第2章 7 培优课 利用导数证明不等式(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦导数证明不等式核心知识点，系统梳理移项作差构造函数、构造双函数、换元法处理双变量、适当放缩法四大题型，形成从基础构造到复杂转化的递进式学习支架，衔接各方法间的逻辑关联。 资料以“例题-通性通法-跟踪训练”为框架，通过具体实例（如构造辅助函数证明不等式）培养学生数学思维中的推理能力，引导学生用数学语言表达证明逻辑，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固方法、查漏补缺，提升解决复杂问题的能力。

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+款辅专家 培优课利用导数证明不等式 【典例研析】 【例1】解：(1)由题意知切点(e,f(e))在切线y=是上，可得f(e)=音，即=音，得a =0,所以f(x)=要，f(x)=,由f(x)>0,得0<<e;由(x)<0,得x>e.所以f (x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e,+∞)· (2)证明：当a=-1时，(x+2)f(x)>e, 即+2>e,x∈(1，十o)， -1 即证(x+2)lnx-e(x-1)>0,x∈(1，+∞). 令h(x)=(x+2)lnx-e(x一1)，x>1,则问题转化为证明h(x)>0. h'(x)=lnx+是+1-e, 令p(x)=lnx+是+1-e,则p'(x)=妥， 由0'(x)<0,得1<x<2; 由p'(x)>0,得x>2. 所以h'(x)在(1,2)上单调递减，在（2，十∞)上单调递增， 而h'(1)=3-e>0,h(2)=2+ln2-e<0,(e)=2+是-e>0, 所以存在1∈(1,2)，2∈（2，e),使得h'(x1)=h1'(x2)=0, 所以h(x)在(1,1)上单调递增，在(1，x2)上单调递减，在(x2,十∞)上单调递增， 所以当x=x1时，h（x)取得极大值， 当x=2时，h(x)取得极小值， 又h(1)=0,则1<x<x1时，h(x)>0,所以只需证明h(x2)>0即可. 由题意h(x2)=(x2+2)lnx2-e(x2-1),① 由h'()=0,得e=ln2十是十1，② 将②代入①得h(x2)=3n2-2-1十忌(2<2<e). 令g(x)=3lnx-x-1+是(2<x<e), 则g(x）=--2<0, x2 故g(x)在(2，e)上单调递减，则h(x2)>h(e)=2十-e>0,所以当x∈(1，十∞)时，h (x)>0,不等式得证. 跟踪训练 1/5 独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)f(x)=ex-a,∴.f(0)=1-a, 又.f(x)的图象在点(0,1)处的切线斜率为一1， 即1-a=-1,∴.a=2. ∴.f(x)=er-2x,f(x)=e*-2. 令f(x)=0,解得x=ln2. 当x<ln2时，f(x)<0,函数f(x)单调递减； 当x>ln2时，f(x)>0,函数f(x)单调递增. ∴.当x=ln2时，函数f(x)取得极小值，为f(n2)=2-2ln2,无极大值. (2)证明：令g(x)=er-x2,则g'(x)=e-2x, 由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln2)>0, ∴g(x)在R上是增函数， 因此当x>0时，g(x)>g(0)=1>0,∴.x2<ex 【例2】解：(1)f(x)=是-a(x>0), ①若a≤0，则f(x)>0,f(x)在(0，+∞)上为增函数； ②若a>0,则当0<x<号时，f(x)>0: 当x>号时，(x)<0.故在(0，号)上，f(x)单调递增；在（号，+∞）上，f(x)单调递减. (2)证明：因为x>0,所以只需证f(x)≤-2e, 由(1)知，当a=e时，f(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，十∞)上单调递减，所以f(x)max=f(1)=一e. 记g()=号-2e(>0),则g(x)=s, 所以当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)mim=g(1)=-e. 所以当x>0时，f(x)≤g(x), 即f(x)≤号-2e,即xf(x)-e+2ex≤0. 跟踪训练 解：(1)由f(x)=xnx,x>0,得(x)=nx十1，令f(x)=0,得x=, 当x∈(0，)时，(x)<0,f(x)单调递减； 2/5 ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当x∈（合，+∞）时，(x)>0,f(x)单调递增。 ∴当x=时，f(x)取极小值， f(x)极小值=（告）=一音，无极大值. (2)证明：问题等价于证明nx>各-(x∈(0，十∞)). 由(1)可知f(x)=x血x(x∈(0，十∞))的最小值是一÷，当且仅当x=时取到. 设m(x)=ě-名(x∈(0，+∞）)，则m'(x)=器， 由m'(x)<0,得x>1时，m(x)单调递减， 由m'(x)>0得0<x<1时，m(x)单调递增， 易知m(x)max=m(1)=一音，当且仅当x=1时取到. 从而对一切x∈(0，十∞)，xx≥一合≥高一，两个等号不同时取到， ∴.对一切x∈(0，十∞)都有nx>一最成立. 【例3】证明：不妨设x1>2>0, 因为ln一aw1=0,lnx2一ax2=0, 所以n1+nx2=a(1+x2),ln灯一lnx2=a(一x2）, 所以=a, 欲证xx2>e2,即证lnx1+ln2>2. 因为lnx1+nx2=a(x十x2）, 所以即证a>xs, 2 所以原问题等价于证明如出盛>， 即n是>2l x1+x2 令c=是(c>1),则不等式变为1nc>2 c+1 令h(c)=lnc 2c1,c>1, c+1 4 c-1 所以N(c）=专-+1=。e+>0, 所以h(c)在(1，十∞)上单调递增， 所以h(c)>h(1)=ln1-0=0, 即1ne-2>0c>1D， 因此原不等式x1x2>e2得证. 3/5 独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 跟踪训练 证明：f(x)=lnx+x2+x(x>0). 由f(x1)+f(x2)十x1x2=0, 得lnx+十x1十lnx2十x号+x2十x2=0, 从而（十2）2+（灯十2）=x1x2-n(x2), 令1=3(t>0),φ(t)=t-nt,得φ'(t)=1-=其， 易知0(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，十∞)上单调递增，所以φ(t)≥φ(1)= 1,所以（十2）2+（灯十32）≥1， 因为n>0,>0,所以十≥号成立. 【例4】解：(1)f(x)=me-1, 在（一∞，-lnm)上，(x)<0,f(x)单调递减，在(-lnm,+∞）上，P(x)>0,f(x) 单调递增， 故f(x)的最小值为f(-lnm)=me-血m-(一lnm)-lnm-1=0. (2)证明：令g(x)=e-x-l,则g'(x)=ex-1, 当x=0时，g(x)取最小值，故g(x)≥g(0)=0,即对Vx∈R,e≥x+1, 故xeer=er+elnx≥x十elnx+l,故xeer-elnx-n(x+l)≥x-ln(x+1)+l, 而对x>0,e>x+1→x>ln(x+1), 所以x-ln(x+1)>0,x-n(x+1)+1>1,故原不等式得证. 跟踪训练 解：(1)当a=1时， f(x)=ex-1-Inx-1 (x>0), f(x)=e-1一是，所以所求切线的斜率为f(1)=0, 又f(1)=0, 所以切点为(1,0). 所以切线方程为y一0=0(x一1)，即y=0. (2)证明：因为a≥1， 所以aex-l≥ex-1, 所以f(x)≥ex-1-lnx-l. 4/5 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 法一令p(x)=e-1-lnx-1(x>0), 所以0'(x)=e-1-意， 令h(x)=ex-1-是， 所以h(x)=e-1+是>0， 所以p'(x)在(0，十∞)上单调递增，又φ'(1)=0， 所以当x∈(0,1)时，φ'(x)<0, 当x∈(1，+∞)时，p'(x)>0, 所以φ(x)在(0,1)上单调递减， 在(1，十∞)上单调递增， 所以p(x)mim=p(1)=0, 所以φ(x)≥0， 所以f(x)≥φ(x)≥0， 即f(x)≥0. 法二令g(x)=e-x-l, 所以g'(x)=e-l. 当x∈(-∞，0)时，g'(x)<0, 当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0, 所以g(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， 所以g(x)min=g(0)=0, 故e≥x+1,当且仅当x=0时取等号. 同理可证lnx≤x一1，当且仅当x=1时取等号. 由e≥x十1→ex-1≥x(当且仅当x=1时取等号)， 由x一1≥lnx曰x≥nx+1（当且仅当x=1时取等号)， 所以ex-1≥x≥nx+1,即ex-1≥lnx+l, 即e-1一lnx一1≥0（当且仅当x=1时取等号），故f(x)≥0. 5/5 ·独家授权侵权必究 题型一｜移项作差构造函数证明不等式 【例1】　已知函数f（x）＝（a∈R）. （1）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝，求f（x）的单调区间；（e＝2.718 28…为自然对数的底数） （2）设a＝－1，证明：（x＋2）f（x）＞e，x∈（1，＋∞）.（参考数据：ln 2≈0.693） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　一般地，要证f（x）＞g（x）在区间（a，b）上成立，需构造辅助函数F（x）＝f（x）－g（x），通过分析F（x）在端点处的函数值来证明不等式.若F（a）＝0，只需证明F（x）在（a，b）上单调递增即可；若F（b）＝0，只需证明F（x）在（a，b）上单调递减即可. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝ex－ax（e为自然对数的底数，a为常数）的图象在点（0，1）处的切线斜率为－1. （1）求a的值及函数f（x）的极值； （2）求证：当x＞0时，x2＜ex. 题型二｜构造双函数证明不等式 【例2】　已知函数f（x）＝eln x－ax（a∈R）. （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a＝e时，证明：xf（x）－ex＋2ex≤0. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　将要证明的不等式拆分成两个函数不等式，如本例第（2）问中xf（x）－ex＋2ex≤0的证明若直接构造函数h（x）＝xeln x－ax2－ex＋2ex，求导后不易分析，故可将不等式合理拆分为f（x）≤－2e或ln x－x＋2≤，再分别对不等式两边构造函数证明不等式. 【跟踪训练】 已知f（x）＝xln x. （1）求函数f（x）的极值； （2）证明：对一切x∈（0，＋∞），都有ln x＞－成立. 题型三｜换元法构造函数证明不等式 【例3】　已知函数f（x）＝ln x－ax（x＞0），a为常数，若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1≠x2）.求证：x1x2＞e2. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，通过关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化为一个变量的不等式；然后对转化得到的不等式，根据其组成的特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式，即可证得不等式. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝ln x＋x2＋x，若正实数x1，x2满足f（x1）＋f（x2）＋x1x2＝0.求证：x1＋x2≥. 题型四｜适当放缩法证明不等式 【例4】　已知函数f（x）＝mex－x－ln m－1，其中m＞0. （1）求f（x）的最小值； （2）证明：xeex－eln x－ln（x＋1）＞1. 通性通法 　　导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下：（1）ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；（2）ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝aex－1－ln x－1. （1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）证明：当a≥1时，f（x）≥0. 提示：完成课后作业　第二章　培优课 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $