第二十章 专题2：方程思想在勾股定理中的应用: 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题二　方程思想在勾股定理中的应用（四大类型） 目录： 第一部分：方法指导 第二部分：各类型例题讲解 第三部分：针对训练 第一部分：方法指导 在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长； 若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题； 其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角； 二是出现图形的折叠. 第二部分：各类型例题讲解 类型1　利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系 例题：求下列直角三角形中未知的边长. 解：如图1，设AC＝x，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2x.∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(2x)2＝x2＋32.∴x＝或－(负值舍去). ∴AC＝，AB＝2. 如图2，设AC＝x，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴BC＝AC＝x.∵AB2＝AC2＋BC2， ∴x2＋x2＝(3)2.∴x＝3或－3(负值舍去). ∴AC＝BC＝3. 类型2　共高的双直角三角形中边的数量关系 例题：（2025八下·柳江期中）下面是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理： 错题：如图，在中，已知，求的面积． 分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积． 正解：过点A作交的延长线于点， 则， 设，则， ．．．．．． （1）根据勾股定理可得，___________或___________．（用含的代数式表示） （2）请你补全上面的过程，并求出的面积． 【答案】（1）或 （2）由（1）可知，在中，， 在中，， ， 解得：， ， ． 【解析】【解答】（1）解：在中，， ； 在中，， ， 或， 故答案为：或； 【分析】本题考查勾股定理的综合应用和三角形面积公式。 (1) 在两个直角三角形和中，分别利用勾股定理，即直角三角形中斜边的平方减一直角边的平方等于另一直角边的平方，在中由表示，在中由表示； (2)根据(1)中得到的的两个不同表达式列等式，解出未知数，再代入求出的长度，最后利用三角形面积公式，以为底，为高计算的面积。 （1）解：在中，， ； 在中，， ， 或， 故答案为：或； （2）由（1）可知，在中，， 在中，， ， 解得：， ， ． 类型3　利用图形的折叠找两边的数量关系 例题：已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积（　　） A．12 B．8 C．7.5 D．6 【答案】D 【解析】【解答】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合， ∴ED=BE， 设AE=xcm，则ED=BE=（9-x）cm， 在Rt△ABE中， AB2+AE2=BE2， ∴32+x2=（9-x）2， 解得：x=4， ∴△ABE的面积为：3×4× = 6（cm2）， 故答案为：D 【分析】根据折叠的性质得出ED=BE，设AE=xcm，则ED=BE=（9-x）cm，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程，求解即可求出x的值，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半即可算出答案。 变式：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，∠CAB的平分线交BC于点D，则CD的长度为（　　） A．1cm B． C．2cm D．cm 【答案】B 【解析】【解答】解：过点 作 于点 ； 在 中，， 由勾股定理得 ； 是 的平分线，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）； 设 ， ， ， 即 ， 化简得 ，，解得 。 类型4　利用勾股定理和方程思想求点的坐标 例题：如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的坐标为 . 【(0，)】 解题思路： 1.  设点C坐标为(0, y)。 2. 由AC=BC，根据距离公式： AC² = 2² + (4−y)² BC² = 3² + y² 3. 列方程： 4 + (4−y)² = 9 + y² 4 + 16 − 8y + y² = 9 + y² 20 − 8y = 9 8y = 11 y = 4. 所以点C坐标为(0, )。 第三部分：针对训练 1．如图，在四边形OABC中，AB＝BC＝3，∠A＝∠OBC＝90°，∠AOB＝30°，则OC的长为（　　) A．3 B．3 C．6 D．3 【答案】D 【解析】【解答】解： 又· ∴在 中， 2．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD的长． 【答案】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，CD＝ ＝ ＝5， ∵BC＝14， ∴BD＝BC﹣CD＝9 3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高，则线段AD的长度为 . 【】 4.如图，在△ABC中，AB＝，BC＝8，AC＝5，则△ABC的面积为 . 【16】 5．如图所示，有一块直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，BC＝6 cm，AB＝10 cm，点D在BC边上，将纸片沿AD翻折，使得点B恰好落在直角边AC的延长线上的点E处，则BD的长为（　　) A．2 cm B．cm C．cm D．5 cm 【答案】B 【解析】【解答】解：10 cm， 设BD=xcm，则CD=BC-BD=(6-x)cm. 由折叠的性质可得DE=BD=xcm，AE=AB=10 cm， 在 中，由勾股定理得 解得 即 6．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AC＝4，BC＝3，则△ABD的面积为（　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意可知BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点， ∴DC=DH， ∵AC=4， BC=3， ∵∠C =∠DHB=90°， ∠HBD=∠CBD， BD=BD， ∴△BHD≌△BCD(AAS)， ∴BC=BH， 设AD=x， 则CD=DH =4-x， BC= BH=3， AH=AB-BH=2， 由勾股定理可得 解得 ∴DH=， ∴， 7．如图，在长方形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交边AD，BC于点E，F.若AB＝4，AD＝8，则BF的长为　 　. 【答案】3 【解析】【解答】解：连接FA，如图所示， ∵ EF是AC的垂直平分线， ∵四边形ABCD是长方形，AB=4，AD=8， 设BF=x，则CF=8-x， 解得x=3， 即BF=3， 8.如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF的长为 . 【3】 9. 如图，已知等腰的底边在轴上，且，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C， ∵， ∴OC=BO=4，AC=， ∴点A的坐标是：， 10.如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：连接，， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：D． 11小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 【答案】解∶设的长为，则， ， ， ，， 中，，即， 解得， 答∶的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二　方程思想在勾股定理中的应用（四大类型） 目录： 第一部分：方法指导 第二部分：各类型例题讲解 第三部分：针对训练 第一部分：方法指导 在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长； 若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题； 其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角； 二是出现图形的折叠. 第二部分：各类型例题讲解 类型1　利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系 例题：求下列直角三角形中未知的边长. 类型2　共高的双直角三角形中边的数量关系 例题：（2025八下·柳江期中）下面是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理： 错题：如图，在中，已知，求的面积． 分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积． 正解：过点A作交的延长线于点， 则， 设，则， ．．．．．． （1）根据勾股定理可得，___________或___________．（用含的代数式表示） （2）请你补全上面的过程，并求出的面积． 类型3　利用图形的折叠找两边的数量关系 例题：已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积（　　） A．12 B．8 C．7.5 D．6 变式：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，∠CAB的平分线交BC于点D，则CD的长度为（　　） A．1cm B． C．2cm D．cm 类型4　利用勾股定理和方程思想求点的坐标 例题：如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的坐标为 . 第三部分：针对训练 1．如图，在四边形OABC中，AB＝BC＝3，∠A＝∠OBC＝90°，∠AOB＝30°，则OC的长为（　　) A．3 B．3 C．6 D．3 2．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD的长． 3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高，则线段AD的长度为 . 4.如图，在△ABC中，AB＝，BC＝8，AC＝5，则△ABC的面积为 . 5．如图所示，有一块直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，BC＝6 cm，AB＝10 cm，点D在BC边上，将纸片沿AD翻折，使得点B恰好落在直角边AC的延长线上的点E处，则BD的长为（　　) A．2 cm B．cm C．cm D．5 cm 6．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AC＝4，BC＝3，则△ABD的面积为（　　) A． B． C． D． 7．如图，在长方形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交边AD，BC于点E，F.若AB＝4，AD＝8，则BF的长为　 　. 8.如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF的长为 . 9. 如图，已知等腰的底边在轴上，且，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 10.如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（　　） A．3 B． C． D． 11. 小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $