章末检测（二） 导数及其应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了导数及其应用的核心知识，涵盖导数的概念、计算、单调性、极值最值、切线方程及实际应用，通过选择、填空、解答题等题型覆盖知识点，构建完整的知识网络，体现导数与函数性质、实际问题的内在逻辑联系。 其亮点在于注重数学思维与应用意识的培养，如通过蓄水池体积优化问题发展数学建模能力，构造函数比较大小培养逻辑推理，分层题型设计满足不同学生需求，助力教师精准把握学情，有效提升学生知识巩固与综合应用能力。

章末检测（二）　导数及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数f（x）＝f'（1）＋xln x，则f（e）＝（　　） A. 1＋e B. e C. 2＋e D. 3 解析： 　∵f'（x）＝ln x＋1，∴f'（1）＝ln 1＋1＝1，则f（x）＝1＋ xln x，∴f（e）＝1＋eln e＝1＋e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 2. （2025·福州期中）已知函数f（x）＝x＋ 的图象在x＝2处的切线与 直线l：4x＋5y＋1＝0垂直，则实数a＝（　　） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 解析： 　由题意得f'（x）＝1－ （x≠0），所以f'（2）＝1－ .又函 数f（x）的图象在x＝2处的切线与直线l垂直，所以（ 1－ ）×（ － ） ＝－1，所以a＝－1.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 3. 三次函数f（x）＝mx3－x在（－∞，＋∞）上是减函数，则实数m的 取值范围是（　　） A. （－∞，0） B. （－∞，1） C. （－∞，0] D. （－∞，1] 解析： 　依题意可得f'（x）＝3mx2－1≤0，且m≠0，从而m＜0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 4. 若函数f（x）＝ （x＞1）有最大值－4，则实数a的值是（　　） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　由函数f（x）＝ （x＞1），则f'（x）＝ ＝ ，要使得函数f（x）有最大值－4，则a＜0，则当x∈（1，2） 时，f'（x）＞0，函数f（x）在（1，2）上单调递增，当x∈（2，＋∞） 时，f'（x）＜0，函数f（x）在（2，＋∞）上单调递减，所以当x＝2 时，函数f（x）取得最大值，即f（x）max＝f（2）＝ ＝－4，解得a ＝－1，满足题意，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 5. 若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为 （　　） A. 2πr2 B. πr2 C. 4πr2 D. πr2 解析： 　设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则侧面积S＝2πr1t＝ 2πr12 ＝4πr1 .∴S＝4π . 令（r2 － ）'＝ 0得r1＝ r或r1＝－ r（舍去）或r1＝0（舍去）.此时S＝4π· r· ＝4π· r· r＝2πr2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 6. 已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1，f'（x）＞1，则f （x）＞x的解集是（　　） A. （0，1） B. （－1，0）∪（0，1） C. （1，＋∞） D. （－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析： 不等式f（x）＞x可化为f（x）－x＞0，设g（x）＝f（x） －x，则g'（x）＝f'（x）－1，由题意g'（x）＝f'（x）－1＞0，∴函数g （x）在R上是增函数，又g（1）＝f（1）－1＝0，∴原不等式⇔g（x） ＞0⇔g（x）＞g（1）.∴x＞1，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 7. 设a＝e，b＝ ，c＝ ，则a，b，c大小关系是（　　） A. a＜c＜b B. b＜c＜a C. c＜b＜a D. c＜a＜b 解析： 　构造函数f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，当x＞e时，f' （x）＞0，则f（x）在（e，＋∞）上单调递增.又e＜3＜π，∴f（e）＜f （3）＜f（π），即 ＜ ＜ ，故a＜c＜b.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 8. 方程 －ln x－2＝0的根的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　令f（x）＝ －ln x－2（x＞0），则f'（x）＝ － ＝ ，当x∈（0，4）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（4，＋ ∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，且f（4）＝2－ln 4－2＜0，f （e6）＝e3－ln e6－2＝e3－8＞0，f（e－2）＝e－1－ln e－2－2＝ ＞0，结合 函数零点存在定理可知函数在区间（0，4）上存在一个零点，在区间 （4，＋∞）上也存在一个零点，故方程 －ln x－2＝0的根的个数为2. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但 不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论中正确的是（　　） A. 若y＝ cos ，则y'＝－ sin B. 若y＝ sin x2，则y'＝2x cos x2 C. 若y＝ cos 5x，则y'＝－5 sin 5x D. 若y＝ x sin 2x，则y'＝x sin 2x √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　对于A，y＝ cos ，则y'＝ sin ，故错误；对于B，y＝ sin x2，则y'＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝ cos 5x，则y'＝－5 sin 5x，故正 确；对于D，y＝ x sin 2x，则y'＝ sin 2x＋x cos 2x，故错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 10. （2025·西安期中）已知f（x）为（0，＋∞）上的可导函数，且（x ＋1）f'（x）＞f（x），则下列不等式一定成立的是（　　） A. 3f（4）＜4f（3） B. 4f（4）＞5f（3） C. 3f（3）＜4f（2） D. 3f（3）＞4f（2） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　由（x＋1）f'（x）＞f（x），得（x＋1）·f'（x）－f（x） ＞0.令g（x）＝ （x＞0），则g'（x）＝ ＞ 0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，则有g（2）＜g（3）＜g （4），即 ＜ ＜ ，所以4f（2）＜3f（3），5f（3） ＜4f（4），故B、D正确，C错误，而选项A无法确定，故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 11. 已知函数f（x）＝aln x－ax＋1（a∈R），g（x）＝f（x）＋ x2 －1，则下列结论正确的是（　　） A. 当a＝1时，f（x）≤0恒成立 B. 若经过原点的直线与f（x）的图象相切于点（3，f（3）），则a＝ C. 若g（x）在区间［ ，4］上单调递减，则a的取值范围为[16，＋∞） D. 若g（x）有两个极值点x1，x2（x1≠x2），则a的取值范围为（12， ＋∞） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析： 　当a＝1时，f（x）＝ln x－x＋1（x＞0），f'（x）＝ －1 ＝ ，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f' （x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝1时，f（x）取得极大值，也是 最大值，又f（1）＝0，故f（x）≤0恒成立，A正确；由f（x）＝aln x －ax＋1，可得f'（x）＝ －a，则f（x）的图象在（3，f（3））处的切 线斜率为f'（3）＝－ ，切线方程为y－（aln 3－3a＋1）＝－ （x－ 3），代入原点坐标，得－（aln 3－3a＋1）＝2a，解得a＝ ，B错 误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 由g（x）＝f（x）＋ x2－1＝aln x＋ x2－ax，得g'（x）＝ ＋3x－a ＝ ，x＞0，因为g（x）在区间［ ，4］上单调递减，所以关于 x的不等式3x2－ax＋a≤0在区间［ ，4］上恒成立，设h（x）＝3x2－ ax＋a，则需使 即 解得a≥16，C正 确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 因为g（x）有两个极值点x1，x2（x1≠x2），则g'（x）＝ ＝0 有两个正实根x1，x2（x1≠x2），即关于x的方程3x2－ax＋a＝0有两个正 实根x1，x2，则 解得a＞12，由二次函数的图象知x1， x2是函数g'（x）的变号零点，符合题意，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 函数f（x）＝ 的单调递增区间是 ，曲线f（x）在 点（1，1）处的切线方程是 ⁠. 解析：f'（x）＝－ （x＞0），令f'（x）＞0得0＜x＜1，故函数f （x）的单调递增区间是（0，1）.又f'（1）＝0，故f（x）在（1，1）处 的切线方程为y＝1. （0，1）　 y＝1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 13. 若关于x的方程m＋eln m＝ ＋e（ln x－x）有解，则实数m的最大值 为 ⁠. 解析：由题意得eln m＋eln m＝eln x－x＋e（ln x－x）.令f（x）＝ex＋ex， 则f（ln m）＝f（ln x－x）.因为函数y＝ex和y＝ex单调递增，所以f （x）单调递增，所以ln m＝ln x－x.令g（x）＝ln x－x，则g'（x）＝ ，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，＋ ∞）时 ，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以当x＝1时，g（x）取最大 值，为－1，所以ln m≤g（1）＝－1，得0＜m≤ ，所以m的最大值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 14. 设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若 对任意的x∈[a，b]，都有｜f（x）－g（x）｜≤1，则称f（x）与g （x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”.设函 数f（x）＝ln x－ x与g（x）＝ x－2t在［ ，e］上是“密切函数”， 则实数t的取值范围是 ⁠. ［ ，1］　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解析：因为函数f（x）＝ln x－ x与g（x）＝ x－2t在［ ，e］上是 “密切函数”，所以对任意的x∈［ ，e］都有｜f（x）－g（x）｜ ≤1，即有｜ln x－ x－ x＋2t｜≤1，所以｜ln x－x＋2t｜≤1，所以－ 2t－1≤ln x－x≤1－2t.令h（x）＝ln x－x，x∈［ ，e］，h'（x）＝ －1＝ ，所以当x∈（ ，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当 x∈（1，e）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h （1）＝－1，又h（ ）＝ln － ＝－1－ ，h（e）＝ln e－e＝1－e，所 以h（x）min＝1－e，所以－2t－1≤1－e且－1≤1－2t，所以 ≤t≤1，所以实数t的取值范围为［ ，1］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知函数f（x）＝ . （1）求曲线y＝f（x）在点（0，－1）处的切线方程； 解： f'（x）＝ ， f'（0）＝2. 因此曲线y＝f（x）在（0，－1）处的切线方程是 2x－y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）证明：当a≥1时，f（x）＋e≥0. 解： 证明：当a≥1时，f（x）＋e≥（x2＋x－1＋ex＋1）e－x. 令g（x）＝x2＋x－1＋ex＋1，则g'（x）＝2x＋1＋ex＋1. 当x＜－1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减； 当x＞－1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增， 所以g（x）≥g（－1）＝0. 因此f（x）＋e≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 16. （本小题满分15分）设函数f（x）＝a2ln x－x2＋ax（a＞0）. （1）求f（x）的单调区间； 解： ∵f（x）＝a2ln x－x2＋ax，其中x＞0， ∴f'（x）＝ －2x＋a＝－ ， 由于a＞0，∴f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为 （a，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）求使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立的实数a的值. 解： 由题意得，f（1）＝a－1≥e－1，即a≥e， 由（1）知f（x）在[1，e]上单调递增， 要使e－1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立， 只要 解得a＝e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 17. （本小题满分15分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚 度）.设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本 仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元 /m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率）. （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 解： 因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh（元），底面的 总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为（200πrh＋160πr2）元. 又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝ （300－4r2）， 从而V（r）＝πr2h＝ （300r－4r3）. 因为r＞0，又由h＞0可得0＜r＜5 ， 故函数V（r）的定义域为（0，5 ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积 最大. 解： 因为V（r）＝ （300r－4r3）， 所以V'（r）＝ （300－12r2）. 令V'（r）＝0，解得r1＝5，r2＝－5（舍去）. 当r∈（0，5）时，V'（r）＞0，故V（r）在（0，5）上单调递增； 当r∈（5，5 ）时，V'（r）＜0，故V（r）在（5，5 ）上单调递 减. 由此可知，V（r）在r＝5处取得最大值，此时h＝8. 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 18. （本小题满分17分）设函数f（x）＝ex－ x2－x. （1）若k＝0，求f（x）的最小值； 解： k＝0时，f（x）＝ex－x，f'（x）＝ex－1. 当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0； 当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0， 所以f（x）在（－∞，0）上单调递减， 在（0，＋∞）上单调递增， 故f（x）的最小值为f（0）＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）若k＝1，讨论函数f（x）的单调性. 解： 若k＝1，则f（x）＝ex－ x2－x，定义域为R. 所以f'（x）＝ex－x－1，令g（x）＝ex－x－1， 则g'（x）＝ex－1， 由g'（x）＞0得x＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增， 由g'（x）＜0得x＜0，所以g（x）在（－∞，0）上单调递减， 所以g（x）min＝g（0）＝0，即f'（x）min＝0， 故f'（x）≥0. 所以f（x）在R上是增函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 19. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝ln ＋ax＋b（x－1）3. （1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值； 解： b＝0时，f（x）＝ln ＋ax，其中x∈（0，2）， 则f'（x）＝ ＋a，x∈（0，2）， ∵x（2－x）≤（ ）2＝1，当且仅当x＝1时等号成立， 故f'（x）min＝2＋a，而f'（x）≥0成立，故a＋2≥0，即a≥－2， ∴a的最小值为－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形； 解：证明：法一　∵x∈（0，2），f（2－x）＋f（x）＝ln ＋a（2 －x）＋b（1－x）3＋ln ＋ax＋b（x－1）3＝2a， ∴f（x）关于（1，a）中心对称. 法二　将f（x）向左平移一个单位长度⇒f（x＋1）＝ln ＋a（x＋1） ＋bx3关于（0，a）中心对称， ∴f（x）关于（1，a）中心对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） （3）若f（x）＞－2，当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围. 解： 令函数g（x）＝f（x）＋2，依题意g（x）＞0当且仅当1＜x＜2， 从而g（1）≤0. 若g（1）＜0，∵g（ ）＞0， ∴存在x0∈（1， ），使g（x0）＝0，矛盾， 从而g（1）＝0，故a＝－2. f'（x）＝ ＋3b（x－1）2 ＝（x－1）2［ ＋3b］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 设h（x）＝ ＋3b，x∈（1，2），易知h（x）在（1，2）上单 调递增，h（1）＝2＋3b， 若b＜－ ，h（1）＜0，令h（x）＝0，得x＝1＋ 或x＝1－ （舍去），当x∈ 时，h（x）＜0，从而f' （x）＜0，f（x）在区间 上单调递减，不符合题目要 求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） 若b≥－ ，当x∈（1，2）时，h（x）≥0. 从而f'（x）≥0，当且仅当x＝1时等号成立，故f（x）在区间（1，2）上 单调递增，符合题目要求. 因此b的取值范围是［－ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（BSD） $