精品解析：浙江省金华市第五中学2021-2022学年九年级下学期开学作业检查数学试题

金华五中2021学年第二学期九年级数学期初作业检查 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列选项中，既是分数，又是负数的是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分数和负数的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解： A、4是正整数，既不是分数，也不是负数，不符合题意； B、5是正整数，既不是分数，也不是负数，不符合题意； C、是负整数，是负数但不是分数，不符合题意； D、是有限小数，属于分数，同时是负数，符合题意． 2. 如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知左视图为一个正方形上面一个三角形，即可得到答案． 【详解】解：左视图是． 3. 数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. ①勾股树 B. ②分形树 C. ③谢尔宾斯基三角形 D. ④雪花 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据合并同类项和同底数幂的乘法以及幂的乘方和同底数幂的除法逐项进行计算判断即可. 【详解】解：A. ，此选项运算错误； B. ，此选项运算正确； C. ，此选项运算错误； D. ，此选项运算错误. 故选：B. 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握合并同类项和同底数幂的乘法以及幂的乘方和同底数幂的除法是解答本题的关键. 5. 若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　） A. x B. 0 C. x＞0 D. x且x≠0 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值的意义，由于分子，要分式的值为正数，分母． 【详解】解：由于分式的值为正数， 所以， 即， 故选：A． 【点睛】题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　　 ） A. 41° B. 42° C. 43° D. 44° 【答案】B 【解析】 【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解． 【详解】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°， ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE＝EC， ∴∠EAC＝∠C＝7x°， ∵∠B＝90°， ∴∠C+∠BAC＝90°， ∴7x+7x+x＝90， 解得：x＝6， ∴∠C＝7×6°＝42°， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键． 7. 如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30°，点A在抛物线的图象上，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C、A分别作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为D、E，可得△COD≌△OAE，在 中，由∠COD=60°， 可得∠OCD=30°，从而得到 ， ，进而得到 ，可得到点 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点C、A分别作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为D、E， 根据题意得∠AOC=90°，OA=OC=2，∠COD=90°-30°=60°， ∴∠AOE+∠COD=90°， ∵CD⊥x轴，AE⊥x轴， ∴∠CDO=∠OEA=90°， ∴∠AOE+∠OAE=90°， ∴∠COD=∠OAE， ∴△COD≌△OAE， ∴AE=OD，OE=CD， 在 中，∠COD=60°， ∴∠OCD=30°， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 ， 把代入，得： ，解得： ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到△COD≌△OAE是解题的关键． 8. 如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ） A. 厘米 B. 10厘米 C. 厘米 D. 8厘米 【答案】B 【解析】 【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可. 【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示， 作点A的对称点B， 连接PB， 则PB为所求， 根据题意，得PC=8，BC=6， 根据勾股定理，得PB=10， 故选B. 【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键. 9. 如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…，以此规律跳动下去，点A第2021次跳动至点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出点的坐标，再归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由题意得：点的坐标为， 点的坐标为，即， 点的坐标为， 观察可知，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 归纳类推得：点的坐标为（其中，为正整数）， 因为， 所以点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 10. 几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形，四边形，四边形均为正方形，交于点交于点K，点在同条直线上，若，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，设，则，证明，由图建立关于的方程解得，作，，证明，得出，此时只需算出四边形、的面积即可计算的值． 【详解】解：， ， 又， ， 又， ， ， ， 设，则， 由已知：，，， ， ， 又， ， 解得，检验是方程的解， ，， 作，，四边形、、、是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 故选． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似、全等的判定与性质；能利用正方形的性质证明三角形全等、相似，能利用参数构建方程是解决本题的关键． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 第七次全国人口普查属于__________（填“全面”或“抽样”）调查． 【答案】全面 【解析】 【分析】根据全面调查的含义即可求解． 【详解】第七次全国人口普查属于全面调查 故答案为：全面． 【点睛】此题主要考查统计调查的方式，解题的关键是熟知全面调查的含义． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 13. 如图，小明为了测量高楼的高度，在离点米的点A处放了一个平面镜，小明沿方向后退米到点C，此时从镜子中恰好看到楼顶的点M，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度是米，则高楼的高度是 __． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了数学与物理的学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键．先证明，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 即 ∴， ∴高楼的高度是米． 故答案为：米． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边轴，垂足为E，顶点A在第二象限，，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由点C的横坐标为5，可知菱形的边长为5，设出DE 的长，表示BE的长，根据勾股定理可求出DE、BE，再设出点C的纵坐标，表示点C、D的坐标，代入反比例函数关系式求出k的值． 【详解】解：由题意得，AB＝BC＝CD＝DA＝5， 设DE＝x，则BE＝2x，AE＝5﹣x， 在RtABE中，由勾股定理得， （5﹣x）2+（2x）2＝52， 解得x＝0 （舍去），x＝2， 即DE＝2，BE＝4， 设点C（5，y），则D（2，y+4）， ∵反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过点C、D． ∴5y＝2（y+4）＝k， 解得：y＝， ∴k＝5y＝， 故答案为：． 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理等知识，求出反比例函数图象上某个点的坐标是解决问题的关键． 15. 如图，在直角坐标系中，直线交矩形于F与G，交x轴于D，交y轴于E．若，求矩形的面积________________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，推出，证得，根据相似三角形的性质得到，过点F作轴于点M，过点G作轴于点N．根据勾股定理得到，，于是得到矩形的面积． 【详解】解：∵直线交x轴于D，交y轴于E． ∴，， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作轴于点M，过点G作轴于点N． ∴和是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 16. 如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC=BD，AFBE，sin∠BAF=0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，气簧活塞杆CD随之伸长．已知直线BE⊥，=2CD，那么AB的长为 ____cm，的长为 ____cm． 【答案】 ①. 20 ②. 40 【解析】 【分析】过A作AP⊥EB延长线交于点P，由BE旋转一定角度后得到可知，旋转角度为90°，过作⊥AP，交AP于点H，分别表示出、PB的长，即可得出AB的长，设CD=xcm，则AC=BD=cm，利用勾股定理可得，代入解方程即可． 【详解】解：过A作AP⊥EB延长线交于点P， ∵AFBE， ∴∠ABP=∠BAF， ∴sin∠ABP=0.8，cos∠ABP=0.6， ∴BP=0.6AB， 由BE旋转一定角度后得到可知，旋转角度为90°， 过作⊥AP，交AP于点H， ∵∠PAB+∠ABP=90°，∠+∠PAB=90°， ∴∠=∠ABP，=sin∠=ABsin∠=0.8AB， ∴28=+PB=0.8AB+0.6AB=1.4AB， ∴AB=20cm； 设CD=xcm，则AC=BD=cm，AD'=AD=x+(cm)， =2CD=2x， ∵∠=90°， ∴， ∴， 解得x=20，或x=20（舍）， ∴=2x=40cm， 故答案为：20，40． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是90°是解题的关键． 三、解答题（共8小题，满分66分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据0指数幂的运算法则、开立方的运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是实数的运算．熟知0指数幂的运算法则、开立方的运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值是解答此题的关键． 18. 解方程： ． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 整理得： 解得： 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是. 【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握“解分式方程的步骤”是解本题的关键. 19. 如图，两种规格的钢板原料，图（1）的规格为1m×5m.图（2）是由5个1m×1m的小正方形组成.电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）. （1）焊接后的正方形工件的边长是　　　　　　 （2）分别在图（1）和图（2）中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接的痕迹）； （3）从节约焊接材料的角度，试比较选用哪种原料较好？ 【答案】（1）m；（2）详见解析；（3）（2）好些. 【解析】 【分析】（1）各长方形的面积之和为5，那么组成的大正方形的边长为m； （2）直角边长为1，2的直角三角形的斜边长为m，作出这样的直角三角形即可； （3）分别算出焊接的长度，然后进行比较． 【详解】（1）根据面积公式得： ∵焊接后的正方形工件的面积为：1×5=5， ∴正方形工件的边长=m； （2）如图所示： (3) ∵（1）中需焊接长度为：4×2=8，（2）中需焊接长度为：2×2+1=5，所以（2）中裁剪方法节约焊接材料． 【点睛】拼成的图形为正方形，那么应根据正方形的面积得到相应的边长，把所给图形合理分割即可． 20. 为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为________； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是________°； （3）请将条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 【答案】（1）20人 （2）36 （3） 补充完整的条形统计图如下： （4） 【解析】 【分析】（1）由条形统计图中B类学生数及扇形统计图中B类学生的百分比即可求得参与调查的总人数； （2）由扇形统计图可求得不达标的学生所占的百分比，它与360°的积即为所求的结果； （3）现两种统计图及（1）中所求得的总人数，可分别求得C类、D类学生的人数，从而可求得这两类中未知的学生数，从而可补充完整条形统计图； （4）记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表即可求得所有可能的结果数及所选两位同学恰好是相同性别的结果数，从而可求得概率． 【小问1详解】 由条形统计图知，B类学生共有6+4=10（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为50%，则参与调查的总人数为：（人） 故答案为：20人 【小问2详解】 由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：360°×10%=36° 故答案为：36 【小问3详解】 C类学生总人数为：20×25%=5（人），则C类学生中女生人数为：（人） D类学生总人数为：20×10%=2（人），则C类学生中男生人数为：（人） 【小问4详解】 记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表如下： 男1 女1 女2 男 男男1 男女1 男女2 女 女男1 女女1 女女2 则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为： 【点睛】本题是统计图的综合，考查了条形统计图与扇形统计图，简单事件的概率，关键是读懂两个统计图并能从图中获取信息． 21. 如图，已知AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，CD是⊙O的切线，切点为C，连接AC交⊙O于点E． （1）求证：∠DCE＝∠DEC； （2）若AB＝8，AC＝7，求AE的长． 【答案】（1）见解析 （2）AE的长为 【解析】 【分析】（1）连接OC、BC，由CD是⊙O的切线，切点为C，可得OC⊥CD，又由DO⊥AB，根据等角的余角相等，可证得：∠DCE=∠DEC； （2）易证得△AEO∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得AE的长，继而求得答案． 【小问1详解】 证明：连接OC、BC ∵CD是⊙O的切线，切点为C ∴OC⊥CD， 即∠OCD=90° ∵OC=OA， ∴∠A=∠OCA， ∵OD⊥AB， ∴∠DEC=∠AEO=90°-∠A， ∵∠DCE=90°-∠OCA， ∴∠DCE=∠DEC； 【小问2详解】 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AB=8， ∴OA=OB= ∵∠AOE=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AEO∽△ABC， ∴ ∴ ∴AE= 【点睛】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 22. 实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去． 数学研究：如图，折线、分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图像． （1）求线段AB对应的函数表达式； （2）求点E的坐标； （3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？ 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求线段AB对应的函数表达式即可； （2）设DE对应的函数表达式为，根据k的几何意义可，将点D坐标代入求得b＇，再与线段AB解析式联立方程组求出交点E坐标即可； （3）利用待定系数法求线段AD对应的函数解析式，分y1=2y3和y1=2y2求解x值即可． 【详解】解：（1）设线段AB对应的函数表达式为， 由图像得，当时，，当时，，代入得：， 解得：， ∴线段AB对应的函数表达式为（0≤x≤2）； （2）设线段DE对应的函数表达式为， 由题意得，， 将代入，得， ∴线段DE对应的函数表达式为， ∵点E是线段AB和线段DE的交点，故E满足： ，解得：， ∴； （3）设线段AD对应的函数表达式为， 将A（0，4）、代入，得：， 解得：， ∴设AD对应的函数表达式为, 由题意，分两种情况： 当y=2y3时，由－2x+4=2(－8x+4)得：； 当y=2y2时，由－2x+4=2(16x－8)得：， 故当或时，它离乙的路程与它离甲的路程相等． 【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数表达式，理解题意，理清图象中各点、各线段之间的关系是解答的关键． 23. 如图，抛物线C1：y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标； （2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式； （3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值． 【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x，顶点坐标（1，﹣1）； （2）抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1； （3）m=． 【解析】 【详解】试题分析：（1）把（0，0）及（2，0）代入y=x2+bx+c，求出抛物线C1的解析式，即可求出抛物线C1的顶点坐标， （2）先求出C2的解析式，确定A，B，C的坐标，过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，利用△PAC为等腰直角三角形，求出角的关系可证得△CHD≌△DEA，再由OC=EH列出方程求解得出m的值，即可得出C2的解析式． （3）连接BC，BP，由抛物线对称性可知AP=BP，由△PAC为等边三角形，可得AP=BP=CP，∠APC=60°，由C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，可得BC=2OC，利用勾股定理求出OB=OC，列出方程求出m的值即可． 试题解析：（1）∵抛物线C1经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0）， ∴， 解得， ∴抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x， ∴抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1）， （2）如图1， ∵抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2， ∴C2的解析式为y=（x﹣m﹣1）2﹣1， ∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m）， 过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H， ∵△ACD为等腰直角三角形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∴∠CDH+∠ADE=90° ∴∠HCD=∠ADE， ∵∠DEA=90°， ∴△CHD≌△DEA， ∴AE=HD=1，CH=DE=m+1， ∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2， 由OC=EH得m2+2m=m+2，解得m1=1，m2=﹣2（舍去）， ∴抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1． （3）如图2，连接BC，BP， 由抛物线对称性可知AP=BP， ∵△PAC为等边三角形， ∴AP=BP=CP，∠APC=60°， ∴C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上， ∴∠CBO=∠CPA=30°， ∴BC=2OC， ∴由勾股定理得OB==OC， ∴（m2+2m）=m+2， 解得m1=，m2=﹣2（舍去）， ∴m=． 点睛：本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是正确作出辅助线，善于利用几何图形有关性质、定理和二次函数的知识求解. 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于、两点．其中．直线：分别与轴、轴交于、两点，，于点． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图1，若线段在直线上移动，且点、移动后的对应点分别为、，连接、，构成四边形，当四边形的周长最小时，求周长的最小值； （3）如图2，为线段上的一个动点，将沿翻折得到，使点落在直线的上方，与相交于点．当与的重叠部分为直角三角形时，将此绕点顺时针旋转度()得到，直线与直线交于点，与轴交于点．是否存在恰当的位置，使是以为底角的等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）分别求出直线，直线的解析式，联立解方程组即可得点的坐标； （2）过点作，且，作于点，作点关于直线的对称点，在直线上截取，连接，，可得四边形是平行四边形，根据三角形的三边关系可得出当且仅当，，三点共线时，取得最小值，然后再推出四边形是矩形，解直角三角形求出的值和直线的解析式，联立直线：求出交点的坐标即可； （3）由直角三角形翻折的性质求出，的值，分四种情况根据等腰三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：直线：与轴交于点． ， ， ， ， ， ， 将代入得，， 解得：， 直线：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将点代入直线：得， ， 解得：， 直线：， 联立， 解得， 点的坐标为； 【小问2详解】 过点作，且，作于点，作点关于直线的对称点，过点作于点，连接，在直线上截取，连接，， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当且仅当，，三点共线时，取得最小值．此时重合， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 四边形是矩形， 轴， ， ， ， ， ， ，， ， ∴四边形的周长最小值为 设直线的解析式为：， ， 解得：， ， 联立， 解得：， 即 当四边形的周长最小时，周长的最小值为，此时的坐标为； 【小问3详解】 点落在直线的上方，为直角三角形， 只能是， ， ， 沿翻折得到， ， ，， ①当时，点与重合，点与点重合， 此时是以为底角的等腰三角形， ； ②当时，点落在上， ， ， 此时是以为底角的等腰三角形， ； ③当时，点落在上， ， 又， ， 此时是以为底角的等腰三角形， ； ④当时，点落在上， ， ， 此时是以为底角的等腰三角形， ； 综上所述，存在为底角的等腰三角形，的长为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华五中2021学年第二学期九年级数学期初作业检查 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列选项中，既是分数，又是负数的是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 2. 如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. ①勾股树 B. ②分形树 C. ③谢尔宾斯基三角形 D. ④雪花 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　） A. x B. 0 C. x＞0 D. x且x≠0 6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　　 ） A. 41° B. 42° C. 43° D. 44° 7. 如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30°，点A在抛物线的图象上，则a的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ） A. 厘米 B. 10厘米 C. 厘米 D. 8厘米 9. 如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…，以此规律跳动下去，点A第2021次跳动至点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形，四边形，四边形均为正方形，交于点交于点K，点在同条直线上，若，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 第七次全国人口普查属于__________（填“全面”或“抽样”）调查． 12. 因式分解：________． 13. 如图，小明为了测量高楼的高度，在离点米的点A处放了一个平面镜，小明沿方向后退米到点C，此时从镜子中恰好看到楼顶的点M，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度是米，则高楼的高度是 __． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边轴，垂足为E，顶点A在第二象限，，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，，则k的值为______． 15. 如图，在直角坐标系中，直线交矩形于F与G，交x轴于D，交y轴于E．若，求矩形的面积________________． 16. 如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC=BD，AFBE，sin∠BAF=0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，气簧活塞杆CD随之伸长．已知直线BE⊥，=2CD，那么AB的长为 ____cm，的长为 ____cm． 三、解答题（共8小题，满分66分） 17. 计算：． 18. 解方程： ． 19. 如图，两种规格的钢板原料，图（1）的规格为1m×5m.图（2）是由5个1m×1m的小正方形组成.电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）. （1）焊接后的正方形工件的边长是　　　　　　 （2）分别在图（1）和图（2）中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接的痕迹）； （3）从节约焊接材料的角度，试比较选用哪种原料较好？ 20. 为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为________； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是________°； （3）请将条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 21. 如图，已知AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，CD是⊙O的切线，切点为C，连接AC交⊙O于点E． （1）求证：∠DCE＝∠DEC； （2）若AB＝8，AC＝7，求AE的长． 22. 实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去． 数学研究：如图，折线、分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图像． （1）求线段AB对应的函数表达式； （2）求点E的坐标； （3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？ 23. 如图，抛物线C1：y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标； （2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式； （3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于、两点．其中．直线：分别与轴、轴交于、两点，，于点． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图1，若线段在直线上移动，且点、移动后的对应点分别为、，连接、，构成四边形，当四边形的周长最小时，求周长的最小值； （3）如图2，为线段上的一个动点，将沿翻折得到，使点落在直线的上方，与相交于点．当与的重叠部分为直角三角形时，将此绕点顺时针旋转度()得到，直线与直线交于点，与轴交于点．是否存在恰当的位置，使是以为底角的等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $