第5章 1.1 复数的概念(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1.1　复数的概念 1.复数z＝3－6i（i为虚数单位）的虚部为（　　） A.－6 B.6 C.3 D.－6i 2.在给出的下列几个命题中正确的是（　　） A.若x是实数，则x可能不是复数 B.若z是虚数，则z不是实数 C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 D.－1没有平方根 3.以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是（　　） A.3－3i B.3＋i C.－＋i D.＋i 4.设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 024i＝2－bi，则a2＋bi＝（　　） A.2 024＋2i B.2 024＋4i C.2＋2 024i D.4－2 024i 6.〔多选〕已知复数z＝cos α＋icos 2α（0＜α＜2π）的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为（　　） A. B. C.π D. 7.若x是实数，y是纯虚数，且（2x－1）＋2i＝y，则x，y的值分别为　　　　，　　　　. 8.若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝　　　　. 9.如果（m2－1）＋（m2－2m）i＞1则实数m的值为　　　　. 10.当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i是： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0. 11.〔多选〕有下列四个命题，其中正确的是（　　） A.方程2x－5＝0在自然数集N中无解 B.方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解 C.x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解 D.x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解 12.〔多选〕已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（　　） A.若a≠0，则ai是纯虚数 B.虚部为－的虚数有无数个 C.实数集是复数集的真子集 D.两个复数相等的一个必要不充分条件是它们的实部相等 13.若复数z＝＋i是纯虚数（i为虚数单位），则tan＝　　　　. 14.分别求满足下列条件的实数x，y的值： （1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i； （2）＋（x2－2x－3）i＝0. 15.已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝（　　） A.3＋i B.3－i C.－3－i D.－3＋i 16.已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. （1）若z1为纯虚数，求实数m的值； （2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ §1　复数的概念及其几何意义 1.1　复数的概念 1.A　由复数的概念知，复数z＝3－6i的虚部为－6.故选A. 2.B　因为实数是复数，故A错误，B正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错误；因为－1在复数范围内的平方根为i，故D错误. 3.A　3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A. 4.B　因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立.所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件. 5.D　因为a＋2 024i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 024，即a＝2，b＝－2 024，所以a2＋bi＝4－2 024i. 6.ACD　由题意得cos α＝－cos 2α，所以2cos2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或.因为0＜α＜2π，所以α＝π或或. 7.　2i　解析：由（2x－1）＋2i＝y，得解得x＝，y＝2i. 8.5　解析：由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋b2＝5. 9.2　解析：由题意得解得m＝2. 10.解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3， 由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3. （1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或m＝－3. （2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3. （3）当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2. （4）当时，复数z是0，∴m＝－3. 11.ABD　方程2x－5＝0的根为x＝∈/N，故方程在自然数集N中无解，因此A正确；方程2x2＋9x－5＝0，即（2x－1）（x＋5）＝0，故在整数集Z中有一解－5，在有理数集Q中有两解－5和，因此B正确；x4＝1在R中有两解±1，在复数集C中有四解±1，±i，因此C错误；x＝i代入方程x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解，因此D正确. 12.BCD　若a＝i，则ai＝i2＝－1，不是纯虚数，故A错误；虚部为－的虚数可以表示为m－i（m∈R），有无数个，故B正确；根据复数的分类，C正确；两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D正确. 13.－7　解析：由题知cos θ－＝0，sin θ－≠0，∴cos θ＝，sin θ＝－，∴tan θ＝－，则tan＝＝－7. 14.解：（1）∵x，y∈R，∴由复数相等的定义， 得解得 （2）∵x∈R，∴由复数相等的定义， 得 即 ∴x＝3. 15.B　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即解得∴z＝3－i. 16.解：（1）∵z1为纯虚数， 则解得m＝－2. （2）由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin＝2，当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $