模块综合检测（B）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

模块综合检测（B） （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 根据所给数列前5项的规律，判断数列1， ， ， ，3，…，3 的项数为（　　） A. 2 B. 9 C. 13 D. 14 解析： 　1， ， ， ，3，即 ， ， ， ， ，所以an＝ .令 ＝ 3 ，即2n－1＝27，解得n＝14，即该数列的项数为14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 2. 已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项 为（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 解析： 　由数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n的规律，可知有 1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，…，因为1＋2＋3＋4＋5 ＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 3. 定义在R上的可导函数f（x），已知y＝ef'（x）的图象如图所示，则y＝ f（x）的单调递增区间是（　　） A. （－∞，1） B. （－∞，2） C. （0，1） D. （1，2） 解析： 由题图知，f'（x）≥0的区间是（－∞，2），故函数y＝f （x）的单调递增区间为（－∞，2），故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 4. ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了 A，B，C三组纸张尺寸.设型号为A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6的纸张 的面积分别为a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，它们组成一个公比为 的等 比数列，设型号为B1，B2，B3，B4，B5，B6的纸张的面积分别是b1， b2，b3，b4，b5，b6，已知 ＝ai－1ai（i＝1，2，3，4，5，6），则 的 值为（　　） A. B. C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　∵a5＝a4× ， ＝a4·a5，∴ ＝a4·a4× ，又a4＞0，b5＞ 0，∴ ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 5. 我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做 盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次第，孝和休惹外人 传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开 始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序 分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中， 第8个孩子分到的棉花为（　　） A. 184斤 B. 176斤 C. 65斤 D. 60斤 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等 差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn，第一个孩子所得棉花斤数为 a1，则由题意得，d＝17，S8＝8a1＋ ×17＝996，解得a1＝65，∴a8＝ a1＋（8－1）d＝184.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，且数列{an}从第6项开始为 负数，则S7的取值范围是（　　） A. [2，3） B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　设数列{an}的公差为d，因为数列{an}从第6项开始为负数，所 以 即 所以－ ≤d＜－ ，S7＝ ＝ （a2－d＋a2＋5d）＝7（1＋2d）＝7＋14d∈ .故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 7. 已知数列{an}的通项公式为an＝kn2－n，若{an}为递增数列，则实数k 的取值范围为（　　） A. （1，＋∞） B. （0，＋∞） C. （ ，＋∞） D. （ ，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　法一（作差法） 若{an}为递增数列，则an＋1＞an（n∈N ＋），即k（n＋1）2－（n＋1）＞kn2－n对任意n∈N＋恒成立，即k＞ 对任意n∈N＋恒成立，则k＞（ ）max.又当n＝1时， 取得 最大值，为 ，所以k＞ .故选D. 法二（函数特性法） 由{an}为递增数列，知k≠0.由于f（x）＝kx2－x （k≠0）图象的对称轴为直线x＝ ，所以要使数列{an}为递增数列， 只需使定义在正整数集上的函数f（n）为增函数，则 ＜ ，得k＞ . 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 8. 若函数f（x）＝ax3－3x2＋x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值 范围是（　　） A. （－∞，3） B. （－∞，3] C. （－∞，0）∪（0，3] D. （－∞，0）∪（0，3） 解析： ∵函数f（x）＝ax3－3x2＋x＋1，∴f'（x）＝3ax2－6x＋1.由 函数f（x）恰好有三个单调区间，得f'（x）有两个不相等的零点，∴3ax2 －6x＋1＝0满足a≠0，且Δ＝36－12a＞0，解得a＜3且a≠0，∴a∈ （－∞，0）∪（0，3）.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但 不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于函数f（x）＝ex cos x－x，x∈（0，π），下列结论正确的是 （　　） A. f'（x）在（0，π）上单调递减 B. f'（x）存在极小值 C. f（x）存在最大值 D. f（x）无最小值 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　令g（x）＝f'（x）＝ex（ cos x－ sin x）－1，则g'（x）＝－ 2ex sin x.因为当x∈（0，π）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，π）上单调 递减，所以f'（x）不存在极值，所以f'（x）在（0，π）上单调递减，故A 正确，B错误.易知对于任意的x∈（0，π）有g（x）＜g（0）＝0，即f' （x）＜0，所以函数f（x）在（0，π）上单调递减，故f（x）不存在最 大值和最小值，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 10. 已知函数f（x）＝xln x，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是 （　　） A. x2f（x1）＜x1f（x2） B. x1＋f（x1）＜x2＋f（x2） C. ＜0 D. 当ln x＞－1时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞2x2f（x1） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　令g（x）＝ ＝ln x，易知g（x）在（0，＋∞）上是 增函数，∴当0＜x1＜x2时，g（x1）＜g（x2），即 ＜ ， ∴x2f（x1）＜x1f（x2），故A正确.令h（x）＝f（x）＋x＝xln x＋x， 则h'（x）＝ln x＋2.∴当x∈（e－2，＋∞）时，h'（x）＞0，h（x）在 （e－2，＋∞）上单调递增，当x∈（0，e－2）时，h'（x）＜0，h（x） 在（0，e－2）上单调递减.∴x1＋f（x1）与x2＋f（x2）无法比较大小，故 B错误.∵f（x）＝xln x，∴f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＞0，解得x＞ ，令f'（x）＜0，解得0＜x＜ ，故函数f（x）在（ 0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，故C错误.∵当x＞ ，即ln x ＞－1时，f（x）单调递增，又由选项A知，x2f（x1）＜x1f（x2）， ∴x1f（x1）＋x2f（x2）－2x2f（x1）＞x1[f（x1）－f（x2）]＋x2[f（x2） －f（x1）]＝（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 11. 若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数 列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}的通项公式，其中满足{an} 是“差递减数列”的是（　　） A. an＝3n B. an＝n2＋1 C. an＝ D. an＝ln √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　对于A，an＝3n，则an＋1－an＝3（n＋1）－3n＝3，所以数 列{an＋1－an}是常数列，故A错误；对于B，an＝n2＋1，则an＋1－an＝ （n＋1）2－n2＝2n＋1，所以数列{an＋1－an}是递增数列，故B错误；对 于C，an＝ ，则an＋1－an＝ － ＝ ，所以数列{an＋1 －an}是递减数列，故C正确；对于D，an＝ln ，则an＋1－an＝ln － ln ＝ln ＝ln（ 1＋ ），由于函数y＝ln（ 1＋ ）在 （0，＋∞）上单调递减，所以数列{an＋1－an}是递减数列，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 当x∈[－1，2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围 是 ⁠. 解析：记f（x）＝x3－x2－x，所以f'（x）＝3x2－2x－1.令f'（x）＝0， 得x＝－ 或x＝1.又因为f ＝ ，f（2）＝2，f（－1）＝－1，f （1）＝－1，所以当x∈[－1，2]时，f（x）max＝2，所以m＞2. （2，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 13. 某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料，若以每吨M元零售， 销量N（单位：吨）与零售价M（单位：元）有如下关系：N＝8 300－ 170M－M2，则该批材料零售价定为 元时利润最大，利润的最大值 为 元. 解析：设该商品的利润为y元，由题意知，y＝N（M－20）＝－M3－ 150M2＋11 700M－166 000，则y'＝－3M2－300M＋11 700，令y'＝0，得 M＝30或M＝－130（舍去），当M∈（0，30）时，y'＞0，当M∈（30， ＋∞）时，y'＜0，因此当M＝30时，y取得极大值，也是最大值，且ymax ＝23 000. 30　 23 000　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 14. 已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三 项分别减去1，3，9后成等差数列，则{an}的公比为 ；设Sn＝ ＋ ＋…＋ ，则Sn的表达式为 ⁠. 解析：∵ 等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，∴a3a5a7 ＝512，则 ＝512，∴a5＝8.由题意得a3－1＋a7－9＝2（a5－3），即a3 ＋a7＝20，∴a5q－2＋a5q2＝20，∴q－2＋q2＝ ，∵等比数列{an}递增， 则q＝ ，∴an＝a5qn－5＝8×（ ）n－5＝（ ）n＋1，∴ ＝2n＋1， ∴Sn＝ ＋ ＋…＋ ＝ ＝2n＋2－4. 　 Sn＝2n＋2－4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）在等差数列{an}中，已知a1＋a6＝12，a4＝7，求 an. 解：由题意知 解得 所以an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×2＝2n－1，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 16. （本小题满分15分）已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝ 5，依次取出项数能被4除余3的项组成数列{bn}. （1）求b1和b2； 解： ∵a1＝3，d＝5， ∴an＝3＋5（n－1）＝5n－2. 数列{an}中项数被4除余3的项是{an}中的第1项，第5项，第9项，…， ∴b1＝a1＝3，b2＝a5＝23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）求{bn}的通项公式； 解： 设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am， 则m＝1＋4（n－1）＝4n－3， ∴bn＝am＝a4n－3＝5（4n－3）－2＝20n－17. 即{bn}的通项公式为bn＝20n－17. （3）{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 解： b503＝20×503－17＝10 043， 设它是{an}的第s项，则as＝5s－2＝10 043，解得s＝2 009，即{bn}中的 第503项是{an}中的第2 009项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 17. （本小题满分15分）求下列函数的导数： （1）y＝ sin x2； 解： 令u＝x2，则y＝ sin u，所以y'x＝ cos u·u'＝ cos x2·2x＝2x cosx2. （2）y＝ sin 2 ； 解： 令y＝u2，u＝ sin v，v＝2x＋ ， 则y'x＝y'u·u'v·v'x＝2u· cos v·2 ＝2 sin · cos ·2＝2 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （3）y＝ . 解： 令u＝1＋x2，则y＝ ＝ ， 所以y'x＝ ·（1＋x2）'＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 18. （本小题满分17分）设函数f（x）＝1＋（1＋a）x－x2－x3，其中a ＞0. （1）讨论f（x）在其定义域上的单调性； 解：f（x）的定义域为R，f'（x）＝1＋a－2x－3x2.令f'（x）＝0， 得x1＝ ，x2＝ ，x1＜x2， 所以f'（x）＝－3（x－x1）（x－x2）. 当x＜x1或x＞x2时，f'（x）＜0； 当x1＜x＜x2时，f'（x）＞0.故f（x）在 和 （ ，＋∞）上单调递减，在（ ， ）上单调 递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时x的值. 解： 因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0. ①当a≥4时，x2≥1.由（1）知，f（x）在[0，1]上单调递增，所以f （x）在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值. ②当0＜a＜4时，x2＜1.由（1）知，f（x）在[0，x2]上单调递增，在 [x2，1]上单调递减，因此f（x）在x＝x2＝ 处取得最大值. 又f（0）＝1，f（1）＝a，所以当0＜a＜1时，f（x）在x＝1处取得最 小值； 当a＝1时，f（x）在x＝0和x＝1处同时取得最小值； 当1＜a＜4时，f（x）在x＝0处取得最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 19. （本小题满分17分）某商场从2024年1月份起的前x个月，顾客对某商 品的需求总量p（x）（单位：件）与x的关系近似地满足p（x）＝ x （x＋1）（39－2x）（其中x∈N＋且x≤12），该商品第x月的进货单价 q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）＝ （1）写出2024年第x月的需求量f（x）（单位：件）与x的函数关系式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解： 当x＝1时，f（1）＝p（1）＝37， 当2≤x≤12且x∈N＋时，f（x）＝p（x）－p（x－1）＝ x（x＋ 1）·（39－2x）－ （x－1）x（41－2x）＝－3x2＋40x. 经验证x＝1也符合上式，故f（x）＝－3x2＋40x（x∈N＋且1≤x≤12）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解： 该商场第x个月销售该商品的月利润为g（x）＝ 即g（x）＝ （2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需 求，试问该商场2024年第几个月销售该商品的月利润g（x）最大，最大 月利润为多少元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 当x∈N＋且1≤x≤6时，g'（x）＝18x2－370x＋1 400. 令g'（x）＝0，解得x＝5或x＝ （舍去）. ∴当x∈N＋且1≤x≤6时，g（x）max＝g（5）＝3 125. 当x∈N＋且7≤x≤12时，g（x）＝－480x＋6 400单调递减， 故g（x）max＝g（7）＝3 040.∵3 040＜3 125. 故该商场2024年第5个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为3 125元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） $