第二十章 专题1：利用勾股定理解决最短路径问题2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题一　利用勾股定理解决最短路径问题 目录： 第一部分：方法指导 第二部分：各类型例题讲解 第三部分：针对训练 第一部分：方法指导 将立体图形展开成平面图形 → 利用“两点之间，线段最短”确定最短路线 → 构 造直角三角形 → 利用勾股定理求解。 类型1　平面中的最短路径问题 例题：（2025八下·深圳期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC.若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　 　. 类型2　几何体中的最短路径问题 例题一： 如图， 一个长方体形盒子的长为15cm， 宽为10cm， 高为20cm， 点B到点C的距离是5cm.一只蚂蚁沿盒的外表面从点A处爬到点B处，那么它爬行的最短路程是多少? 变式：（2024八上·吉安期中）如图，正方体的棱长为是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径长是（　　） A． B． C． D． 例题二：如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3) 变式一：（2025八下·中江月考）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的外壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　） A． B． C． D． 变式二：（2025八下·青秀开学考）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（　　） A． B． C． D． 变式三：（2025八下·椒江期中）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 例题三：（2024八下·汉阴期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是　 　 dm． 针对训练 1. 如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，E是AB的中点，H是AD上任意一点.如果AB＝AC＝BC＝10，那么HE＋HB的最小值是 . 2．（2024八下·江门期末）今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A． B． C． D． 3．（2025八下·荔湾期中）如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由处沿长方体表面爬到处，最短路程为（　　） A． B． C． D． 4．（2024八下·庄浪期中）如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（　　）． A．18 B．20 C．22 D．24 5．（2024八下·南宁期中）如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（　　）米 A．3 B．4 C．5 D． 6．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一　利用勾股定理解决最短路径问题 目录： 第一部分：方法指导 第二部分：各类型例题讲解 第三部分：针对训练 第一部分：方法指导 将立体图形展开成平面图形 → 利用“两点之间，线段最短”确定最短路线 → 构 造直角三角形 → 利用勾股定理求解。 类型1　平面中的最短路径问题 例题：（2025八下·深圳期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC.若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：如图D-1，连接BP， 在中，AB=AC=10，BC=12，AD=8， ∴BD＝ DC=6， ∵AD⊥BC ∴ ∴BP=PC， ∴PC+PQ= BP+PQ= BQ， ∴当B，P，Q共线时，PC+ PQ的值最小， ∴当BQ'⊥AC时，BQ的值最小， ∴AQ'= 故答案为：. 【分析】连接BP，利用等腰三角形的对称性得BP＝PC，则PC+PQ=BP+PQ=BQ，当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，再根据垂线段最短得，BQ⊥AC时，BQ的值最小，最后运用面积法求解。 类型2　几何体中的最短路径问题 例题一： 如图， 一个长方体形盒子的长为15cm， 宽为10cm， 高为20cm， 点B到点C的距离是5cm.一只蚂蚁沿盒的外表面从点A处爬到点B处，那么它爬行的最短路程是多少? 【答案】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， D+BC=10+5=15，AD=20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在 的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： ∴蚂蚁爬行的最短距离是25. 变式：（2024八上·吉安期中）如图，正方体的棱长为是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，正方体的左侧面与前面展开，得到长方形，过B作于C点； 由于正方体棱长为，则，， 由勾股定理得：； 【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理．将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，过B作于C点，利用线段的运算可求出AC，进而可求出BC，利用勾股定理可得：，代入数据可求出答案. 例题二：如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3) 【思路点拨】　要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A点的直线AA′剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走. 解：如图，由题意可得： AA′＝12，A′B＝×2π×3＝9. 在Rt△AA′B中，根据勾股定理，得 AB2＝A′A2＋A′B2＝122＋92＝225. ∴AB＝15. ∴需要爬行的最短路程是15 cm. 变式一：（2025八下·中江月考）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的外壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，将杯子侧面展开，作点E关于点C的对称点F，连接AF，则AF 的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 ， 由题意得，，CE=CF=2cm，，BC=10cm， ∴BF=BC+CF=12cm ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm， 变式二：（2025八下·青秀开学考）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，则A'F=AF=3cm， 易得，四边形CDBN是矩形，CD=32÷2=16cm， ∴，， ∴， ∴， 即蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 【分析】圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，则A'F=AF=3cm，易得，四边形CDBN是矩形，CD=32÷2=16cm，由矩形的性质得，，进而根据线段和差算出A'N的长，在Rt△A'NB中，利用勾股定理求出A'B的长，由此即可得． 变式三：（2025八下·椒江期中）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 例题三：（2024八下·汉阴期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是　 　 dm． 【答案】25 【解析】【解答】解：展开图为： 则AC=20dm，BC=3×3+2×3=15（dm）， 在Rt△ABC中， （dm）. 所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm. 故答案为：25． 【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，根据勾股定理即可求出答案. 针对训练 1. 如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，E是AB的中点，H是AD上任意一点.如果AB＝AC＝BC＝10，那么HE＋HB的最小值是 . 【5】 2．（2024八下·江门期末）今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示， 在中，AB=10cm，BC=10cm， ∴cm ， ∴装饰带的长度最短为cm ， 故答案为：D. 3．（2025八下·荔湾期中）如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由处沿长方体表面爬到处，最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示， 根据题意，长方体的长 ，宽 ，高 ， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得； 第二种展开图中， 根据题意，得； 第三种展开图中， 根据题意，得； 故爬行的最短路程为， 4．（2024八下·庄浪期中）如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（　　）． A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，， 根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小， 即为蜘蛛所走最短路径， 由题意得：，，， ∴， ∴． 5．（2024八下·南宁期中）如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（　　）米 A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【解析】【解答】解： 如图，长方形为圆柱的侧面展开图，连接AB， ∴彩带最短长度为， ∵， ∴， ∴彩带最短需要 米. 故答案为：D. 【分析】根据题意画出圆柱的平面图，长方形为圆柱的侧面展开图，连接AB，即可得到彩带最短长度为，根据勾股定理即可求得的长，进而得到答案. 6．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】解：（1）25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 【解析】【解答】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； 【分析】（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. （2）将圆柱体侧面展开，由题意得：，，再根据勾股定理即可求出答案. （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理即可求出答案. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $