专题02 勾股定理5考点16题型3易错4方法（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材人教版

专题02 勾股定理 一、勾股定理 ●●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于 的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 . ★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于 三角形； ★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【拓展】 ◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2 c2. ◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2 c2. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 二、勾股定理的证明 ●通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. ●下面列举几种证明方法： ◆1、“赵爽弦图” 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c2 ，化简得：a2+b2＝c2． ◆2、我国数学家邹元治的证明方法 证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝ ，化简得：a2+b2＝c2． ◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” 证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即（a+b）（a+b） ，化简得：a2+b2＝c2． 三、勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的 ； ②计算另两边的 ； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否 ，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 四、勾股数 ●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个 ，称为勾股数． ★1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ★2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ★3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… ★4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. 五、勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 题型一 用勾股定理求线段长 【例3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（   ） A．10 B．10或12 C．10或 D．12 【变式1】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 题型二 利用图形面积之间的关系求图形的面积 【例2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 【变式1】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（    ） A．3，4，5 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 题型三 已知两点坐标求两点间距离 【例3】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________． 题型四 勾股定理与网格问题 【例4】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为_________． 题型五 由勾股定理求两条线段的平方和 【例5】（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【变式2】如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 题型六 勾股定理的证明 【例6】（23-24八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A．B．C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C． D． 【变式3】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 题型七 以弦图为背景的计算题 【例7】（25-26八年级上·河南郑州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 【变式1】（25-26八年级上·福建宁德·期末）小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（    ） A．8 B． C．10 D．12 【变式2】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 【变式3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）我国古代数学家赵爽在注解（周髀算经）时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是80，每个直角三角形的较长直角边与较短直角边的比为，则中间小正方形（阴影部分）的周长为_____． 题型八 勾股定理与无理数 【例8】如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 题型九 利用三边关系判定直角三角形 【例9】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（  ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（   ） A．2，3，4 B．，3，5 C．5，12，13 D．6，8，9 【变式2】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A． B．5，12，13 C．3，5，7 D．2，2.5，1.5 【变式3】（25-26八年级上·山西运城·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 题型十 勾股数 【例12】（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【变式1】下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【变式2】下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，， 【变式3】（25-26八年级上·山西太原·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5 题型十一 勾股定理及其逆定理解决面积问题 【例10】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（    ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里 【变式2】（25-26八年级上·四川雅安·期中）如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 题型十二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 【例11】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【变式3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 题型十三 在网格中判断直角三角形 【例12】（2025八年级上·上海·专题练习）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点，，都在格点上，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）在的方格纸中，三角形的顶点都在格点上，则下列选项中的图形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 题型十四 勾股定理的实际应用 【例12】（25-26八年级上·山西临汾·期末）“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高米（即米），施救点距离地面的高度为米，此时云梯的长度为米． (1)求云梯底部到楼房的距离． (2)消防员发现在处上方米的处有人未撤离，为了救出处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部需沿方向前进多少米？ 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【变式2】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 【变式3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 题型十五 勾股定理的逆定理的实际应用 【例13】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，两人从同一地点同时出发，甲、乙两位探险者的速度分别为3km/h、4 km/h，且2h后分别到达A，B点，若A，B两点的直线距离为10 km，甲探险者沿着北偏东30°的方向行走，则乙探险者的行走方向可能是（　　） A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【变式1】如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 【变式2】如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发， 沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 【变式3】如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？ 题型十六 勾股定理及逆定理的综合应用 【例3】已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，垂足为点D，，，． (1)求证； (2)若平分交于点P，求的长． 【变式2】（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数． 小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 【变式3】【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 题型一 巧添辅助线构造直角三角形 【例1】如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝　　 ． 【变式1】如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则△ABC的面积为　 　． 【变式2】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD． （1）求证：AB⊥BC． （2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝　 　； （2）分别在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； （3）利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积． 题型二 勾股定理与折叠问题 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形纸片中，，，点为线段延长线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上时，则的长为（   ） A．8 B．10 C．14 D．12 【变式1】（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式3】（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 题型三 分类讨论思想在勾股定理中的应用 【例3】△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（　　） A．66 B．126 C．54或44 D．126或66 【变式1】△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝7.5，则BC的长为　 ． 【变式2】如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　） A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 【变式3】如图，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足为D．已知AD＝3，CD＝1． （1）求AC与AB的长． （2）点P是线段AB上的一动点，当AP为何值时，△ADP为等腰三角形． 题型一 勾股数的规律猜想题 【例1】观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　 　． 【变式1】观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144， 145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　　．（提示：5，13，…） 【变式2】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等． （1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数； （2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明． 【变式3】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　 　，8，10 ②5，　 　，13 ③8，15，　 　． （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组． （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值． 题型二 勾股定理与最短路径问题 【例2】如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木 条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达 点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 【变式1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 题型三 由勾股定理构造图形解决问题（最值问题） 【例2】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则 的最小值是________． 【变式1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于，两点．点，分别是，上的动点，则周长的最小值是______． 【变式2】（23-24八年级下·山东日照·期末）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为____． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 题型四 勾股定理压轴题 【例4】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）已知中，，D是边上一个动点，连接，以为直角边作等腰，其中．    (1)如图1， ①求证：． ②线段之间存在的数量关系为_________． (2)如图2，若，在动点D运动过程中，当周长取得最小值时，求此时的长． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【变式3】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理 一、勾股定理 ●●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. ★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； ★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【拓展】 ◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2. ◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 二、勾股定理的证明 ●通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. ●下面列举几种证明方法： ◆1、“赵爽弦图” 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c2ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2． ◆2、我国数学家邹元治的证明方法 证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝c2ab×4，化简得：a2+b2＝c2． ◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” 证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得：a2+b2＝c2． 三、勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的平方； ②计算另两边的平方和； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 四、勾股数 ●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． ★1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ★2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ★3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… ★4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. 五、勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 题型一 用勾股定理求线段长 【例3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（   ） A．10 B．10或12 C．10或 D．12 【答案】A 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴由勾股定理得，斜边长为 ． 【变式1】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据中点，求出的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴ 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解． 【详解】解：设边的中垂线为， ， ，，， ， ． 【变式3】如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形面积等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 由，是平分线，是边上的高与中线，得，再根据，联立方程求解即可. 【详解】解：∵，是平分线， ∴是边上的高与中线， ∴，， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型二 利用图形面积之间的关系求图形的面积 【例2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了“勾股树”中的规律问题，找出第代勾股树中所有正方形的面积和为，即可求解． 【详解】解：第１代勾股树中所有正方形的面积和为， 第２代勾股树中所有正方形的面积和为， 第３代勾股树中所有正方形的面积和为， 第代勾股树中所有正方形的面积和为， 第2026代勾股树中所有正方形的面积和为， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形面积，可以验证勾股定理，再逐个判断即可． 【详解】解：因为，能用面积验证勾股定理，所以A不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以B不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以C不符合题意； 因为，不能用面积验证勾股定理，所以D符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（    ） A．3，4，5 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，即可得出正确选项． 【详解】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积， ∴A项：，不满足要求，不符合题意； B项：，满足要求，符合题意； C项：，不满足要求，不符合题意； D项：，不满足要求，不符合题意， 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理得到，用各部分面积分别表示出、和，再列式求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积已知， ∴能求出代数式的值， 故选：A． 题型三 已知两点坐标求两点间距离 【例3】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出的长度，根据作图可知，结合点在轴正半轴的位置即可得到点的坐标． 【详解】解：原点坐标为，点坐标为， ， 以点为圆心长为半径画弧，交轴的正半轴于点， ， 点坐标为． 【变式1】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：∵原点坐标为，点坐标为， ∴根据勾股定理，点到原点的距离为：． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离，解题的关键是掌握勾股定理公式的应用． 利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据勾股定理得， ． 故答案为：． 题型四 勾股定理与网格问题 【例4】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；先求出，然后利用三角形的面积的不同表示方法得到等积式求出边上的高. 【详解】解：设边上的高为，边上的高为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：D ． 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出每条线段的长即可判断． 【详解】解：由勾股定理可得：，， 故长度为无理数的线段是， 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为_________． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积，掌握相关知识是解本题的关键．根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：如图，作， 由勾股定理得， ∵， ， 解得：． 故答案为：． 题型五 由勾股定理求两条线段的平方和 【例5】（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 【变式2】如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析 (2)①见解析② 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知，进而可知，即是直角三角形； （2）①根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，根据可知，根据等角对等边得到，根据勾股定理得到，结合平方差公式作答即可； ②过作交于点，作交于点，根据角平分线的性质定理得到，根据得到，可知是等边三角形，即，可知，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 即； ②解：过作交于点，作交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平方差公式，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型六 勾股定理的证明 【例6】（23-24八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a，下底为b，高为的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D． 【详解】解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a，下底为b，高为的梯形面积， ∴， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵以a与b为两直角边的四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以的和为边正方形面积， ∴， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、∵以a与b为两直角边的四个全等三角形面积+边长为的小正方形面积和=以c为边正方形面积， ∴， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、∵四个小图形面积和=大正方形面积， ∴， ∴， 根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的验证方法，关键是利用图形的面积关系，通过等面积法推导，判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：对于选项A，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ，展开化简得，可以验证勾股定理． 对于选项B，梯形的面积可表示为，也可表示为， ， 展开化简得，可以验证勾股定理． 对于选项C，图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，不能用来验证勾股定理． 对于选项D，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ， 化简得，可以验证勾股定理． 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处． ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 题型七 以弦图为背景的计算题 【例7】（25-26八年级上·河南郑州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·福建宁德·期末）小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（    ） A．8 B． C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，关键是找出七巧板中大直角三角形的直角边长关系，结合勾股定理求出直角边长度，再分析火箭高度的组成部分计算结果． 【详解】解：设七巧板中大直角三角形的短直角边为，长直角边为， 根据图2，正中心正方形的边长， ∴． ∵大正方形的边长为直角三角形的斜边，即， ∴， 即，解得，则． 观察火箭图案可知，火箭的高度； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 【答案】B 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，推出，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设，交于点M ∵，，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）我国古代数学家赵爽在注解（周髀算经）时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是80，每个直角三角形的较长直角边与较短直角边的比为，则中间小正方形（阴影部分）的周长为_____． 【答案】16 【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为，根据勾股定理列方程得出，确定小正方形的边长为，求解即可． 【详解】解：设直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为， ∵大正方形的面积是80， ∴， 解得，或（舍去）， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的周长为， 故答案为：16． 题型八 勾股定理与无理数 【例8】如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出的长，则可得到的长，再用点C表示的数减去的长即可得到a的值． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得 ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得的长． 利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案． 【详解】解：∵点C的坐标为，点O在原点上， ∴，又 由勾股定理得：． ∴． 即数轴上点A表示的实数是， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟记实数和数轴的关系是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据勾股定理求得，再结合数轴确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是1， ∴点E所表示的数为． 故选：D． 题型九 利用三边关系判定直角三角形 【例9】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（  ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项：，该三角形不是直角三角形，符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（   ） A．2，3，4 B．，3，5 C．5，12，13 D．6，8，9 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形的三条边满足，则这个三角形为直角三角形”，由此选出答案． 【详解】解：A、，故不能组成直角三角形，不符合题意； B、，故不能组成直角三角形，不符合题意； C、，故能组成直角三角形，符合题意； D、，故不能组成直角三角形，不符合题意． 【变式2】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A． B．5，12，13 C．3，5，7 D．2，2.5，1.5 【答案】C 【分析】若三角形三边中，两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，反之则不是，逐一验证即可得到答案． 【详解】解：选项A：，， ，能构成直角三角形，不符合要求； 选项B：，， ，能构成直角三角形，不符合要求． 选项C：，， ，不能构成直角三角形，符合要求． 选项D：，， ，能构成直角三角形，不符合要求． 【变式3】（25-26八年级上·山西运城·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：对选项A： ∵ ，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ 不能判定为直角三角形，不符合要求； 对选项B： ∵， 设 ，， ， ∴ ，， ∴ ，符合勾股定理的逆定理， ∴ 能判定为直角三角形，符合要求； 对选项C： ∵ ，三角形内角和为， 设 ， ，， ∴ ，解得， ∴ 最大角， ∴不能判定为直角三角形，不符合要求； 对选项D： ∵，三角形内角和为， ∴，是等边三角形， ∴ 不能判定为直角三角形，不符合要求． 题型十 勾股数 【例12】（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 【变式1】下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【详解】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 【变式2】下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股树（数）问题，解题关键是掌握勾股树（数）并能运用求解． 根据勾股数的意义，通过计算对四组作出判断． 【详解】解：，故A不符合； 勾股数是整数，，，不是整数，故B不符合； ，故C不符合； ，故D符合， 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·山西太原·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5 【答案】D 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、∵不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； B、∵0.6，0.8不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； C、∵，，，∴不满足勾股数条件，故选项不符合题意； D、∵，且三个数均为正整数，∴是勾股数，故选项符合题意． 题型十一 勾股定理及其逆定理解决面积问题 【例10】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【详解】解：连接， ，，， ∴， ， ，， ∴，， ，则为直角三角形，且， 这块地的面积为． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（    ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积计算，解题的关键是判断三角形的形状，再计算其面积． 先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算沙田的面积． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里． ， ． 这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边． 沙田的面积为（平方里）． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·四川雅安·期中）如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积 的面积 的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， ∵，， ，， ， 是直角三角形， ， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 这块菜地的面积为， 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴学校要投入资金为：（元）， 故选：C． 题型十二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 【例11】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 【变式3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可； （3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可． 【详解】（1）∵， ∴即为所求； （2）∵EF=FG=GD=DE=， ∴正方形的面积为13； （3）HI=； （4）∵KL=，JL=，JK=， 且 ∴是直角三角形，且周长为． 【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型十三 在网格中判断直角三角形 【例12】（2025八年级上·上海·专题练习）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点，，都在格点上，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用． 先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，即可求解的面积． 【详解】解：∵在正方形网格中，每个小正方形的边长是1， ∴由勾股定理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故D错误，A、B、C正确， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式． 根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可． 【详解】解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）在的方格纸中，三角形的顶点都在格点上，则下列选项中的图形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据勾股定理，求出三边的长；再根据勾股定理的逆定理，验证是否满足直角三角形． 【详解】解：A、由勾股定理求得三边长分别为，，， ∵ ∴构成直角三角形，故A选项符合题意； B、由勾股定理求得三边长分别为，，， ∵， ∴不构成直角三角形，故B选项不符合题意； C、由勾股定理求得三边长分别为，，4， ∵， ∴不构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、由勾股定理求得三边长分别为，，， ∵， ∴不构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：A． 题型十四 勾股定理的实际应用 【例12】（25-26八年级上·山西临汾·期末）“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高米（即米），施救点距离地面的高度为米，此时云梯的长度为米． (1)求云梯底部到楼房的距离． (2)消防员发现在处上方米的处有人未撤离，为了救出处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部需沿方向前进多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据已知求得，在中，根据勾股定理，即可求得的长； （2）根据勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】（1），， ． 在中， （米） 答：云梯底部到楼房的距离为米． （2）由题意，得， 由（1）可知 ． 在中， 米 由（1）可知 米 答：云梯底部需沿方向前进米． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该朝射线方向前进4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：中， 米， 米， 答：此时风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：米， 由题意可得：米， 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 【变式2】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 【答案】(1)旗杆的高度为12米 (2)小明需要后退约米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设旗杆的高度为x米，则米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）过E作于点G，可证明，，米，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 答：旗杆的高度为12米； （2）解：如图，过E作于点G， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，由勾股定理得（米）， 米， 米米， 答：小明需要后退约米． 【变式3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)台风中心移动的速度为 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点C作于点D，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 过点C作于点D，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港C受台风影响； （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图， 时，正好影响海港C， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为7小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度20千米/小时． 题型十五 勾股定理的逆定理的实际应用 【例13】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，两人从同一地点同时出发，甲、乙两位探险者的速度分别为3km/h、4 km/h，且2h后分别到达A，B点，若A，B两点的直线距离为10 km，甲探险者沿着北偏东30°的方向行走，则乙探险者的行走方向可能是（　　） A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【答案】C． 【分析】根据题意得到OA＝3×2＝6（km），OB＝4×2＝8（km），根据勾股定理的逆定理得到∠AOB＝90°，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解：∵甲、乙两位探险者的速度分别为3km/h、4 km/h，且2h后分别到达A，B点， ∴OA＝3×2＝6（km），OB＝4×2＝8（km）， ∵AB＝10km， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∵甲探险者沿着北偏东30°的方向行走， ∴乙探险者的行走方向可能是南偏东60°， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角，正确地判断出∠AOB＝90°是解题的关键． 【变式1】如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 【答案】A 【分析】本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解∶如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∵长的边线为南北向， ∴长的边线方向为东西方向， 故选∶A． 【变式2】如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发， 沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，连接，根据题意可得：（海里），（海里），（海里），，然后利用勾股定理逆定理得，从而得，再利用平角的定义计算，最后根据方向角的概念可得答案． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：（海里），（海里），（海里），， ∵，即， ∴， ∴， ∴乙船航行的方向是南偏西方向， 故选：A． 【变式3】如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？ 【分析】首先得出BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，然后利用其逆定理得到∠ABC＝90°确定最短距离，然后利用面积相等求得BD的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵BC2+AB2＝122+52＝169， AC2＝132＝169， ∴BC2+AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， 当BD⊥AC时BD最短，造价最低． ∵S△ABCAB•BCAC•BD， ∴BD，即BD（km）． ∴260＝1200（万元）． 答：最低造价为1200万元． 题型十六 勾股定理及逆定理的综合应用 【例3】已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长到G使，连接，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，垂足为点D，，，． (1)求证； (2)若平分交于点P，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，证明是解题的关键． （1）利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，再证明，据此可证明结论； （2）过点P作于点E，由角平分线的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形，； （2）解：如图所示，过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数． 小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 【分析】（1）如图1，首先证明BE2＝PE2+PB2，得到∠BPE＝90°；证明∠CPE＝45°即可解决问题． （2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP＝60°；其次证明PQ2+CQ2＝PC2，得到∠PQC＝90°，求出∠AQC＝150°，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE＝90° PC＝EC＝2；BE＝PA＝3； 由勾股定理得：PE2＝22+22＝8； ∵PB2＝1，BE2＝9， ∴BE2＝PE2+PB2， ∴∠BPE＝90°， ∵∠CPE＝45°， ∴∠BPC＝135°． （2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ； 则AP＝AQ，∠PAQ＝60°，QC＝PB＝4； ∴△APQ为等边三角形，∠AQP＝60°，PQ＝PA＝3； ∵PQ2+CQ2＝32+42＝25，PC2＝52＝25， ∴PQ2+CQ2＝PC2， ∴∠PQC＝90°，∠AQC＝60°+90°＝150°， ∴∠APB＝∠AQC＝150°． 【变式3】【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）通过证明即可证明； （2）连接，根据条件证明可得，进而得到，由勾股定理即可证明； （3）延长到T，使，连接，延长交于点J，即可证明，利用全等三角形的性质可得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵点是线段，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图，    ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图，    ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 题型一 巧添辅助线构造直角三角形 【例1】如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝　　 ． 【答案】4.5． 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠C＝90°，然后根据角平分线的性质可得DC＝DE，最后根据△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AC2+BC2＝92+122＝225，AB2＝152＝225， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积， ∴AC•BCAC•CDAB•DE， ∴AC•BC＝AC•CD+AB•DE， ∴9×12＝9CD+15DE， ∴CD＝DE＝4.5， 故答案为：4.5． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则△ABC的面积为　 　． 【答案】30． 【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE＝13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE＝90°，即可求解． 【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE． 在△ADC与△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝13．S△BDE＝S△ADC， ∴S△ABE＝S△ABC， 在△ABE中，AB＝5，AE＝12，BE＝13， ∴AB2+AE2＝BE2， ∴∠BAE＝90°． ∴S△ABC＝S△ABEAB×AE＝30， 故答案为：30． 【变式2】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD． （1）求证：AB⊥BC． （2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°即可； （2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，由∠ABC＝90°，可得AC2＝18k2，在Rt△ACD中，根据AC2＝CD2+AD2，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接AC． ∵CD⊥AD， ∴AD2+CD2＝AC2， ∵AD2+CD2＝2AB2，AB＝BC， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC． （2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k， ∵∠ABC＝90°， ∴AC2＝18k2， 在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2， ∴18k2＝172+k2， ∴k， ∴CD，AB＝BC＝3， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+AD+CD＝17+7． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝　 　； （2）分别在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； （3）利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积． 【答案】（1）14﹣x； （2）84． 【分析】作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理可得132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，计算出x的值，再由勾股定理求出AD的长即可得出三角形ABC的面积． 【详解】解：（1）作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x， 故答案为：14﹣x； （2）在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理得： AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2， AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2， ∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2， 解得x＝9； （3）在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD12， ∴84． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型二 勾股定理与折叠问题 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形纸片中，，，点为线段延长线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上时，则的长为（   ） A．8 B．10 C．14 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵在长方形纸片中，，， ∴， ∵把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上 ∴， 在中， ∴ ， 设，则， 在中， ∴ 解得：， 即的长为， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 【变式2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 【变式3】（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得出，再利用勾股定理求出，最后根据等面积法求解． 【详解】解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 题型三 分类讨论思想在勾股定理中的应用 【例3】△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（　　） A．66 B．126 C．54或44 D．126或66 【答案】D． 【分析】由勾股定理求出BD、CD的长，再分两种情况分别计算即可． 【详解】解：如图1，∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB＝20，AD＝12， ∴BD16， 又∵AC＝13， ∴CD5， ∴BC＝BD+CD＝21， ∴△ABC的面积21×12＝126； 如图2，BC＝BD﹣CD＝11， ∴△ABC的面积11×12＝66； 综上所述，△ABC的面积为126或66， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意分类讨论． 【变式1】△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝7.5，则BC的长为　 ． 【答案】或3 【分析】根据等腰三角形的性质以及勾股定理即可求出答案． 【详解】解：若△ABC是锐角三角形时， 过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB•CD， ∴CD＝3， ∴由勾股定理可知：AD＝4， ∴BD＝1， ∴BC， 若△ABC是钝角三角形时， 同理可求出得BC＝3， 故答案为：或3 【点睛】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质以及勾股定理，本题属于中等题型． 【变式2】如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　） A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 【答案】C． 【分析】注意题目表述为射线DC，所以分为两种情况，一种是点E在线段DC上，另一种是点E在DC的延长线上，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：①如图1，当点E在线段DC上时， ∵∠ED′A＝∠D＝∠AD′B＝90°， ∴B，D′，E三点共线， ∵S△ABEAB×ADBE×AD′， ∴BE＝AB＝5， ∵BD′4， ∴DE＝D′E＝BE﹣BD′＝5﹣4＝1； ②如图2，当点E在DC的延长线上时， ∵∠AD′B＝∠BCE＝90°，AD′＝AD＝BC＝3，AB＝CD＝5， ∴BD′＝4， 设CE＝x，则： D′E＝DE＝x+5， ∴BE＝D′E﹣BD′＝x+1， ∵CE2+BC2＝BE2， ∴x2+32＝（x+1）2， 解得：x＝4， ∴DE＝CD+DE＝5+4＝9， 综上，DE的值为1或9． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是分两种情况讨论，特别时第二种比较容易遗漏． 【变式3】如图，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足为D．已知AD＝3，CD＝1． （1）求AC与AB的长． （2）点P是线段AB上的一动点，当AP为何值时，△ADP为等腰三角形． 【分析】（1）由勾股定理直接求得AC，设AB＝x，由勾股定理列出x的方程，便可求得AB； （2）分三种情况：AP＝AD；AP＝DP；AD＝DP．分别进行解答便可． 【详解】解：（1）由勾股定理得，AC， 设AB＝BC＝x，则BD＝x﹣1， 在Rt△ABD中，由勾股定理得，x2﹣（x﹣1）2＝32， 解得x＝5， ∴AB＝5； （2）当AP＝AD＝3时，，△ADP为等腰三角形； 当AP＝DP时，如图， ∴∠PAD＝∠PDA， ∵∠PAD+∠B＝90°，∠PDA+∠BDP＝90°， ∴∠PDB＝∠B， ∴PD＝PB＝PA， ∴APAB＝2.5； 当AD＝DP＝3时，如图，过D作DE⊥AP于点E， ∴AE＝PE， 设AE＝PE＝x，则BE＝5﹣x， ∵AD2﹣AE2＝DE2＝BD2＝BE2， 即32﹣x2＝42﹣（5﹣x）2， 解得x＝1.8， ∴AP＝3.6． 综上，当AP＝2.5或3或3.6时，△ADP为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键． 题型一 勾股数的规律猜想题 【例1】观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　 　． 【分析】①3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1；②5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1；③7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1；④9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1；……，观察得出规律：第n组勾股数的第一个数为2n+1，第二个数为2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1，即可解决问题． 【详解】解：①3＝2×1+1；4＝2×1×（1+1）；5＝2×1×（1+1）+1． ②5＝2×2+1；12＝2×2×（2+1）；13＝2×2×（2+1）+1． ③7＝2×3+1；24＝2×3×（3+1）；25＝2×3×（3+1）+1． ④9＝2×4+1；40＝2×4×（4+1）；41＝2×4×（4+1）+1． …… 则第n组勾股数的第一个数为：2n+1，第二个数为：2×n×（n+1）＝2n（n+1），第三个数为：2×n×（n+1）+1＝2n2+2n+1， ∴第8组勾股数为：17，144，145， 故答案为：17，144，145． 【点评】本题考查的是勾股数以及规律型问题，根据数据的关系得出规律是解题的关键． 【变式1】观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144， 145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　　．（提示：5，13，…） 【分析】它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二． 【详解】解：由题意得：a2+1442＝1452， a2＝1452﹣1442， a＝17． 故答案为：17． 【变式2】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等． （1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数； （2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明． 【分析】（1）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案； （2）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【详解】解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，102+242＝262， 即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 所以第六组勾股数为14，48，50． （2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1，证明如下： （n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2． 【详解】此题考查了勾股数，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【变式3】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　 　，8，10 ②5，　 　，13 ③8，15，　 　． （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组． （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值． 【分析】（1）根据勾股数的定义即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先化简得：7，24，25，可得24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32，依此可求m＝4，n＝3，再代入计算即可求解． 【详解】解：（1）①6，8，10； ②5.12，13；③8，15，17． 故答案为：6，12，17； （2）证明：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2， （m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2， ∴（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2， ∴m2﹣n2，m2+n2，2mn是勾股数； （3）化简得：7，24，25， ∵偶数24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32， ∴m＝4，n＝3， ∴m+n＝7． 题型二 勾股定理与最短路径问题 【例2】如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木 条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达 点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的勾股定理的实际应用，平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求最短彩条长， 由题意得，，， 由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即：所用彩条最短长度是41． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据正方体的展开图及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵点P是的中点， ∴， 如图， ∴， ∴； 如图， ∴； 如图， ∴， ∵， ∴所走的最短路程是； 故选C． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关键．将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图为圆柱体的侧面展开图， 圆柱体的底面周长为， 半周长为， 又， ， 沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是． 故选：C． 题型三 由勾股定理构造图形解决问题（最值问题） 【例2】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则 的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质，得出垂直平分，因此点与点关于对称，将转化为；再根据垂线段最短，确定当时，取得最小值，即的长度；接着用勾股定理算出的长，进而得到的长；最后用三角形面积的两种不同表示方法，求出的长，即为的最小值． 【详解】解：∵，平分， ∴垂直平分， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴， 如图，根据“垂线段最短”，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度， 在中，，，由勾股定理：， ∴， ∵， ∴， ∴， 的最小值为． 【点睛】这类“两动点+对称轴”的最短路径问题，核心是利用轴对称将同侧点转化为异侧点，再用“垂线段最短”求解，面积法是求斜边上高的常用技巧． 【变式1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于，两点．点，分别是，上的动点，则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】作点C关于的对称点H，点C关于x轴对称的点F，连接，则，求出点A和点B的坐标，进而可推出，由轴对称的性质可得，则可证明得到点H的坐标，可证明当H、E、D、F四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点H，点C关于x轴对称的点F，连接，则， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵的周长， ∴当H、E、D、F四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为． 【变式2】（23-24八年级下·山东日照·期末）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为____． 【答案】 【分析】在一条长为的线段上取一点，将线段分为两条线段，以这个点为锐角顶点，这两条线段为直角边，在线段的两旁建立两个直角三角形，这两个直角三角形的另一条直角边分别为和，利用两点之间线段最短和勾股定理求出这两个直角三角形另一个锐角顶点连线的长度即为所求的最小值． 【详解】构造两直角三角形如图，      ，，，，点为上一个动点，，，则：，，， 由图可知：， ∴的最小值为线段的长， 过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是用数形结合思想，构造出图形． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）解：在图中，， 在图中， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 题型四 勾股定理压轴题 【例4】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）已知中，，D是边上一个动点，连接，以为直角边作等腰，其中．    (1)如图1， ①求证：． ②线段之间存在的数量关系为_________． (2)如图2，若，在动点D运动过程中，当周长取得最小值时，求此时的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①先判断出，得出，即可得出结论； ②先判断出，进而判断出，再用勾股定理得出，即可得出结论； （2）先判断出，进而得出的周长为，进而判断出当时，最短，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：， ， 在和中， ， ， ； ②； 证明：在中，， ， 由（1）知，， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 由（1）知，， ∵，， ∴， ． （2）解：在中，， ， 的周长为， 要使的周长最小，则最短， 当时，最短， 在中，，根据勾股定理得，， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出时，最短是解本题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【答案】(1)、、 (2)①见解析；②见解析 (3)97 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． （2）解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析，② 【分析】（1）由“商高定理”得出； （2）由“商高定理”得出，，则，，即可得出结论； （3）①连接，设交于交于，由正方形的性质得出，证出，由证得； ②由，得出，则，得出，由（2）可得，由勾股定理得出，推出，代入 ，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：在中，， ∴， 同理：， ∴， ∴； （3）①证明：连接，设交于，交于，如图所示： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得：， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， ∴， ∵， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的知识；熟练掌握全等三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $