模块综合检测（A）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

模块综合检测（A） （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列{an}中，a4＝2，a8＝14，则a15＝（　　） A. 32 B. －32 C. 35 D. －35 解析： 　∵{an}是等差数列，∴d＝ ＝3，∴a15＝a4＋11d＝2＋ 11×3＝35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 2. 已知函数f（x）＝aln x＋2，f'（e）＝2，则a的值为（　　） A. －1 B. 1 C. 2e D. e2 解析： 　由f（x）＝aln x＋2得，f'（x）＝ ，∴f'（e）＝ ＝2，解得 a＝2e.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 3. 已知等比数列{an}的公比q为整数，且a1＋a4＝9，a2·a3＝8，则 ＝（　　） A. 2 B. 3 C. －2 D. －3 解析： 　因为a1＋a4＝9，a2·a3＝a1·a4＝8，且q为整数，所以a1＝1，a4 ＝a1q3＝8，即q＝2.所以 ＝q＝2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 4. 函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为 （　　） A. 1，－3 B. 1，3 C. －1，3 D. －1，－3 解析： ∵f'（x）＝3ax2＋b，由题意知f'（1）＝0，f（1）＝－2， ∴ ∴a＝1，b＝－3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 5. 已知等差数列{an}的公差不为零，其前n项和为Sn，若S3，S9，S27成等 比数列，则 ＝（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　由题意，知 ＝S3×S27，即［ ］2＝ × ，整理得81 ＝3a2×27a14，所以（a1＋4d）2＝（a1＋ d）（a1＋13d），解得d＝2a1，所以 ＝ ÷ ＝ ＝ ＝ ＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 6. 若函数f（x）＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞）上单调递增，则实数a的 取值范围是（　　） A. （3，＋∞） B. [－3，＋∞） C. （－3，＋∞） D. （－∞，－3） 解析： 　因为f（x）＝x3＋ax－2，所以f'（x）＝3x2＋a，因为函数f （x）＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞）上单调递增，所以f'（x）＝3x2＋ a≥0在区间[1，＋∞）上恒成立且不恒为零，即a≥－3x2在区间[1，＋ ∞）上恒成立且不恒为零，又x∈[1，＋∞）时，（－3x2）max＝－3，所 以实数a的取值范围是[－3，＋∞）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 7. 设a＝0.1，b＝ sin 0.1，c＝e－0.9，则（　　） A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. b＜c＜a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　令g（x）＝x－ sin x，x∈（ 0， ），则g'（x）＝1－ cos x＞ 0，所以g（x）＝x－ sin x在（ 0， ）上单调递增，又g（0）＝0，所以 g（0.1）＞g（0）＝0，即0.1－ sin 0.1＞0，所以0.1＞ sin 0.1，即a＞ b，令f（x）＝ex－x－1，则f'（x）＝ex－1，当x＜0时f'（x）＜0，即f （x）在（－∞，0）上单调递减，又f（0）＝0，所以f（－0.9）＞f （0），即e－0.9＋0.9－1＞0，即e－0.9＞0.1，即c＞a，综上可得c＞a＞ b.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 8. 已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）－f （x）≤－1（其中“＝”不恒成立），且f（x＋2）为偶函数，f（4）＝ 6，则不等式f（x）＜5ex＋1的解集是（　　） A. （0，＋∞） B. （－∞，－1） C. （－∞，0） D. （1，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　∵y＝f（x＋2）为偶函数，∴y＝f（x＋2）的图象关于直线x ＝0对称，∴y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（4）＝f（0）， 又∵f（4）＝6，∴f（0）＝6，设g（x）＝ ，则g'（x）＝ ，∵f'（x）－f（x）≤－1（其中“＝”不恒成立），∴f' （x）－f（x）＋1≤0，即g'（x）≤0且不恒等于零，∴y＝g（x）在定 义域R上是减函数，∵f（x）＜5ex＋1等价于g（x）＜5.又∵g（0）＝ ＝ ＝5，∴不等式f（x）＜ex＋1的解集等于g（x）＜g（0） 的解集，又∵g（x）在R上是减函数，∴x＞0，∴f（x）＜ex＋1的解集 为（0，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但 不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝ ，且an＋1（2－an）＝2 （an≠2），则（　　） A. a3＝ B. {an}是周期数列且周期为4 C. S4＝ D. S21＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　由an＋1（2－an）＝2（an≠2）可得an＋1＝ ，所以a2＝ ＝－4，a3＝ ＝ ，A错；a4＝ ＝ ，a5＝ ＝ ＝a1，所以 数列{an}是周期数列且周期为4，B正确；S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝ ，C正 确；S21＝5× ＋ ＝ ，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 10. 