，所以在x＝x0处的切线方程为y－＝3（x－x0），把点（2，0）代入并解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，切线方程为y＝0；当x0＝3时，切点为（3，27），斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27（x－3），整理为27x－y－54＝0.故选A、D. 13.　解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线f（x）＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设P（x0，y0），由导数的几何意义知f'（x0）＝＝2x0＝1，解得x0＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝. 14.解：设抛物线上点P（x0，y0）处的切线平行于直线4x－y＋1＝0， ＝＝2x0＋Δx. 令Δx趋于0，可知f（x）＝x2在x＝x0处的导数为f'（x0）＝2x0， 则f'（x0）＝2x0＝4，解得x0＝2， 所以y0＝＝4，即P（2，4），经检验，符合题意. 设抛物线上点Q（x1，y1）处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0， 则f'（x1）＝2x1＝－，解得x1＝－， 所以y1＝＝，即Q，经检验，符合题意. 故抛物线f（x）＝x2在点（2，4）处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0. 15.D　因为f（x）＝x2＋bx且点A（1，f（1））在其图象上，所以＝＝2＋Δx＋b.令Δx趋于0，可知f（x）＝x2＋bx在x＝1处的导数为f'（1）＝2＋b，因为函数f（x）＝x2＋bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，所以f'（1）＝2＋b＝3，解得b＝1，所以f（x）＝x2＋x＝x（x＋1），＝＝－，所以S2 024＝－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.故选D. 16.解：设切点为P（x0，y0）， ∵＝＝2x0＋Δx， 令Δx趋于0，可知y＝x2＋1在x＝x0处的导数为2x0， 即在点P（x0，y0）处切线的斜率为2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0（x－x0）. 又∵切线过点（1，a），且y0＝＋1， ∴a－（＋1）＝2x0（1－x0）， 即－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条， ∴Δ＝（－2）2－4（a－1）＞0，解得a＜2. 故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是（－∞，2）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $