模块综合检测（B）(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

模块综合检测（B）

（时间：120分钟　满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.根据所给数列前5项的规律，判断数列1，，，，3，…，3的项数为（　　）

A.2 B.9

C.13 D.14

解析：D　1，，，，3，即，，，，，所以an＝.令＝3，即2n－1＝27，解得n＝14，即该数列的项数为14.

2.已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为（　　）

A.5 B.7

C.9 D.11

解析：B　由数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n的规律，可知有1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，…，因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7.

3.定义在R上的可导函数f（x），已知y＝ef'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的单调递增区间是（　　）

A.（－∞，1） B.（－∞，2）

C.（0，1） D.（1，2）

解析：B　由题图知，f'（x）≥0的区间是（－∞，2），故函数y＝f（x）的单调递增区间为（－∞，2），故选B.

4.ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A，B，C三组纸张尺寸.设型号为A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6的纸张的面积分别为a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，它们组

成一个公比为的等比数列，设型号为B1，B2，B3，B4，B5，B6的纸张的面积分别是b1，b2，b3，b4，b5，b6，已知＝ai－1ai（i＝1，2，3，4，5，6），则的值为（　　）

A. B.

C. D.2

解析：C　∵a5＝a4×，＝a4·a5，∴＝a4·a4×，又a4＞0，b5＞0，∴＝，故选C.

5.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（　　）

A.184斤 B.176斤

C.65斤 D.60斤

解析：A　依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn，第一个孩子所得棉花斤数为a1，则由题意得，d＝17，S8＝8a1＋×17＝996，解得a1＝65，∴a8＝a1＋（8－1）d＝184.故选A.

6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，且数列{an}从第6项开始为负数，则S7的取值范围是（　　）

A.[2，3） B.

C. D.

解析：D　设数列{an}的公差为d，因为数列{an}从第6项开始为负数，所以即所以－≤d＜－，S7＝＝（a2－d＋a2＋5d）＝7（1＋2d）＝7＋14d∈.故选D.

7.已知数列{an}的通项公式为an＝kn2－n，若{an}为递增数列，则实数k的取值范围为（　　）

A.（1，＋∞） B.（0，＋∞）

C.（ ，＋∞） D.（ ，＋∞）

解析：D　法一（作差法） 若{an}为递增数列，则an＋1＞an（n∈N＋），即k（n＋1）2－（n＋1）＞kn2－n对任意n∈N＋恒成立，即k＞对任意n∈N＋恒成立，则k＞（ ）max.又当n＝1时，取得最大值，为，所以k＞.故选D.

法二（函数特性法） 由{an}为递增数列，知k≠0.由于f（x）＝kx2－x（k≠0）图象的对称轴为直线x＝，所以要使数列{an}为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f（n）为增函数，则＜，得k＞.故选D.

8.若函数f（x）＝ax3－3x2＋x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－∞，3） B.（－∞，3]

C.（－∞，0）∪（0，3] D.（－∞，0）∪（0，3）

解析：D　∵函数f（x）＝ax3－3x2＋x＋1，∴f'（x）＝3ax2－6x＋1.由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f'（x）有两个不相等的零点，∴3ax2－6x＋1＝0满足a≠0，且Δ＝36－12a＞0，解得a＜3且a≠0，∴a∈（－∞，0）∪（0，3）.故选D.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）

9.对于函数f（x）＝excos x－x，x∈（0，π），下列结论正确的是（　　）

A.f'（x）在（0，π）上单调递减

B.f'（x）存在极小值

C.f（x）存在最大值

D.f（x）无最小值

解析：AD　令g（x）＝f'（x）＝ex（cos x－sin x）－1，则g'（x）＝－2exsin x.因为当x∈（0，π）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，π）上单调递减，所以f'（x）不存在极值，所以f'（x）在（0，π）上单调递减，故A正确，B错误.易知对于任意的x∈（0，π）有g（x）＜g（0）＝0，即f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，π）上单调递减，故f（x）不存在最大值和最小值，故C错误，D正确.

10.已知函数f（x）＝xln x，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（　　）

A.x2f（x1）＜x1f（x2）

B.x1＋f（x1）＜x2＋f（x2）