第5章 3.1 复数的三角表示式 3.2 复数乘除运算的几何意义(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

3.1　复数的三角表示式　3.2　复数乘除运算的几何意义 1.如果非零复数有一个辐角为－，那么该复数的（　　） A.辐角唯一 B.辐角主值唯一 C.辐角主值为－ D.辐角主值为 2.将复数4［cos（－）＋isin（－）］化成代数形式，正确的是（　　） A.4 B.－4 C.4i D.－4i 3.复数（sin 10°＋icos 10°）3的三角形式为（　　） A.sin 30°＋icos 30° B.cos 240°＋isin 240° C.cos 30°＋isin 30° D.sin 240°＋icos 240° 4.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（　　） A.＋i B.－＋i C.－－i D.－i 5.＝（　　） A.＋i B.－i C.＋i D.－i 6.〔多选〕设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，则（　　） A.p⇒q B.pq C.q⇒p D.qp 7.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z＝　　　　. 8.在复平面内，将复数＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数为　　　　. 9.计算＝　　　　. 10.计算： （1）2×； （2）. 11.如果θ∈，那么复数（1＋i）（cos θ＋isin θ）的辐角的主值是（　　） A.θ＋ B.θ＋ C.θ－ D.θ＋ 12.（cos ＋isin ）n＝cos －isin ，则n＝（　　） A.3 B.12 C.6k－1（k∈Z） D.6k＋1（k∈Z） 13.复数z＝（a＋i）2的辐角主值为，则实数a＝　　　　. 14.若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足＝z1z3且z2＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3. 15.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为　　　　. 16.已知非零复数z满足｜z－i｜＝1，且arg z＝θ，求： （1）θ的取值范围； （2）复数z的模（用θ表示）； （3）复数z2－zi的辐角. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ *§3　复数的三角表示 3.1　复数的三角表示式 3.2　复数乘除运算的几何意义 1.B　一个复数有无数个辐角，它们之间相差2kπ，k∈Z，A错，D错；∵辐角主值的范围是[0，2π），∴任何一个复数都有唯一的辐角主值，B对，C错，故选B. 2.D　4［cos（－）＋isin（－）］＝4[0＋i·（－1）]＝－4i，故选D. 3.B　（sin 10°＋icos 10°）3＝（cos 80°＋isin 80°）3＝cos 240°＋isin 240°. 4.A　i＝cos ＋isin ，将绕原点按顺时针方向旋转得到＝cos ＋isin ＝＋i. 5.B　＝＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i.故选B. 6.AD　当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故p⇒q，qp.故选A、D. 7.1＋i　解析：由题意知，z＝2＝1＋i. 8.－1＋i　解析：由题意知，（＋i）×（cos 90°＋isin 90°）＝2（cos 30°＋isin 30°）×（cos 90°＋isin 90°）＝2（cos 120°＋isin 120°）＝－1＋i.即所得向量对应的复数为－1＋i. 9.＋i　解析：＝cos（40°－10°）＋isin（40°－10°）＝cos 30°＋isin 30°＝＋i. 10.解：（1）原式＝2×［cos（＋π）＋isin（＋π）］ ＝＝－＋i. （2）原式＝ ＝2 ＝2＝－2i. 11.B　（1＋i）（cos θ＋isin θ）＝·（cos θ＋isin θ）＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］，∵θ∈，∴θ＋∈，∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B. 12.C　由题意，得（cos ＋isin ）n＝cos ＋isin ＝cos －isin ，由复数相等的定义，得解得＝2kπ－（k∈Z），∴n＝6k－1（k∈Z）. 13.－1　解析：由于复数z的辐角主值为， 故z＝r（cos＋isin）＝－ir， 又z＝（a＋i）2＝a2－1＋2ai， 所以a2－1＋2ai＝－ir， 所以a2－1＝0，2a＝－r，故a＝－1. 14.解：设z1＝cos α＋isin α， z2＝cos β＋isin β， z3＝cos γ＋isin γ， 则由z2＋iz3－i＝0， 可得 利用cos2β＋sin2β＝1， 解得所以z3＝. 当z3＝时， z2＝－i（z3－1）＝，z1＝＝1； 当z3＝时， z2＝－i（z3－1）＝，z1＝＝1. 15.2＋i　解析：∵A，B所表示的复数分别是＋i和2，∴所表示的复数为－i，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为（－i）（cos 60°＋isin 60°）＝＋i，又＝＋，＋i＋＋i＝2＋i，即点C对应的复数是2＋i. 16.解：（1）因为｜z－i｜＝1，所以如图①所示，z的对应点P在以（0，1）为圆心，半径为1的圆上. 又z为非零复数，因此可知，θ∈（0，π）. （2）如图②，在Rt△AOP中，∠OAP＝∠POx＝θ. 又｜OA｜＝2， 易知｜z｜＝｜OP｜＝2sin θ， 当θ为直角或钝角时，仍有｜z｜＝2sin θ， 故｜z｜＝2sin θ. （3）因为｜z－i｜＝1， 所以结合同角三角函数关系， 可设z－i＝cos φ＋isin φ（φ∈R）. 于是z2－zi＝z（z－i）， 注意到z＝2sin θ（cos θ＋isin θ）， z－i＝cos φ＋isin φ， 则知z2－zi＝2sin θ（cos θ＋isin θ）·（cos φ＋isin φ）＝2sin θ[cos（θ＋φ）＋isin（θ＋φ）]. 又cos φ＋isin φ＝z－i ＝2sin θ（cos θ＋isin θ）－i ＝2sin θcos θ＋i（2sin2θ－1） ＝sin 2θ－icos 2θ ＝cos（2θ－）＋isin（2θ－）， 所以φ＝2kπ＋2θ－（k∈Z）. 从而可得θ＋φ＝2kπ＋3θ－（k∈Z）. 故z2－zi的辐角为2kπ＋3θ－（k∈Z）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $