第1章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

2.2　等差数列的前n项和 第一课时　等差数列的前n项和公式

课标要求

第一课时　等差数列的前n项和公式

在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇室建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.

【问题】　文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？

知识点一　等差数列的前n项和公式

1.数列的前n项和

定义：数列{an}中，从第一项a1到第n项an的和称为数列{an}的前n项和.记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.

2.数列的前n项和公式

定义：如果数列{an}的前n项和Sn能用关于项数n的一个式子g（n）来表示，那么Sn＝g（n）叫作数列{an}的前n项和公式.

3.等差数列的前n项和公式

　　提醒：（1）等差数列{an}的前n项和公式的推导方法“倒序相加法”是解决数列求和问题的一种重要方法.主要适用于具有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…特征的数列求和；（2）若已知等差数列{an}的首项a1、末项an及项数n，则用公式Sn＝来求和.这里是a1与an的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质；（3）公式Sn＝中涉及四个量：

Sn，n，a1，an；公式Sn＝na1＋d中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个量就可以求出另外的两个量.

知识点二　数列中an与Sn的关系

　对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝

　　提醒：在使用an与Sn的关系求an时，要注意验证n＝1时与n≥2时求得的通项公式是否可以合并.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.（　√　）

（2）若数列{an}的前n项和Sn＝kn（k∈R），则{an}为常数列.（　√　）

（3）等差数列的前n项和等于其首项、第n项的等差中项的n倍.（　√　）

（4）若数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意的n∈N＋，an＝Sn－Sn－1.（　×　）

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝（　　）

A.16　　　　　　 　　　 B.24

C.36 D.48

解析：D　设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋d＝20，即4×＋d＝20，解得d＝3，∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.

3.等差数列{an}中，若a1＝－1，S25＝30，则公差d＝　　.

解析：由S25＝－25＋×24×25×d＝30，解得d＝.

题型一｜等差数列前n项和的基本运算

【例1】　在等差数列{an}中：

（1）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；

解：（1）解得

∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，

S10＝10a1＋d＝10×（－5）＋5×9×3＝85.

（2）已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.

解：（2）由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，

又∵a8＝4＋（8－1）d＝39，∴d＝5.

∴a8＝39，d＝5.

通性通法

等差数列中基本计算的两个技巧

（1）利用基本量求值

（2）利用等差数列的性质解题

【跟踪训练】

在等差数列{an}中：

（1）若a1＝1，a4＝7，求S9；