第6章 2 直观图(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦直观图核心知识点，系统梳理斜二测画法绘制水平放置平面图形及简单空间图形（长方体、圆柱等）的步骤，构建从画法原理到直观图还原与计算的学习支架。 资料以皮影戏情境引入，激发学习兴趣，通过思考题、分题型例题及通性通法总结，培养直观想象与数学思维，课中助力教师高效授课，课后学生可借助跟踪训练与母题探究巩固知识，弥补薄弱环节。

§2　直观图 课标要求 1.能用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图（直观想象）. 2.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图（直观想象）. 　　皮影戏，旧称“影子戏”或“灯影戏”，是一种用灯光照射兽皮或纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏剧.表演时，艺人们在白色幕布后面，一边操纵戏曲人物，一边用当地流行的曲调唱述故事，同时配以打击乐器和弦乐，具有浓厚的乡土气息.千百年来，这门古老的艺术，伴随着祖祖辈辈的人们，度过了许多欢乐的时光. 【问题】　皮影戏中的这个“影”是什么投影？画几何体的直观图与皮影戏中形成的“影”原理一样吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　斜二测画法 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2.用斜二测画法画多面体的直观图的步骤 （1）在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝　　　　，且∠yOz＝　　　　； （2）画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝　　　　（或　　　　），∠x'O'z'＝90°.x'O'y'所确定的平面表示　　　　平面； （3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于　　　　轴、　　　轴或　　　轴的线段； （4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度　　　　；平行于y轴的线段长度为原来的　　　　； （5）擦去辅助线，并将被遮线画成虚线. 【想一想】 1.用斜二测画法画出的互相垂直的两条直线的直观图是否仍然互相垂直？ 2.两条相交直线的直观图可能平行吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.（　　） （2）正方体的直观图仍然是正方形.（　　） （3）在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.（　　） （4）在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.（　　） 2.若把一个高为10 cm的棱柱的底面画在x'O'y'平面上，则棱柱的高应画成（　　） A.平行于z'轴且大小为10 cm B.平行于z'轴且大小为5 cm C.与z'轴成45°且大小为10 cm D.与z'轴成45°且大小为5 cm 3.如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'＝3，O'R'＝1，则原四边形OPQR的周长为　　　　. 题型一｜水平放置的平面图形的直观图 【例1】　如图，画出水平放置的等腰梯形的直观图. 尝试解答 画水平放置的平面图形的直观图的技巧 （1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点； （2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段. 【跟踪训练】 用斜二测画法画出如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图. 题型二｜空间几何体的直观图的画法 【例2】　用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm，下底面边长为2 cm，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为2 cm的正四棱台. 尝试解答 通性通法 画空间图形的直观图的原则 （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直； （2）作空间图形的直观图时，平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变； （3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的一半； （4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变. 【跟踪训练】 　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图. 题型三｜直观图的还原与计算 【例3】　（1）如图，Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'＝，则这个平面图形的面积是（　　） A.1　　　　　　　　 B. C.2 D.4 （2）如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积. 尝试解答 【母题探究】 （变条件，变设问）本例（1）若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A'B'C'的面积”，应如何求？ 通性通法 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝S或S＝2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积. 【跟踪训练】如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6 cm，O'C'＝2 cm，C'D'＝2 cm，则原图形是（　　） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形 1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A'＝（　　） A.45° B.135° C.90° D.45°或135° 2.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'，则以下说法正确的是（　　） A.△ABC是钝角三角形 B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是等边三角形 3.如果一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　） A.2＋ B. C. D.1＋ 4.〔多选〕关于斜二测画法所得直观图，以下说法不正确的是（　　） A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形 5.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A'C'＝3，B'C'＝2，则AB边上的中线的实际长度为　　　　. 提示：完成课后作业　第六章　§2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　直观图 【基础落实】 知识点 1.45°　135°　水平平面　x'轴或y'轴的线段　长度　2.（1）90°　90°　（2）45°　135°　水平　（3）x'　y'　z'　（4）不变　一半 想一想 1.提示：互相垂直的两条直线的直观图不再垂直，其夹角为45°. 2.提示：不可能，相交直线的直观图仍然是相交直线. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 2.A　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故选A. 3.10　解析：由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10. 【典例研析】 【例1】　解：（1）如图，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. （2）以点O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD. （3）连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 跟踪训练 　解：（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. （2）画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°. 在x'轴上截取O'B'＝O'C'＝OB＝OC＝2 cm，在y'轴上取O'A'＝OA，连接A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为正△ABC的直观图，如图②所示. 【例2】　解：（1）画轴.如图①所示，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画下底面.在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图ABCD. （3）画上底面.在Oz上截取OO'＝2 cm，过O'分别作平行于轴Ox，轴Oy的轴O'x'，轴O'y'，在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面直观图的方法画出边长为1 cm的正四棱台的上底面的直观图A'B'C'D'. （4）依次连接AA'，BB'，CC'，DD'，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到正四棱台的直观图，如图②所示. 跟踪训练 　解：（1）画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图. （2）画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. （3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高. （4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图. 【例3】　（1）C　由题图知，△OAB为直角三角形.∵O'B'＝，∴A'B'＝，O'A'＝2.∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝2.故选C. （2）解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2. ∴面积为S＝×2＝5. 母题探究 解：由斜二测画法规则可知，直观图△A'B'C'一底边上的高为a××＝a， 所以S△A'B'C'＝×a×a＝a2. 跟踪训练 C　如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O'D'＝2×2＝4（cm），CD＝C'D'＝2 cm， 所以OC＝＝＝6（cm）， 所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形. 随堂检测 1.D　因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，所以∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x'O'y'＝45°或135°，即∠A'＝45°或135°. 2.C　因为O'C'＝O'A'＝2O'B'，由斜二测画法的直观图知，原图形如图，所以原图形△ABC中，OC＝OA＝OB，所以点B在以O为圆心，AC为直径的圆上，所以△ABC是等腰直角三角形. 3.A　画出其相应平面图易求，故选A. 4.ACD　由斜二测画法规则可知，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，故A错误；正方形的直观图为平行四边形，故B正确；梯形的直观图依旧是梯形，故C错误；正三角形的直观图不是等腰三角形，故D错误. 5.　解析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A'C'＝3，BC＝2B'C'＝4，计算得AB＝5，所求中线长为. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $