第2章 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的概念与几何意义，通过“雨伞水滴切线方向”等生活情境导入，衔接物理曲线运动速度方向，搭建从平均变化率到瞬时变化率的学习支架，帮助学生理解核心知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，通过割线到切线的动态过程培养直观想象，结合典型例题与分层作业发展数学思维，助力学生抽象导数概念，教师可借此高效落实课标要求，提升教学效果。

2.1　导数的概念 2.2　导数的几何意义 1 1.了解导数的概念（数学抽象）. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞 的切线方向飞出.实际上物体（看作质点）做曲线运动 时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨 迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切 线问题. 【问题】　你还能列举出生活中的其他实例吗？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　导数的概念 设函数y＝f（x），当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f（x0）变到f （x1），函数值y关于x的平均变化率为 ＝ ＝ .当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一 个 的值，那么这个值就是函数y＝f（x）在点x0的 ⁠ .在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f（x）在点x0处的导数，通常用 符号f'（x0）表示，记作f'（x0）＝ ＝ ⁠. 固定　 瞬时变化 率　 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：对于函数y＝f（x）在x＝x0处的导数应注意以下四点：①函 数y＝f（x）在x＝x0处的导数即为函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化 率，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛；②函数在x＝ x0处的导数f'（x0）只与x0有关，与Δx无关.函数在某点处的导数是一个定 值，是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变量比值的极限，不是 变量；③函数f（x）应在x0及其附近有意义，否则导数不存在.若极限 不存在，则称函数y＝f（x）在x＝x0处不可导. 若f（x）在开区间（a，b）内每一点处都可导，称f（x）在开区间 （a，b）内可导； 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ④在导数的定义式f'（x0）＝ 中，Δx趋于0且Δx 是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0.这时Δx是一 个无穷小量，当Δx＞0（或Δx＜0）时，Δx趋于0表示x0＋Δx从右边（或 从左边）趋近于x0.当Δx趋于0时，Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）趋于0， 但 趋于f'（x0）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　导数的几何意义 1. 曲线的割线与切线 （1）设函数y＝f（x）的图象是一条光滑的曲线，且函数y＝f（x）在区 间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，如图①，它是经过A（x0，f （x0））和B（x0＋Δx，f（x0＋Δx））两点的直线的斜率.这条直线称为 曲线y＝f（x）在点A处的一条 ⁠； 割线　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）如图②，设函数y＝f（x）的图象是一条光滑的曲线，从图象上可 以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B 将沿着曲线y＝f（x）趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线 l为曲线y＝f（x）在点A处的 ，或称直线l和曲线y＝f（x）在 点A处 .该切线的斜率就是函数y＝f（x）在x0处的导数 ⁠ ⁠. 切线　 相切　 f' （x0）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：对曲线的切线的再认识：①曲线的切线是指曲线上某一点处的 切线，根据切线的定义知曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线是 过点（x0，f（x0））的所有割线的极限位置；②曲线y＝f（x）与它的一 条切线一定有公共点（x0，f（x0））即切点，但不一定只有切点这一个公 共点，还可能有其他公共点；③曲线y＝f（x）与一条直线l只有一个公 共点时，直线l不一定是曲线y＝f（x）的切线，可以在公共点处用切线 的定义检验；④曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线至多有一 条；⑤若函数y＝f（x）在x＝x0处有导数f'（x0），则曲线y＝f（x）上 必有唯一一条以（x0，f（x0））为切点的切线；当曲线y＝f（x）上在切 点（x0，f（x0））处的切线垂直于x轴时，函数y＝f（x）在x＝x0处的 导数不存在. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 导数的几何意义 函数y＝f（x）在x0处的导数 ，是曲线y＝f（x）在点（x0， f（x0））处的切线的 ⁠. f'（x0）　 斜率　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P （x0，f（x0））处的切线方程是什么？ 提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x －x0）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝f（x）的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f' （x1），f'（x2）和f'（x3）的大小吗？ 提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA＞ kB，在C处的切线斜率小于零，所以f'（x1）＞f'（x2）＞f'（x3）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数在某点处的导数f'（x0）是一个常数. （　√　） （2）函数y＝f（x）在点x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在点x＝ x0处的函数值. （　√　） （3）函数f（x）＝0没有导数. （　×　） （4）直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点. （　×　） √ √ × × 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数f（x）的图象如图所示，则（　　） A. f'（1）＞f'（2）＞f'（3） B. f'（2）＞f'（1）＞f'（3） C. f'（3）＞f'（2）＞f'（1） D. f'（3）＞f'（1）＞f'（2） 解析： 　由函数的图象可知，曲线在点A（1，f（1）），B（2，f （2）），C（3，f（3））处切线的斜率大小关系为kC＞kB＞kA，故f' （3）＞f'（2）＞f'（1）. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝ ⁠. 解析：f'（1）＝ ＝ ＝2. 2　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜导数的概念 角度1　求函数在某点处的导数 【例1】　求函数y＝f（x）＝x＋ 在x＝1处的导数. 解：当x从1变到1＋Δx时，函数值从1＋ 变到（1＋Δx）＋ ，函数值 y关于x的平均变化率为 ＝ ＝ ＝1－ . 当x趋于1时，即Δx趋于0时，平均变化率总是0，所以f'（1）＝0. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）给出相对于x0的改变量x0＋Δx，求函数值的改变量Δy＝f（x0＋ Δx）－f（x0）； （2）求平均变化率 ＝ ； （3）取极限，得导数f'（x0）＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　y＝f（x）＝x2在x＝1处的导数为（　　） A. 2x B. 2 C. 2＋Δx D. 1 解析： 　当x从1变到1＋Δx时，函数值从1变到（1＋Δx）2，函数值y关 于x的平均变化率为 ＝ ＝Δx＋2.当x趋于1， 即Δx趋于0时，平均变化率总是2，所以f'（1）＝2. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　对导数定义式的理解和应用 【例2】　已知f（x）在x0处的导数f'（x0）＝k，求下列各式的值： （1） ； 解： 法一　∵ ＝f'（x0）， 即 ＝f'（x0）＝k. ∴ ＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法二　令Δh＝－Δx，则Δx＝－Δh， ∵当Δx→0时，Δh→0， ∴ ＝ ＝ ＝ f'（x0）＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2） . 解： 法一　∵ ， 即 为函数f（x）在区间[x0－Δx，x0＋Δx]上的平 均变化率. ∴当Δx→0时， 必趋于f'（x0）＝k，∴ ＝k， ∴ ＝2k. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法二　原式＝ ＝ ＋ ＝f'（x0）＋f'（x0）＝2f'（x0）＝2k. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 导数定义式的变形应用 　　在导数的定义式中，自变量的增量Δx可以有多种表达形式，但不论采 用哪种形式，Δy中自变量的增量Δx都必须用相应的形式，如将Δx变为 mΔx，则Δy＝f（x0＋mΔx）－f（x0），只有这样，才有 ＝f'（x0）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 若函数f（x）可导，则 ＝（　　） A. －2f'（1） B. f'（1） C. － f'（1） D. f' 解析： 　 ＝－ ＝－ f'（1）. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知函数f（x）可导，且满足 ＝2，则函数y＝f （x）在x＝3处的导数为（　　） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 解析： 　由题意，知f'（3）＝ ＝－2，故选B. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜导数的几何意义 角度1　求切线的方程 【例3】　已知曲线y＝ x3＋ . （1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； 解： ∵P（2，4）在曲线y＝ x3＋ 上， ＝ ＝4＋2Δx＋ （Δx）2. 令Δx趋于0，可知y＝ x3＋ 在x＝2处的导数为4. ∴曲线在点P（2，4）处的斜率为4， ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y－4＝4（x－2）， 即4x－y－4＝0. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求曲线过点P（2，4）的切线方程. 解：设曲线y＝ x3＋ 与过点P（2，4）的切线相切于点A ， ＝ ＝ ＋x0Δx＋ （Δx）2， 令Δx趋于0，可知y＝ x3＋ 在x＝x0处的导数为 ，于是曲线在点 （ x0， ＋ ）处的切线斜率为 ， 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ∴切线方程为y－ ＝ （x－x0）， 即y＝ ·x－ ＋ .∵点P（2，4）在切线上， ∴4＝2 － ＋ ，即 －3 ＋4＝0. ∴ ＋ －4 ＋4＝0，∴ （x0＋1）－4（x0＋1）（x0－1）＝0， ∴（x0＋1）（x0－2）2＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　若题中所给点（x0，y0）不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根 据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 求曲线y＝ 在点 处的切线方程. 解： ＝ ＝ ，令Δx趋于0，可知曲线y＝ 在x＝2处的导 数为－ ，于是曲线y＝ 在点（ 2， ）处的切线的斜率为－ ， 由直线的点斜式方程可得切线方程为y－ ＝－ （x－2），即x＋4y－4 ＝0. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　求切点坐标或参数值 【例4】　（1）已知曲线y＝f（x）＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为 45°，则该切点的坐标为 ⁠； 解析： 设切点坐标为（x0，y0），则Δy＝[2（x0＋Δx）2＋1]－ （2 ＋1）＝4x0·Δx＋2（Δx）2，∴ ＝4x0＋2Δx，令Δx趋于0，可知 y＝2x2＋1在x＝x0处的导数为f'（x0）＝4x0，于是曲线在点（x0，y0）处 的切线斜率为4x0，又∵切线的斜率为k＝tan 45°＝1，∴4x0＝1，即x0＝ .∴y0＝2× ＋1＝ ，∴切点坐标为 . 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝ ⁠. 解析： 设直线y＝3x＋b与曲线y＝x3的切点为P（x0，y0），由y＝ x3得 ＝ ＝3 ＋3x0·Δx＋（Δx）2，令Δx趋于0，可知y ＝x3在x＝x0处的导数为3 ，∴曲线y＝x3在点P（x0，y0）处的切线斜 率为k＝3 ，又直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切于点P，∴3 ＝3，因 此x0＝±1，∴P（1，1）或P（－1，－1）.∵点P在直线y＝3x＋b上， ∴b＝±2. ±2　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　解答此类题目时，弄清切线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信 息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析 几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行、垂直等. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知曲线f（x）＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g（x）＝1－x3在x＝x0 处的切线互相平行，求x0的值. 解：对于曲线f（x）＝x2－1， ＝ ＝2x0＋Δx. 令Δx趋于0，可知f（x）＝x2－1在x＝x0处的导数为f'（x0）＝2x0， ∴曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为2x0. 对于曲线g（x）＝1－x3， ＝ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ＝－3x0Δx－3 －（Δx）2， 令Δx趋于0，可知g（x）＝1－x3在x＝x0处的导数为g'（x0）＝－3 ， ∴曲线g（x）在点（x0，g（x0））处的切线斜率为－3 . 由两切线互相平行，得2x0＝－3 ， ∴x0＝0或x0＝－ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜利用导数的几何意义判断函数图象 【例5】　已知函数f（x）的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是 （　　） A. 0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2） B. 0＜f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3） C. 0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2） D. 0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3） √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　kAB＝ ＝f（3）－f（2），f'（2）为函数f（x）的 图象在点B（2，f（2））处的切线的斜率，f'（3）为函数f（x）的图象 在点A（3，f（3））处的切线的斜率，根据图象可知0＜f'（3）＜f（3） －f（2）＜f'（2）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　导数的几何意义就是切线的斜率，在比较导数大小的问题上可以用数 形结合思想来解决. （1）曲线f（x）在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画.f'（x0）＞0 说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f' （x0）＜0说明在x0附近曲线是下降的； （2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情 况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　已知函数f（x）的部分图象如图所示，设 ＝a，则下列不 等式正确的是（　　） A. f'（1）＜f'（2）＜a B. f'（1）＜a＜f'（2） C. f'（2）＜f'（1）＜a D. a＜f'（1）＜f'（2） √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由图象可知，函数在[0，＋∞）上的增长越来越快，故函数图 象在点（x0，f（x0））（x0∈[0，＋∞））的切线的斜率越来越大， ∵ ＝a，∴f'（1）＜a＜f'（2），故选B. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为3x－y＋1＝ 0，则（　　） A. f'（x0）＜0 B. f'（x0）＞0 C. f'（x0）＝0 D. f'（x0）不存在 解析： 　由导数的几何意义可知曲线在（x0，f（x0））处的导数等于曲 线在该点处的切线的斜率，所以f'（x0）＝3.故选B. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知曲线y＝ x2－3上一点P ，则过点P的切线的斜率为 （　　） A. B. 1 C. －1 D. － 解析： 　∵y＝ x2－3且P（ 1，－ ）在此曲线上，∴Δy＝ （1＋ Δx）2－3－（ ×12－3）＝ （Δx）2＋Δx，∴ ＝ ＝1＋ Δx.令Δx趋于0得曲线在x＝1处的导数为1，即曲线在点（ 1，－ ）处的 切线斜率为1，∴过点P 的切线的斜率为1. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则f'（x1） f'（x2） （填“＜，＞，＝，≤，≥”）. 解析：由导数的几何意义可知，f'（x1）表示函数y＝f（x）在x＝x1处的 切线斜率，f'（x2）表示函数y＝f（x）在x＝x2处的切线斜率，由函数y ＝f（x）的部分图象可知，函数y＝f（x）在x＝x1处的切线斜率比在x ＝x2处的切线斜率小，所以f'（x1）＜f'（x2）. ＜　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 若 ＝1，求f'（x0）. 解：因为 ＝－ ＝－ f'（x0）＝1. 所以f'（x0）＝－ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 函数y＝f（x）的图象在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f（5）＋ f'（5）＝（　　） A. B. 1 C. 2 D. 0 解析： 　由题意可知f'（5）＝－1，将x＝5代入切线方程，得f（5）＝－ 5＋8＝3，所以f（5）＋f'（5）＝3＋（－1）＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 若曲线y＝f（x）在其上一点（1，3）处的切线过点（0，2），则 （　　） A. f'（1）＞0 B. f'（1）＝0 C. f'（1）＜0 D. f'（1）不存在 解析： 由题意知切线过点（1，3），（0，2），所以切线的斜率为k＝ f'（1）＝ ＝1＞0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　设切点为（x0，y0），∵ ＝ ＝ ＝a（Δx）＋2ax0，令Δx趋于0，可知y＝ax2＋1在x ＝x0处的导数为f'（x0）＝2ax0，于是函数∴f'（x0）在点（x0，y0）处的切 线斜率为2ax0，即2ax0＝1，∴x0＝ .∵切点在直线y＝x上，∴y0＝ . 代入y＝ax2＋1得 ＝ ＋1，∴a＝ ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 设f（x）为可导函数，且满足 ＝－1，则f'（1）＝ （　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析： 　令x→0，则Δx＝1－（1－2x）＝2x→0，所以 ＝ ＝f'（1）＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处也可能有 切线 B. 若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f'（x0）必存在 C. 若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜 率不存在 D. 若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f'（x0）有可能 存在 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　k＝f'（x0），所以f'（x0）不存在只能说明曲线在该点处的切 线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是 x＝x0，故A、C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕设P0为曲线f（x）＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线 平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为（　　） A. （1，0） B. （2，8） C. （－1，－4） D. （－2，－12） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　 ＝ ＝ ＝3x2＋1＋3xΔx＋（Δx）2，令Δx→0得 导数f'（x）＝3x2＋1，即斜率为3x2＋1.由于曲线f（x）＝x3＋x－2在P0 处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f（x）在P0处的导数值等于4.设P0 （x0，y0），则有f'（x0）＝3 ＋1＝4，解得x0＝±1，故P0点的坐标为 （1，0）或（－1，－4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 如图直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f'（4）＝ ⁠. 解析：根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线的 斜率k，注意到k＝ ＝ ，所以f'（4）＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系 是 ⁠. 解析：由导数的几何意义，f'（xA），f'（xB）分别是曲线在点A，B处切 线的斜率，由图象可知f'（xA）＜f'（xB）. f'（xA）＜f'（xB）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 若函数f（x）＝x－ ，则它与x轴交点处的切线方程为 ⁠ ⁠. 解析：f（x）＝x－ 与x轴交点坐标为（1，0），（－1，0）， ＝ ＝1＋ ，当Δx趋于0， 可知f'（1）＝2，f'（－1）＝2，∴所求切线方程为y＝2（x－1）或y＝2 （x＋1），即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0. 2x－y－2＝ 0或2x－y＋2＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知曲线y＝ x3上一点P ，求： （1）曲线在点P处的切线的斜率； 解： 由y＝ x3，得 ＝ ＝ ＝ [3x2＋3xΔx＋（Δx）2]＝x2＋xΔx＋ （Δx）2， 令Δx趋于0，可知y＝ x3在x＝2处的导数为4，所以曲线在点P处的切线 的斜率等于4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）曲线在点P处的切线方程. 解： 曲线在点P处的切线方程为y－ ＝4（x－2）， 即12x－3y－16＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角 的取值范围是 ，则点P横坐标的取值范围为（　　） A. B. [－1，0] C. [0，1] D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　 ＝ ＝ ＝Δx＋2x＋2，令Δx趋于0，可知曲线C在点P处切 线的斜率为2x＋2，又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 ， 所以其斜率k≥1.由2x＋2≥1，解得x≥－ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕过点（2，0）作曲线f（x）＝x3的切线l，则切线l的方程可 能为（　　） A. y＝0 B. x＝0 C. 12x－y－24＝0 D. 27x－y－54＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　因为f（x）＝x3，设切点（x0， ），则k＝ ＝ [3 ＋3x0·Δx＋（Δx）2]＝3 ，所以 在x＝x0处的切线方程为y－ ＝3 （x－x0），把点（2，0）代入并解 得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，切线方程为y＝0；当x0＝3时，切点为（3， 27），斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27（x－3），整理为27x－y－ 54＝0.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 若点P是抛物线f（x）＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最 小距离为 ⁠. 解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线f （x）＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设P （x0，y0），由导数的几何意义知f'（x0）＝ ＝ 2x0＝1，解得x0＝ ，所以P ，故点P到直线y＝x－2的最小距离d ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 在抛物线f（x）＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪 一点处的切线垂直于这条直线？ 解：设抛物线上点P（x0，y0）处的切线平行于直线4x－y＋1＝0， ＝ ＝2x0＋Δx. 令Δx趋于0，可知f（x）＝x2在x＝x0处的导数为f'（x0）＝2x0， 则f'（x0）＝2x0＝4，解得x0＝2， 所以y0＝ ＝4，即P（2，4），经检验，符合题意. 设抛物线上点Q（x1，y1）处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0， 则f'（x1）＝2x1＝－ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解得x1＝－ ， 所以y1＝ ＝ ，即Q ，经检验，符合题意. 故抛物线f（x）＝x2在点（2，4）处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在 点 处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知函数f（x）＝x2＋bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜 率为3，数列{ }（n∈N＋）的前n项和为Sn，则S2 024的值为 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　因为f（x）＝x2＋bx且点A（1，f（1））在其图象上，所以 ＝ ＝2＋Δx＋b.令Δx趋于0，可知f（x）＝ x2＋bx在x＝1处的导数为f'（1）＝2＋b，因为函数f（x）＝x2＋bx的图 象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，所以f'（1）＝2＋b＝3，解 得b＝1，所以f（x）＝x2＋x＝x（x＋1）， ＝ ＝ － ，所以S2 024＝ － ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知曲线y＝f（x）＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点（1，a） 能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存 在，请说明理由. 解：设切点为P（x0，y0）， ∵ ＝ ＝2x0＋Δx， 令Δx趋于0，可知y＝x2＋1在x＝x0处的导数为2x0， 即在点P（x0，y0）处切线的斜率为2x0，由点斜式可得所求切线方程为y －y0＝2x0（x－x0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 又∵切线过点（1，a），且y0＝ ＋1， ∴a－（ ＋1）＝2x0（1－x0）， 即 －2x0＋a－1＝0.∵切线有两条， ∴Δ＝（－2）2－4（a－1）＞0，解得a＜2. 故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线，a的取 值范围是（－∞，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $