第5章 2.1 复数的加法与减法(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学复数的加法与减法，系统梳理运算法则（代数形式实部虚部分别加减）、运算律（交换律、结合律）及几何意义（向量加法平行四边形法则、减法三角形法则），通过实数加法引入，以问题引导思考运算律，构建从代数到几何的学习支架。 资料突出数学运算与直观想象核心素养，设计“想一想”“判断正误”等互动环节，题型涵盖运算、几何意义及模的最值问题，如例2用平行四边形复数表示强化几何直观，例3结合模的几何意义培养数学思维。课中辅助教师分层教学，课后通过跟踪训练和练习题帮助学生巩固，查漏补缺。

2.1　复数的加法与减法 课标要求 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则（数学运算）. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题（直观想象）. 　　我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律. 【问题】　那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　复数的加法与减法 1.运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）， 则z1＋z2＝　　　　　　　　， z1－z2＝　　　　　　　　. 2.运算律 （1）交换律：z1＋z2＝　　　　； （2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝　　　　　　. 3.几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则z1＋z2对应的向量是　　　　，z1－z2对应的向量是　　　　. 　　提醒：（1）把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可；（2）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则. 【想一想】 1.两个复数的和（差）还是一个复数吗？ 2.在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点.若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则四边形OACB是什么四边形？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个虚数的和或差可能是实数.（　　） （2）在进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.（　　） （3）复数z与共轭复数的差z－的结果只能是实数.（　　） （4）关于复数的减法的结论（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能不成立.（　　） 2.在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（　　） A.－10＋8i B.10－8i C.0 D.10＋8i 3.（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝　　　　. 题型一｜复数加、减法的运算 【例1】　计算： （1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）； （2）＋（2－i）－； （3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2. 尝试解答 通性通法 复数代数形式的加、减法运算的技巧 （1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； （2）算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减； （3）复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 【跟踪训练】 　计算：（1－2i）－（2－3i）＋（3－4i）－（4－5i）＋…＋（2 023－2 024i）－（2 024－2 025i）. 题型二｜复数加、减法的几何意义 【例2】　如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求： （1）所表示的复数，所表示的复数； （2）对角线所表示的复数； （3）对角线所表示的复数及的长度. 尝试解答 通性通法 　　复数z与复平面内的向量是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则. 　　类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算：减去一个复数等于加上这个复数的相反数. 　　若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则d＝＝｜z2－z1｜，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式. 【跟踪训练】 已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数. 题型三｜与复数的和（差）的模有关的计算问题 【例3】　若z∈C且｜z＋3＋4i｜≤2，｜z－1－i｜的最大值和最小值分别为M，m，则M－m＝（　　） A.3 B.4 C.5 D.9 尝试解答 通性通法 1.将｜z＋z0｜（z，z0∈C）可看作｜z－（－z0）｜，即理解为复数z在复平面上对应的点到复数（－z0）在复平面上对应的点的距离，进而复数的和与差形式可互相转化. 2.｜z－z0｜（z，z0∈C）几何意义的应用 （1）判断点的轨迹； （2）利用几何知识解决代数中的最值（范围）问题. 【跟踪训练】 　设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，则｜z1－z2｜＝　　　　. 1.若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝（　　） A.0　　　B.2i　　C.6　　　D.6－2i 2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为（　　） A.2＋8i B.－6－6i C.4－4i D.－4＋2i 4.若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为　　　　. 5.已知i为虚数单位，复数z1＝a＋i，z2＝2－i，且｜z1｜＝｜z2｜，求｜z1－z2｜. 提示：完成课后作业　第五章　§2　2.1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 $2复数的四则运算 2.1复数的加法与减法 【基础落实】 知识点 1.(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i 2.(1)22+21(2)21+(22+23)3.02 ZoZ 想一想 1.提示：由复数加、减运算法则知两个复数的和或差仍然是一个复数. 2.提示：四边形OACB是矩形. 自我诊断 1.(1)√ (2)√(3)×(4)× 2.C0Z1+0Z2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0)，故0Z1+0Z2对应的复数为0. 3.1+9i解析：(2+i)-(6-2i)+(5+6i)=(2-6+5)+(1+2+6)i=1+9i. 【典例研析】 【例1】解：(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1 i. (2)(3+i)+(2-i)-(专-i)=(+2-等)+(3-1+号)i=1+i. (3)21+22=2+3i+(-1+2i)=1+5i,21-22=2+3i-(-1+2i)=3+i. 跟踪训练 解：法-原式=(1-2+3-4+..+2023-2024)+(-2+3-4+5+..-2024+2025)i=- 1012+1012i. 法二(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,.,(2023-2024i)- (2024-2025i)=-1+i. 将上列1012个式子累加可得，原式=1012(-1+i)=-1012+1012i. 【例2】解：(1)因为A0=(0,0)-(3,2)=(-3,-2), 所以A0所表示的复数为一3一2i. 因为B元=Aò，所以B元所表示的复数为-3-2i. (2)因为CA=OA-O元， 1/3 ·独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以CA所表示的复数为(3+2i)-(-2十4i)=5-2i. (3)因为对角线OB=OA+AB=OA+O元， 所以O所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,所以可=V1+62=V37. 跟踪训练 解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以A元=AB+AD,于是AD=AC-AB,而(1+ 4i)-(3+2i)=-2+2i,即AD对应的复数是-2+2i. (2)由于D=AB-AD,而(3+2i)一(-2十2i)=5,所以DB对应的复数是5. 【例3】B因为|z十3十4i|≤2，所以复数z在复平面上对应的点P到1=一3-4i对应的点A 的距离小于或等于2，所以点P在以A(一3，一4)为圆心，半径为2的圆内或圆上，如图.又|z一 1一i|表示点P到复数2=1十i对应的点B的距离，所以该距离的最大值为|AB|+2= V[1-(-3+[1-(4+2=V41+2,最小值为1AB|-2=V41-2,故M-m=4. B(1,1) 跟踪训练 2W3解析：法-设1=1十yi(x1,M∈R),2=x2十y2(2,2∈R)，则由|21|=|2 =2,得x+y=X号+y3=4.因为a十2=十x2十（十2）i=V5+i,所以|a十2|2=（十 3)2+(4+2)2=X经+y1+x3+y3+2x1+2yy=8+2x3+2y2=(V3)2+12=4,所以213 +2=-4,所以1a1-2|=1-+n-)i=√s-为P+y1-y2P =V+y+x3+y3-2xx2-2yy2 =V8+4=2V5 法二设a1=a+bi(a,b∈R),则2=V5-a+(1-b)i, 212=+b2=4, 则2P=5-aP+(1-b=4, |2+b2=4, 即5a+b=2,所以1a-212=(2a-5)2+(2b-1)2=4(a2+b2)-4(5a+b)+4=4 ×4-4×2+4=12,所以|21-2|=2V3, 2/3 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 法三题设可等价转化为向量a,b满足1a|=|b|=2,a十b=(V3,1)，求|a-b|.因为 (a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,所以4+(a-b)2=16,所以|a-b1=25,即1 a-21=2V5 法四设1十2=2=5十i,则z在复平面上对应的点为P(5,1),所以|a1十2|=|z|=2, 由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|1一 1=2×9×2=25 随堂检测 1.D.z+i-3=3-i,∴.z=3-i-i+3=6-2i 2.Cz=22一21=(1-2i)-(2十i)=-1-3i.故z对应的点为(-1，-3)，位于第三象限. 3.CBC=0元-OB=0元-(AB+OA),3+2i-(1+5i-2+i)=4-4i,所以BC表示的复数 为4-4i. 4.9元解析：由条件知|z一i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径的圆，故 其面积为S=9元. 5.解：依题意得Va2+1=V22+（-12，由此解得a=±2. (1)当a=2时，a1=2十i,1-2=(2十i)-(2-i)=2i,故|a1-2|=2. (2)当a=-2时，21=-2十i,21-22 =-2+i-(2-i)=-4+2i, 故1a-2|=25. 由(1)(2)得，121-221=2或11-2|=25. 3/3 ·独家授权侵权必究