第1章 2 培优课 等差数列的综合问题 能力提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

培优课　等差数列的综合问题 能力提升 题型一｜数列中的数学文化 【例1】　《张丘建算经》中有一道题：“今有十等人，大官甲等十人（即每等一人），官赐金，依等次差（即等差）降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”根据题意，可得每等人比其下一等人多得金（　B　） A.斤　　　　　　　　　 B.斤 C.斤 D.斤 解析：　设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}为等差数列，设公差为d（d＞0），则每等人比下一等人多得d斤金，由题意得即解得d＝，故每等人比其下一等人多得金斤. 通性通法 　　以数学文化为背景的等差数列问题的求解关键是：（1）会脱去数学文化的背景，读懂题意；（2）构建模型，即由题意构建等差数列的模型；（3）解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等. 【跟踪训练】 我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何.”则分钱问题中的人数为　195　. 解析：设人数为n，则由题意可知，每人分得钱数构成公差为1，首项为3的等差数列，且前n项和Sn＝100n，又Sn＝＋3n，所以＋3n＝100n，解得n＝195. 题型二｜数列中的公共项问题 【例2】　在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数. 解：法一　由题可知，第一个数列是首项为2，公差为3的等差数列，记为{an}，则其通项公式为an＝3n－1； 第二个数列是首项为2，公差为5的等差数列，记为{bm}，则其通项公式为bm＝5m－3. 若数列{an}的第n项与数列{bm}的第m项相同， 即an＝bm，则3n－1＝5m－3，∴n＝＝m＋. 又n∈N＋，∴必有m－1＝3k，即m＝3k＋1（k为非负整数）， 又2≤5m－3≤197，∴1≤m≤40，∴m＝1，4，7，…，40. ∴两数列的公共项为2，17，32，…，197. 设公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则其通项公式为cp＝15p－13，公共项有＋1＝14（个）. 法二　设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则c1＝2. ∵两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3，5，∴数列{cp}仍为等差数列，且公差d＝15.∴cp＝c1＋（p－1）d＝2＋（p－1）×15＝15p－13. 令2≤15p－13≤197，知1≤p≤14.∴两数列共有14个公共项. 通性通法 　　有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立am＝bn这样的方程，利用n＝f（m），借助n，m均为正整数，得到n（或m）可取的整数形式，再求一定范围内的整数解，从而解决问题. 【跟踪训练】 已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1与b1，且b1∈N＋，a1＋b2 023＝－2.设cn＝（n∈N＋），则数列{cn}的通项公式为　cn＝n－2 026　. 解析：由题意知，bn＝b1＋（n－1）×1＝b1＋n－1.由b1∈N＋及n∈N＋知，bn∈N＋.于是cn＝＝a1＋（bn－1）×1＝a1＋bn－1＝a1＋[b2 023＋（n－2 023）×1]－1＝（a1＋b2 023）＋n－2 024＝n－2 026. 题型三｜关于奇偶项求和问题的讨论 【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝（－1）n－1n2，求其前n项和Sn. 解：当n为偶数时， Sn＝1－22＋32－42＋…＋（n－1）2－n2＝（1－22）＋（32－42）＋…＋[（n－1）2－n2]＝－[3＋7＋…＋（2n－1）]＝－＝－； 当n为奇数时，则n＋1为偶数， 所以Sn＝Sn＋1－an＋1＝－＋（n＋1）2＝. 综上，Sn＝ 通性通法 　　将n为奇数的情形转化为n为偶数的情形，可以避免不必要的计算. 【跟踪训练】 已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝k∈N＋，若Sn为数列{an}的前n项和，则S30＝（　　） A.226 B.228 C.230 D.232 解析：A　由题可知数列{an}的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，此时an＝n，n＝2k－1（k∈N＋），数列{an}的偶数项构成1，－1交替出现的数列，所以S30＝（a1＋a3＋…＋a29）＋（a2＋a4＋…＋a30）＝（1＋3＋…＋29）＋（1－1＋…－1＋1）＝＋1＝226.故选A. 题型四｜等差数列前n项和与不等式的综合 【例4】　记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5. （1）若a3＝4，求{an}的通项公式； 解：（1）设{an}的公差为d. 由S9＝－a5得a1＋4d＝0. 由a3＝4得a1＋2d＝4. 于是a1＝8，d＝－2. 因此{an}的通项公式为an＝10－2n. （2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围. 解：（2）由S9＝－a5得a1＝－4d，故an＝（n－5）d，Sn＝. 由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10. 故n的取值范围是{n｜1≤n≤10，n∈N}. 通性通法 　　数列经常与不等式相结合，数列的通项公式是数列的核心问题，抓住方程、不等式之间的关系灵活处理. 【跟踪训练】 记Sn是公差不为0的等差数列的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. （1）求数列{an}的通项公式an； （2）求使Sn＞an成立的n的最小值. 解：（1）设公差为d. ∵S5＝5a3＝a3⇒a3＝0，∴S4＝2（a2＋a3）＝2a2. ∴a2a4＝S4⇒a2a4＝2a2. 由公差d≠0及a3＝0知a2≠0，∴a4＝2，d＝2，则an＝a3＋2（n－3）＝2n－6. （2）Sn＝＝＝n2－5n， 由Sn＞an⇒n2－5n＞2n－6⇒（n－1）（n－6）＞0⇒n＜1或n＞6. ∵n∈N＋，∴n的最小值为7. 1.在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝（　　） A.22 B.23 C.24 D.25 解析：A　由已知得a1＋（k－1）d＝7a1＋d，即k－1＝21，所以k＝22. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3，a14是方程x2－4x＋3＝0的两根，则S16＝（　　） A.32 B.30 C.28 D.26 解析：A　因a3，a14是方程x2－4x＋3＝0的两根，所以a3＋a14＝4，又Sn是等差数列{an}的前n项和，于是得S16＝×16＝8（a3＋a14）＝32，所以S16＝32.故选A. 3.已知x≠y，数列x，a1，a2，y与x，b1，b2，b3，y都是等差数列，则的值是（　　） A. B. C. D. 解析：A　∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自都成等差数列，∴y＝x＋3（a2－a1），y＝x＋4（b2－b1），∴3（a2－a1）＝4（b2－b1），∴＝.故选A. 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则n＝（　　） A.17 B.15 C.13 D.11 解析：A　∵Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝5，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3，∴（an－3＋a4）＋（an－2＋a3）＋（an－1＋a2）＋（an＋a1）＝4（a1＋an）＝8，∴a1＋an＝2，∴Sn＝＝17，解得n＝17.故选A. 5.（2025·北大附中期中）在数列{an}中，a1＝1，且an＋an＋1＝2n，则其前41项和为（　　） A.841 B.421 C.840 D.420 解析：A　设数列{an}的前n项和为Sn.因为a1＝1，且an＋an＋1＝2n，所以S41＝a1＋（a2＋a3）＋（a4＋a5）＋…＋（a40＋a41）＝1＋2×2＋2×4＋2×6＋…＋2×40＝1＋2×（2＋4＋6＋…＋40）＝1＋2×＝841. 6.已知数列{an}的各项为互异正数，且其倒数构成公差为3的等差数列，则＝（　　） A. B. C.3 D.6 解析：C　由题意，得－＝3（n≥2，n∈N＋），则an－1－an＝3an－1an，即an－1an＝，所以 ＝＝3·＝3. 7.等差数列{an}中，a3＝5，a7＝9，设bn＝，则数列{bn}的前61项和为（　　） A.7－ B.7 C.8－ D.8 解析：C　因为等差数列{an}满足a3＝5，a7＝9，所以公差d＝＝1，所以an＝a3＋（n－3）d＝n＋2，所以bn＝＝－.设数列{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝－＋－＋…＋－＝－，所以S61＝8－.故选C. 8.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，nSn＋1＞（n＋1）Sn（n∈N＋），且＜－1，则在Sn中（　　） A.最小值是S7 B.最小值是S8 C.最大值是S8 D.最大值是S7 解析：A　设等差数列{an}的公差为d，由nSn＋1＞（n＋1）Sn，得＞，即－＞0.而－＝，所以d＞0.因为＜－1，所以＜0，即a7（a7＋a8）＜0.由于d＞0，因此数列{an}是递增数列，所以a7＜0，a7＋a8＞0，所以a7＜0，a8＞0，所以在Sn中最小值是S7. 9.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式 B.若等差数列{an}的公差d＞0，则{an}是递增数列 C.若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 D.若数列{an}是等差数列，则数列{an＋2an＋1}不一定是等差数列 解析：BC　A选项，给出数列的有限项不一定可以确定数列的通项公式，故A不正确；B选项，由等差数列性质知，若公差d＞0，则{an}必是递增数列，故B正确；C选项，当a＝b＝c＝1时，＝＝＝1，则，，是等差数列，故C正确；D选项，数列{an}是等差数列，设其公差为d，则an＋2an＋1＝a1＋（n－1）d＋2a1＋2nd＝3a1＋（3n－1）d＝3a1＋2d＋（n－1）3d，{an＋2an＋1}也是等差数列，故D不正确.故选B、C. 10.〔多选〕等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝＋1且a1＝3，则（　　） A.an＝2n＋1 B.an＝n＋1 C.Sn＝n2＋2n D.Sn＝4n2－n 解析：AC　设{an}的公差为d，∵Sn＝na1＋d，∴＝a1＋·d＝·n＋a1－，即为等差数列，公差为，由－＝1知＝1⇒d＝2，故an＝2n＋1，Sn＝＝n2＋2n.故选A、C. 11.〔多选〕《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.关于这个问题，下列说法正确的是（　　） A.甲得钱是戊得钱的2倍 B.乙得钱比丁得钱多钱 C.甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D.丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 解析：AC　依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，d＝－，即a－2d＝1－2×＝，a－d＝1－＝，a＋d＝1＋＝，a＋2d＝1＋2×＝，∴甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确；乙得钱比丁得钱多－＝钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的＝2倍，故C正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多＋－＝钱，故D错误.故选A、C. 12.〔多选〕已知Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，an≠0（n∈N＋），anan＋1＝3Sn－1（n∈N＋），则下列结论正确的是（　　） A.a2＝2　　　　　　　 B.数列{an}为等差数列 C.an＋an＋4＝2an＋2 D.S20＝300 解析：ACD　anan＋1＝3Sn－1，n∈N＋，当n≥2时，an－1an＝3Sn－1－1，两式相减得，an（an＋1－an－1）＝3an，又an≠0，则an＋1－an－1＝3.当n＝1时，a1a2＝3S1－1＝3a1－1＝2，则a2＝2，A正确；因为a3＝a1＋3＝4，a2－a1＝1，a3－a2＝2，即a3－a2≠a2－a1，所以数列{an}不是等差数列，B不正确；因为a3－a1＝3，所以an＋2－an＝3，n∈N＋，所以an＋4－an＋2＝3，即有an＋4－an＋2＝an＋2－an，an＋an＋4＝2an＋2成立，C正确；由C可知，数列{an}的奇数项是以a1＝1为首项，3为公差的等差数列，数列{an}的偶数项是以a2＝2为首项，3为公差的等差数列，所以S20＝（a1＋a3＋…＋a19）＋（a2＋a4＋…＋a20）＝（10a1＋45×3）＋（10a2＋45×3）＝300，D正确.故选A、C、D. 13.已知等差数列{an}：2，5，8，…与等差数列{bn}：1，5，9，…，则它们的公共项按从小到大的顺序排列得到的数列{cn}的通项公式是　cn＝12n－7　. 解析：法一（观察归纳法） {an}：2，5，8，…，其公差为3，{bn}：1，5，9，…，其公差为4，观察归纳可知数列{cn}是以5为首项，12为公差的等差数列，所以cn＝5＋12（n－1）＝12n－7. 法二（引入参变量法） 由题意得an＝3n－1，bm＝4m－3，m，n∈N＋.令an＝bm，得3n＝2（2m－1），则2m－1必为3的倍数（或n必为2的倍数）.设2m－1＝3k（k∈N＋），又2m－1为奇数，所以k必为奇数，再设k＝2t－1（t∈N＋），则m＝3t－1，n＝4t－2，即ct＝a4t－2＝b3t－1＝12t－7，即cn＝12n－7. 14.一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片　570　块. 解析：根据题意可知，每一层所铺瓦片由上至下依次构成一个等差数列.设数列为{an}，则a1＝21，d＝1，n＝19，∴S19＝＝570，即该斜面共铺了570块瓦片. 15.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝　4　. 解析：∵＝，∴＝＝＝＝＝＝4. 16.已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线y＝x上.若bn＝（－1）nan，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足｜Tn｜≤20的n的最大值为　13　. 解析：由题意知：＝，则Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，而a1＝3×1－1＝2符合上式，∴an＝3n－1，n∈N＋，∴bn＝（－1）nan＝（－1）n（3n－1），∴Tn＝－2＋5－8＋11－…＋（－1）n（3n－1），当n为奇数时，Tn＝－（3n－1）＝－，当n为偶数时，Tn＝，∴要使｜Tn｜≤20，即≤20且≤20，解得n≤13且n∈N＋. 17.已知各项均为正数的数列{an}，a1＝9，a2＝2，当n≥2时，an＋1＝an＋2，其前n项和为Sn，数列{bn}为等差数列且满足b2＝12，b5＝30. （1）求数列{an}的通项公式及Sn； （2）若对任意n∈N＋，不等式kSn≥bn恒成立，求实数k的取值范围. 解：（1）当n≥2时，an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2， 所以当n≥2时，数列{an}为等差数列， 又a2＝2，所以当n≥2时，an＝a2＋（n－2）×2＝2n－2， 所以an＝ Sn＝9＋＝n2－n＋9. （2）因为数列{bn}为等差数列，b2＝12，b5＝30， 所以数列{bn}的公差d＝＝＝6， 所以bn＝b2＋（n－2）×6＝6n. 若对任意n∈N＋，不等式kSn≥bn恒成立， 则k≥＝对任意n∈N＋恒成立. 因为n＋－1≥2－1＝5，当且仅当n＝，即n＝3时取等号，所以≤， 所以k≥，即实数k的取值范围为［，＋∞）. 18.在等差数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝（－1）n·an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：（1）设数列{an}的公差为d， 由题意知解得 故an＝2n. （2）由（1）得bn＝（－1）n·an＝（－1）n·2n. 当n为偶数时，Tn＝（－2＋4）＋（－6＋8）＋…＋[－2（n－1）＋2n]＝·2＝n； 当n为奇数时，Tn＝（－2＋4）＋（－6＋8）＋…＋[－2（n－2）＋2（n－1）]－2n＝（n－1）－2n＝－n－1. 所以Tn＝ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $