第5章 3.1 复数的三角表示式 3.2 复数乘除运算的几何意义(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦复数的三角表示式及乘除运算的几何意义，从复数几何意义切入，构建代数表示与三角表示的联系，系统讲解辐角、三角形式、辐角主值等概念，进而阐述乘除运算的法则及几何意义，形成完整知识支架。 该资料以问题驱动学习，如通过复数z=1+i引导学生探究模、辐角与实部虚部的关系，培养数学抽象。题型分类清晰，包含形式转化、运算及几何意义应用等，结合跟踪训练强化数学运算与直观想象，课中助力教师引导学生构建知识，课后帮助学生巩固查漏。

3.1　复数的三角表示式　3.2　复数乘除运算的几何意义　　 课标要求 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系（数学抽象）. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（直观想象、数学运算）. 　　 设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z. 【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量； （2）记r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的三角形式 1.辐角 以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的辐角. 2.复数的三角形式 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的三角形式为z＝　　　　　　，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝. 3.辐角的主值：将满足条件　　　　　的辐角值，称为辐角的主值，记作　　　　.当a＞0时，arg a＝0，arg（－a）＝π，arg（ai）＝，arg（－ai）＝π. 【想一想】 1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）的辐角唯一吗？ 2.复数0的辐角是多少，辐角主值是多少？ 知识点二　复数三角形式乘除运算及几何意义 1.复数三角形式的乘法法则及几何意义 （1）乘法法则：r1（cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2）＝　　　　　　　　.这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和. （2）几何意义：如图，两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应的向量，，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2（若θ2＜0，就要把绕原点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示复数z1·z2的乘积. 2.复数三角形式的除法法则 ＝　　　　　　　　　，这就是说，两个复数相除，商的模等于　　　的模除以　　　　的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 【想一想】 在进行复数三角形式乘除运算时，其辐角一定是辐角主值吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任意一个复数都有三角形式.（　　） （2）复数的三角形式也可以进行四则运算.（　　） （3）任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整数倍.（　　） （4）arg（z1z2）＝arg（z1）＋arg（z2）.（　　） 2.×＝（　　） A.1 B.－1 C.i D.－i 3.当a＜0时，arg（ai）＝　　　　　　，arg a＝　　　　. 　　 题型一｜复数的代数形式化为三角形式 【例1】　将下列复数代数形式化成三角形式： （1）－i； （2）－1－i. 尝试解答 通性通法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 （1）先求复数的模； （2）确定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 【跟踪训练】 1.下列复数是复数三角形式表示的是（　　） A. B.－ C. D.cosπ＋isinπ 2.将复数的三角形式转化为代数形式. 题型二｜复数的三角形式化为代数形式 【例2】　复数z＝化为代数形式为（　　） A.＋ i B.－＋ i C.－－ i D.－ i 尝试解答 通性通法 　　将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式z＝r（cos A＋isin A），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A. 【跟踪训练】 复数的代数形式为　　　　. 题型三｜复数三角形式的乘、除运算 【例3】　计算： （1）2×； （2）. 尝试解答 通性通法 　　在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示. 【跟踪训练】 1.计算：. 2.已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值. 题型四｜复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例4】　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数. 尝试解答 通性通法 利用复数三角形式的几何意义求积、商的步骤 （1）先画出两个复数z1，z2对应的向量，； （2）求积（商）的幅角：把向量，绕点O按逆时针方向旋转θ2（θ2＜0时，则按顺时针方向旋转｜θ2｜）； （3）求积（商）的模：积的模为r1r2，商的模为； （4）z1·z2＝r1·r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]；＝[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]. 【跟踪训练】 在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数. 1.复数1－i的辐角的主值是（　　） A.π　　B.π　　C.π　　D. 2.复数（cos 10°＋isin 10°）（cos 20°＋isin 20°）的三角形式是（　　） A.sin 30°＋icos 30° B.cos 160°＋isin 160° C.cos 30°＋isin 30° D.sin 160°＋icos 160° 3.设z＝－i，对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为　　　　. 4.＝　　　　. 提示：完成课后作业　第五章　*§3　3.1　3.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ *§3　复数的三角表示 3.1　复数的三角表示式 3.2　复数乘除运算的几何意义 【基础落实】 知识点一 2.r（cos θ＋isin θ）　3.0≤θ＜2π　arg z 想一想 1.提示：z的辐角有无穷多个值，这些值相差2π的整数倍. 2.提示：0的辐角是任意角，辐角主值是[0，2π）内任一角. 知识点二 1.（1）r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）] 2.[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]　被除数　除数 想一想 提示：不一定.辐角θ可以是辐角主值也可以是其他辐角. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 2.C　×＝cos＋isin ＝cos ＋isin ＝i.故选C. 3.　π 【典例研析】 【例1】　解：（1）r＝＝2，所以cos θ＝， 对应的点在第四象限，所以arg（－i）＝，故－i＝2. （2）r＝＝， 所以cos θ＝－， 对应的点在第三象限，所以arg（－1－i）＝， 故－1－i＝. 跟踪训练 1.D　选项A，cos与isin之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－＜0不符合r≥0的要求；选项C，是isinπ与cosπ用“＋”连接而不是icos＋sinπ的形式.故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D. 2.解： ＝［cos＋isin（π＋π）］ ＝ ＝＝1－i. 【例2】　D　z＝ ＝sin＋i ＝×＋×i＝－i. 跟踪训练 　1－i　解析： ＝［cos（π＋π）＋isin（π＋π）］ ＝ ＝＝1－i. 【例3】　解：（1）2× ＝2＝－2i. （2）原式＝3[cos（160°－25°）＋isin（160°－25°）]＝3（cos 135°＋isin 135°）＝3 ＝－3＋3i. 跟踪训练 1.解： ＝ ＝4（cos 60°＋isin 60°）＝2＋2i. 2.解：∵z1＝4＋4i＝4， z2＝－1－i＝， ∴z1z2＝4（cos＋isin）× ［（cos＋isin）］ ＝8 ＝8， ∴θ1＋θ2＝. 【例4】　解：因为3－i＝2 ＝2. 所以2× ＝2 ＝2 ＝2＝3＋i， 2（cosπ＋isin π）× ［cos（－）＋isin（－）］ ＝2 ＝2＝－2i. 故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i. 跟踪训练 解：＋i＝， 由题意得（cos ＋isin ）× ［2（cos ＋isin ）］ ＝×2 ＝3＝3i， 即与所得向量对应的复数为3i. 随堂检测 1.A　因为1－i＝2＝2（cos π＋isin π），所以1－i辐角的主值为π. 2.C　（cos 10°＋isin 10°）（cos 20°＋isin 20°） ＝cos 30°＋isin 30°.故选C. 3.2　解析：根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：（－i）（cos 30°＋isin 30°）＝（－i）（＋i）＝2. 4.＋i　解析：＝cos（75°－15°）＋isin（75°－15°）＝cos 60°＋isin 60°＝＋i. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $