第6章 2 直观图(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦“直观图”核心知识点，以斜二测画法为核心，从皮影戏实例引入，系统梳理水平放置平面图形、简单空间图形直观图的绘制步骤，以及直观图与原图形的还原计算，构建“生活情境-原理步骤-应用实践”的学习支架。 资料以皮影戏激发兴趣，培养用数学眼光观察现实世界，通过分步讲解与题型训练发展数学思维，强化直观想象素养。课中助教师高效授课，课后练习题与跟踪训练帮助学生巩固，查漏补缺，提升空间图形转化能力。

§2　直观图 课标要求 1.能用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图（直观想象）. 2.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图（直观想象）. 　　皮影戏，旧称“影子戏”或“灯影戏”，是一种用灯光照射兽皮或纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏剧.表演时，艺人们在白色幕布后面，一边操纵戏曲人物，一边用当地流行的曲调唱述故事，同时配以打击乐器和弦乐，具有浓厚的乡土气息.千百年来，这门古老的艺术，伴随着祖祖辈辈的人们，度过了许多欢乐的时光. 【问题】　皮影戏中的这个“影”是什么投影？画几何体的直观图与皮影戏中形成的“影”原理一样吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　斜二测画法 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2.用斜二测画法画多面体的直观图的步骤 （1）在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝　90°　，且∠yOz＝　90°　； （2）画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝　45°　（或　135°　），∠x'O'z'＝90°.x'O'y'所确定的平面表示　水平　平面； （3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于　x'　轴、　y'　轴或　z'　轴的线段； （4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度　不变　；平行于y轴的线段长度为原来的　一半　； （5）擦去辅助线，并将被遮线画成虚线. 【想一想】 1.用斜二测画法画出的互相垂直的两条直线的直观图是否仍然互相垂直？ 提示：互相垂直的两条直线的直观图不再垂直，其夹角为45°. 2.两条相交直线的直观图可能平行吗？ 提示：不可能，相交直线的直观图仍然是相交直线. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.（　×　） （2）正方体的直观图仍然是正方形.（　×　） （3）在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.（　√　） （4）在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.（　×　） 2.若把一个高为10 cm的棱柱的底面画在x'O'y'平面上，则棱柱的高应画成（　　） A.平行于z'轴且大小为10 cm B.平行于z'轴且大小为5 cm C.与z'轴成45°且大小为10 cm D.与z'轴成45°且大小为5 cm 解析：A　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故选A. 3.如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'＝3，O'R'＝1，则原四边形OPQR的周长为10. 解析：由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10. 题型一｜水平放置的平面图形的直观图 【例1】　如图，画出水平放置的等腰梯形的直观图. 解：（1）如图，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. （2）以点O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD. （3）连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 通性通法 画水平放置的平面图形的直观图的技巧 （1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点； （2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段. 【跟踪训练】 用斜二测画法画出如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图. 解：（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. （2）画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°. 在x'轴上截取O'B'＝O'C'＝OB＝OC＝2 cm， 在y'轴上取O'A'＝OA，连接A'B'，A'C'， 则△A'B'C'即为正△ABC的直观图，如图②所示. 题型二｜空间几何体的直观图的画法 【例2】　用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm，下底面边长为2 cm，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为2 cm的正四棱台. 解：（1）画轴.如图①所示，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画下底面.在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图ABCD. （3）画上底面.在Oz上截取OO'＝2 cm，过O'分别作平行于轴Ox，轴Oy的轴O'x'，轴O'y'，在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面直观图的方法画出边长为1 cm的正四棱台的上底面的直观图A'B'C'D'. （4）依次连接AA'，BB'，CC'，DD'，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到正四棱台的直观图，如图②所示. 通性通法 画空间图形的直观图的原则 （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直； （2）作空间图形的直观图时，平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变； （3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的一半； （4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变. 