已知f（x）＝ ，函数f（x）的导函数为f'（x），则下列说法正确 的是（　　） A. f'（0）＝1 B. f（x）的单调递增区间为（1，＋∞） C. f（x）的极大值为 D. 方程f（x）＝－1有两个不同的解 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　由题意知f'（x）＝ ，所以f'（0）＝1，A正确；当x＜1 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调 递减，B错误；f（x）的极大值为f（1）＝ ，C正确；方程f（x）＝－1 等价于 ＝－1⇒ex＝－x，易知函数y＝ex与函数y＝－x的图象有且只有 一个交点，即方程f（x）＝－1有且只有一个解，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 11. 已知f（x）＝ex·x3，则下列结论正确的是（　　） A. f（x）在R上是增函数 B. f（log52）＜f ＜f（ln π） C. 方程f（x）＝－1有实数根 D. 存在实数k，使得方程f（x）＝kx有3个实数根 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析：BCD　f（x）＝ex·x3，∴f'（x）＝ex（x3＋3x2）.令f'（x）＝0， 得x＝0或x＝－3.当x＜－3时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞－3 时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，A错误.又0＜log52＜ ＜ ＜1＜ln π，∴f（log52）＜f ＜f（ln π），B正确.∵f（0）＝0，f（－3）＝e －3·（－3）3＝－ ＜－1，∴f（x）＝－1有实数根，C正确.设f（x） ＝kx，显然x＝0是方程的根，当x≠0时，k＝ ＝ex·x2，设g（x） ＝ex·x2，则g'（x）＝x（x＋2）ex，令g'（x）＝0，得x＝0或x＝－2. 当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） x （－∞，－2） －2 （－2，0） 0 （0，＋ ∞） g'（x） ＋ 0 － 0 ＋ g（x） ↗ ​ ↘ 0 ↗ 画出y＝g（x）的大致图象，如图， ∴当0＜k＜ 时，g（x）＝k有3个实数根，此 时f（x）＝kx有4个实根，当k＝ 时，g（x）＝k有2个实根，此时f（x）＝kx有3个实根，∴D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 写出一个“公差为2且前3项之和小于第3项”的等差数列{an}的通项公 式：an＝ ⁠. 解析：前3项之和小于第3项，则a1＋a2＜0⇒2a1＋2＜0⇒a1＜－1，设a1＝ －2，d＝2，则an＝2n－4. 2n－4（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 13. 若曲线y＝ 在点 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的 面积为18，则a＝ ⁠. 解析：因为y'＝－ ，所以曲线y＝ 在点 处的切线方程为 y－ ＝－ （x－a），令x＝0得y＝ ，令y＝0得x＝3a，所 以三角形的面积S＝ · ·3a＝18，解得a＝64. 64　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 14. 已知数列{an}满足an＝ 定义使a1·a2·a3·…·ak（k∈N＋）为整数的k为“幸福数”，则区间[1，2 026]内所有“幸福数”的和为 ⁠. 2 036　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析：当n≥2时，an＝logn（n＋1）＝ ，所以a1·a2·…·ak＝ 1× × ×…× ＝log2（k＋1），若满足a1·a2·…·ak（k∈N ＋）为整数，则k＋1＝2m，即k＝2m－1，所以在[1，2 026]内的所有“幸 福数”的和为21－1＋22－1＋…＋210－1＝ －10＝2 036. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2） x＋b（a，b∈R）. （1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a， b的值； 解： f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）. 由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围. 解： ∵曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线， ∴关于x的方程f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）＝0有两个不相等 的实数根， ∴Δ＝4（1－a）2＋12a（a＋2）＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－ . ∴a的取值范围为 ∪ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 16. （本小题满分15分）数列{an}的首项为a1＝1，且an＋1＝2（an＋1） （n∈N＋）. （1）证明数列{an＋2}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； 解： 在数列{an}中，an＋1＝2（an＋1），则an＋1＋2＝2（an＋2）， 由a1＝1得a1＋2＝3， 所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列， 则有an＋2＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－2， 所以数列{an}的通项公式是an＝3×2n－1－2（n∈N＋）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）若bn＝log2（an＋2）－log23，求数列{ }的前n项和Tn. 解： 由（1）知，bn＝log2（3×2n－1）－log23＝n－1， ＝ ＝ － ， 则Tn＝（ 1－ ）＋（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＝1－ ＝ ， 所以数列{ }的前n项和Tn＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 17. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝x－ln x－2. （1）判断函数的单调性； 解： f（x）的定义域为（0，＋∞），求导得f'（x）＝1－ ＝ ， 令f'（x）＞0，则x＞1， 令f'（x）＜0，则0＜x＜1， 所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）若对于任意的x∈（1，＋∞），都有xln x＋x＞k（x－1），求整 数k的最大值. 解： ∀x∈（1，＋∞），xln x＋x＞k（x－1）⇔k＜ ，令g （x）＝ ，x＞1，则g'（x）＝ ， 由（1）知，f（x）＝x－ln x－2在（1，＋∞）上单调递增，且f（3）＝ 1－ln 3＜0，f（4）＝2－ln 4＞0， 则f（x）在区间（3，4）内存在唯一的零点x0，使f（x0）＝x0－ln x0－2 ＝0，即ln x0＝x0－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 则当x∈（1，x0）时，f（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）在（1，x0）上 单调递减， 当x∈（x0，＋∞）时，f（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）在（x0，＋ ∞）上单调递增， 于是得g（x）min＝g（x0）＝ ＝ ＝x0∈（3， 4），因此k＜g（x）min＝x0∈（3，4）， 所以整数k的最大值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 18. （本小题满分17分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，2Sn＝ an＋1（n∈N＋）. （1）求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解： ∵数列{an}满足2Sn＝ an＋1， ① ∴2Sn－1＝ an（n≥2）， ② ①－②，得2an＝ an＋1－ an， 即 （an＋1－3an）＝0（n≥2）， 可得an＋1＝3an（n≥2）， 由a1＝1，2a1＝2S1＝ a2，解得a2＝3， ∴a2＝3a1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝3n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）设bn＝an·log3a2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解： 由（1）知an＝3n－1，则bn＝an·log3a2n＝3n－1·log332n－1＝（2n －1）·3n－1， 则Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋（2n－1）×3n－1， ③ 3Tn＝1×31＋3×32＋…＋（2n－3）×3n－1＋（2n－1）×3n， ④ ③－④，得－2Tn＝1＋2×（31＋32＋…＋3n－1）－（2n－1）×3n＝1＋ 2× －（2n－1）×3n＝－2＋（2－2n）×3n， ∴Tn＝（n－1）×3n＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 19. （本小题满分17分）设函数f（x）＝x3－6x＋5，x∈R. （1）求f（x）的极值点； 解： f'（x）＝3（x2－2），令f'（x）＝0， 得x1＝－ ，x2＝ . 当x∈（－∞，－ ）∪（ ，＋∞）时，f'（x）＞ 0， 当x∈（－ ， ）时，f'（x）＜0， 因此x1＝－ ，x2＝ 分别为f（x）的极大值点、极 小值点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）若关于x的方程f（x）＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围； 解： 由（1）可知y＝f（x）图象的大致形状及走向如图所示. 要使直线y＝a与y＝f（x）的图象有3个不同交点，需5－4 ＝f（ ） ＜a＜f（－ ）＝5＋4 . 则方程f（x）＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为（5－ 4 ，5＋4 ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （3）已知当x∈（1，＋∞）时，f（x）≥k（x－1）恒成立，求实数k 的取值范围. 解： 法一　f（x）≥k（x－1）， 即（x－1）（x2＋x－5）≥k（x－1）， 因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在（1，＋∞）上恒成立， 令g（x）＝x2＋x－5， 由二次函数的性质得g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以g（x）＞g （1）＝－3， 所以所求k的取值范围为（－∞，－3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 法二　直线y＝k（x－1）过定点（1，0）且f（1）＝0， 曲线f（x）在点（1，0）处切线斜率f'（1）＝－3， 由（2）中图知要使x∈（1，＋∞）时，f（x）≥k（x－1）恒成立需 k≤－3. 故实数k的取值范围为（－∞，－3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） $