第1章 2 培优课 等差数列的综合问题 能力提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

培优课　等差数列的综合问题 能力提升

题型一｜数列中的数学文化

【例1】　《张丘建算经》中有一道题：“今有十等人，大官甲等十人（即每等一人），官赐金，依等次差（即等差）降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”根据题意，可得每等人比其下一等人多得金（　B　）

A.斤　　　　　　　　　 B.斤

C.斤 D.斤

解析：　设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}为等差数列，设公差为d（d＞0），则每等人比下一等人多得d斤金，由题意得即解得d＝，故每等人比其下一等人多得金斤.

通性通法

　　以数学文化为背景的等差数列问题的求解关键是：（1）会脱去数学文化的背景，读懂题意；（2）构建模型，即由题意构建等差数列的模型；（3）解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等.

【跟踪训练】

我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何.”则分钱问题中的人数为　195　.

解析：设人数为n，则由题意可知，每人分得钱数构成公差为1，首项为3的等差数列，且前n项和Sn＝100n，又Sn＝＋3n，所以＋3n＝100n，解得n＝195.

题型二｜数列中的公共项问题

【例2】　在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数.

解：法一　由题可知，第一个数列是首项为2，公差为3的等差数列，记为{an}，则其通项公式为an＝3n－1；

第二个数列是首项为2，公差为5的等差数列，记为{bm}，则其通项公式为bm＝5m－3.

若数列{an}的第n项与数列{bm}的第m项相同，

即an＝bm，则3n－1＝5m－3，∴n＝＝m＋.

又n∈N＋，∴必有m－1＝3k，即m＝3k＋1（k为非负整数），

又2≤5m－3≤197，∴1≤m≤40，∴m＝1，4，7，…，40.

∴两数列的公共项为2，17，32，…，197.

设公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则其通项公式为cp＝15p－13，公共项有＋1＝14（个）.

法二　设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则c1＝2.

∵两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3，5，∴数列{cp}仍为等差数列，且公差d＝15.∴cp＝c1＋（p－1）d＝2＋（p－1）×15＝15p－13.

令2≤15p－13≤197，知1≤p≤14.∴两数列共有14个公共项.

通性通法

　　有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立am＝bn这样的方程，利用n＝f（m），借助n，m均为正整数，得到n（或m）可取的整数形式，再求一定范围内的整数解，从而解决问题.

【跟踪训练】

已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1与b1，且b1∈N＋，a1＋b2 023＝－2.设cn＝（n∈N＋），则数列{cn}的通项公式为　cn＝n－2 026　.

解析：由题意知，bn＝b1＋（n－1）×1＝b1＋n－1.由b1∈N＋及n∈N＋知，bn∈N＋.于是cn＝＝a1＋（bn－1）×1＝a1＋bn－1＝a1＋[b2 023＋（n－2 023）×1]－1＝（a1＋b2 023）＋n－2 024＝n－2 026.

题型三｜关于奇偶项求和问题的讨论

【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝（－1）n－1n2，求其前n项和Sn.

解：当n为偶数时，

Sn＝1－22＋32－42＋…＋（n－1）2－n2＝（1－22）＋（32－42）＋…＋[（n－1）2－n2]＝－[3＋7＋…＋（2n－1）]＝－＝－；

当n为奇数时，则n＋1为偶数，

所以Sn＝Sn＋1－an＋1＝－＋（n＋1）2＝.

综上，Sn＝

通性通法

　　将n为奇数的情形转化为n为偶数的情形，可以避免不必要的计算.

【跟踪训练】

已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝k∈N＋，若Sn为数列{an}的前n项和，则S30＝（　　）

A.226 B.228

C.230 D.232

解析：A　由题可知数列{an}的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，此时an＝n，n＝2k－1（k∈N＋），数列{an}的偶数项构成1，－1交替出现的数列，所以S30＝（a1＋a3＋…＋a29）＋（a2＋a4＋…＋a30）＝（1＋3＋…＋29）＋（1－1＋…－1＋1）＝＋1＝226.故选A.

题型四｜等差数列前n项和与不等式的综合

【例4】　记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5.

（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；