【跟踪训练】 　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图. 解：（1）画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图. （2）画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. （3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高. （4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图. 题型三｜直观图的还原与计算 【例3】　（1）如图，Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'＝，则这个平面图形的面积是（　　） A.1　　　　　　　　　 B. C.2 D.4 解析：C　由题图知，△OAB为直角三角形. ∵O'B'＝， ∴A'B'＝，O'A'＝2.∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4， ∴S△OAB＝××4＝2.故选C. （2）如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积. 解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2. ∴面积为S＝×2＝5. 【母题探究】 （变条件，变设问）本例（1）若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A'B'C'的面积”，应如何求？ 解：由斜二测画法规则可知， 直观图△A'B'C'一底边上的高为 a××＝a， 所以S△A'B'C'＝×a×a＝a2. 通性通法 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝S或S＝2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积. 【跟踪训练】 如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6 cm，O'C'＝2 cm，C'D'＝2 cm，则原图形是（　　） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形 解析：C　如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O'D'＝2×2＝4（cm），CD＝C'D'＝2 cm，所以OC＝＝＝6（cm），所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形. 1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A'＝（　　） A.45° B.135° C.90° D.45°或135° 解析：D　因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，所以∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x'O'y'＝45°或135°，即∠A'＝45°或135°. 2.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'，则以下说法正确的是（　　） A.△ABC是钝角三角形 B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是等边三角形 解析：C　因为O'C'＝O'A'＝2O'B'，由斜二测画法的直观图知，原图形如图，所以原图形△ABC中，OC＝OA＝OB，所以点B在以O为圆心，AC为直径的圆上，所以△ABC是等腰直角三角形. 3.如果一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　） A.2＋ B. C. D.1＋ 解析：A　画出其相应平面图易求，故选A. 4.〔多选〕关于斜二测画法所得直观图，以下说法不正确的是（　　） A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形 解析：ACD　由斜二测画法规则可知，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，故A错误；正方形的直观图为平行四边形，故B正确；梯形的直观图依旧是梯形，故C错误；正三角形的直观图不是等腰三角形，故D错误. 5.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A'C'＝3，B'C'＝2，则AB边上的中线的实际长度为. 解析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A'C'＝3，BC＝2B'C'＝4，计算得AB＝5，所求中线长为. 1.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　） 解析：C　根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C. 2.如图，正方形O'A'B'C'的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长为（　　） A.8 cm B.6 cm C.2（1＋）cm D.2（1＋）cm 解析：A　将直观图还原为平面图形，如图所示.OB＝2O'B'＝2，OA＝O'A'＝1，所以AB＝＝3，所以原图形的周长为8 cm. 3.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A.4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B.4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm C.4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D.2 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm 解析：C　由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm. 4.用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：C　正三角形的边长为2，则按照斜二测画法作出它的直观图，有＝.又正三角形的面积为×sin 60°×22＝，所以直观图的面积为×＝.故选C. 5.〔多选〕对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是（　　） A.三角形的直观图仍然是一个三角形 B.90°的角的直观图会变为45°的角 C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 解析：ACD　对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C、D显然正确. 6.〔多选〕在如图所示的水平放置的三角形的直观图中，D'是△A'B'C'中B'C'边的中点，且A'D'∥y'轴，那么在原平面图形△ABC中（　　） A.AB与AC相等 B.AD的长度大于AC的长度 C.AB的长度大于AD的长度 D.BC的长度大于AD的长度 解析：AC　因为A'D'∥y'轴，由斜二测画法知在原图形中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则在线段AB，AD，AC中，AB，AC相等且最长，AD最短.在直观图中，易知C'D'＜A'D'，B'D'＜A'D'，所以B'C'＜2A'D'，即BC的长度小于AD的长度. 7.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C'，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形OABC的面积为3，则O'A'的长为. 解析：法一　画出原平面图形OABC，如图，其中OA＝O'A'，BC＝B'C'，故BC＝OA，OB＝2O'B'＝2O'A'＝2OA.设BC＝x，则OA＝2x，OB＝4x，则原平面图形OABC的面积为（BC＋OA）·OB＝6x2＝3，解得x＝，故O'A'＝2x＝. 法二　由题得S四边形OABC＝3，则S四边形O'A'B'C'＝S四边形OABC＝.在直角三角形O'A'B'中，∠B'O'A'＝45°，所以O'A'＝A'B'.设O'A'＝x，则A'B'＝x，B'C'＝，因为四边形O'A'B'C'是直角梯形，所以S四边形O'A'B'C'＝（x＋）x＝，解得x＝，故O'A'的长为. 8.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中D'是A'C'的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有2条. 解析：△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD.所以与BD的长相等的线段有2条. 9.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是16. 解析：由题图可知O'B'＝4，则对应△AOB中，OB＝4.又和y'轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB边OB上的高为8.所以△AOB的面积为×4×8＝16. 10.画出水平放置的四边形OBCD（如图所示）的直观图. 解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x'轴，y'轴，使∠x'O'y'＝45°，如图②所示. （2）如图②所示，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'轴上取一点D'，使得O'D'＝OD；过点E'作E'C'∥y'轴，使E'C'＝EC. （3）连接B'C'，C'D'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图. 11.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（　　） A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm 解析：D　由题意可知其直观图如图，由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D. 12.如图，等腰Rt△ABC，Rt△A'B'C'分别为两个水平放置的平面图形a，b的直观图，若记平面图形a的周长为l1，面积为S1，平面图形b的周长为l2，面积为S2，则（　　） A.l1＞l2，S1＞S2 B.l1＞l2，S1＝S2 C.l1＜l2，S1＜S2 D.l1＜l2，S1＝S2 解析：D　将△ABC，△A'B'C'还原成原平面图形，如图，计算得l1＝2＋＋，S1＝，l2＝4＋2，S2＝，比较可得选项D正确. 13.已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18，则原正方形的面积为72. 解析：如图所示，作出正方形OABC的直观图O'A'B'C'，作C'D'⊥x'轴于点D'. S直观图＝O'A'×C'D'.又S正方形＝OC×OA.所以＝，又在Rt△O'D'C'中，O'C'＝C'D'，即C'D'＝O'C'，结合平面图与直观图的关系可知OA＝O'A'，OC＝2O'C'，所以＝＝＝2.又S直观图＝18，所以S正方形＝2×18＝72. 14.如图是一个边长为1的正方形A'B'C'D'，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的原图形并求出其面积. 解：四边形ABCD的原图形如图所示， 因为A'C'在水平位置，四边形A'B'C'D'为正方形， 所以∠D'A'C'＝∠A'C'B'＝45°， 所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC， 因为AD＝2D'A'＝2，AC＝A'C'＝， 所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2. 15.〔多选〕如图所示的正△A'B'C'为△ABC的直观图，且A'B'＝2，则下列说法正确的是（　　） A.△ABC为钝角三角形 B.△ABC的周长大于12 C.△ABC的面积为2 D.tan∠ACB＝ 解析：ABC　如图，过点C'作∠C'D'B'＝45°，交A'B'的反向延长线于点D'，故△ABC为钝角三角形.因为等边三角形的高为，故△ABC的高CD＝×2＝2，故△ABC的面积为2.若高在AB的中垂线上，△ABE的周长恰好为2＋2＝12，故△ABC的周长大于12，tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，tan∠ACB＝＝. 16.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高（两底面圆心连线的长度）为4 cm，圆锥的高（顶点与底面圆心连线的长度）为3 cm，画出此几何体的直观图. 解：（1）画轴.如图①所示，画x轴，z轴，使∠xOz＝90°. （2）画圆柱的下底面.在x轴上取A，B两点，使AB＝3 cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面. （3）画圆柱的上底面.在Oz上截取OO'＝4 cm，过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面. （4）画圆锥的顶点.在Oz上取点P，使PO'＝3 cm. （5）成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到此几何体的直观图，如图②所示. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $