第5章 2.1 复数的加法与减法-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§2复数的四则运算 电 2.1复数的加法与减法 错题 本 白题 基础过美 限时：30min 题组1复数的加、减运算 6.*已知名1,2∈C,求证：11811-|2|1≤ 1.★(2025·江西萍乡高一期中)复数(4+i)- |z1+z2|≤|z1|+|z21. (1+5i)的虚部为 ( A.-4 B.4 C.-4i D.4i 2.*(多选)已知复数z在复平面上对应的点的 坐标为(-1,1)，则下列结论错误的是( A.z+1是实数 B.z+1是纯虚数 C.z+i是实数 D.z+i是纯虚数 3.*（2025·浙江杭州高一期中)已知复 数z1=a2-3ai,z2=-a+(a2+2)i,aeR,若z1+z2 为纯虚数，则实数a的值为 题组2复数加、减运算的几何意义 4.*如图所示，在复平面内，复数1,32所对应 的点分别为A,B,则1AB1= 重难聚焦 题组3与复数的模有关的轨迹问题 B 7.**(2025·湖北武汉高一期末)复数z满 足1z+1-i1=Izl,若z在复平面内对应的点 A.z1-1z2I B.1z1|+lz2 为(x,y),则 ( C.1z1-22 D.181+z21 A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 5.（多选)(2025·浙江温州高一月考)在复 C.x+y+1=0 D.x+y-1=0 平面内有一个平行四边形OABC,点O为坐标 8.★(2025·江苏连云港高一期中)已知 原点，点A对应的复数为1=1+i,点B对应的 i为虚数单位，如果复数z满足|z+2i|+ 复数为2=1+2i,点C对应的复数为z3,则下 1z-2il=4,那么1z-11的最小值是( 列结论正确的是 ( A.1 B.√2 A.21-z2=-i C.2 D.5 视频讲解 B.点C位于第二象限 9.**(2025·江西赣州高一月考)复数z满 C.21+23=z2 足1z=1,则1z-2-i的最大值为 D.Iz-31=IACI 第五章黑白题097 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2025·安徽合肥高一期末)已知z+z= 6.★*★ 设i为虚数单位，f(z)=z-3i+|z1, 4,z-2=2i,则复数z在复平面内所对应的点 若a1=-2+4i,2=5-i,则∫(81+ 位于 ( 2)= A.第一象限 B.第二象限 7.*(2025·安徽宣城高一期中)在复平面 C.第三象限 D.第四象限 内，向量0A对应的复数，=1+2i,0A绕点0 2.*(2025·江西萍乡高一期中)已知复 逆时针旋转90°后对应的复数为2，则 数z1=1+2i,2=a+4i(a∈R,i为虚数单位)， 1z1-221= 则“a=2”是“1z1+z2|=lz1|+|z21”的( 8.整(2025·广西柳州高一期末)已知复 A.充分不必要条件 数z1,2,a3在复平面内对应的点分别为A, B.必要不充分条件 B,C,且点A,B,C连接后构成三角形.若复 C.充要条件 数z满足1z-21|=|z-2|=z-231,则z在复平 D.既不充分也不必要条件 面内对应的点为△ABC的 .（填“外 3.(2025·江西南昌高一月考)已知复 心”“重心”或“垂心”) 数名=-3-i,在复平面内，复数z1,2对应的 9.*（2025·广东广州高一月考)已知m∈ 点分别为A,B,且点A与点B关于直线y=x R,复数z1=(m2+m)+(m2-1)i,z2=2m+i. 对称，则1a1+z21= (1)若1-2在复平面内对应的点位于第三 A.42 象限，求m的取值范围； B.2√10 (2)设0为坐标原点，a1,2在复平面内对应 C.22 D.√10 4.*(2025·重庆巴蜀中学高一期中)已知 的点分别为A,B(不与0重合)，若0A· 复数z满足|z-2-4i1=1,当z的虚部取最小 0B=0,求1a1-z21. 值时，2= A.2+3i B.2-3i C.-3+5i D.-3+3i 5.*（多选)(2024·广东深圳高一月考)已 知复数z,=2-2i(i为虚数单位)在复平面内 对应的点为P,复数a2满足Ia2-il=1,则下 列结论正确的是 A.点P1在复平面内的坐标为(2，-2) B.z1=2+2i C.1a1-22I的最大值为√13+1 D.1z1-z21的最小值为√5-1 必修第二册·BS黑白题098为负.已知虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则可得a+b<c+d.由 fatd>b+c,fa+d>b+c, latbcetd-(a+b)>-(crd)atd-(a+b)>b+c-(c+d)=d-b2 b-d,所以d>b.即第二象限点比第四象限点少， 根据条件，无法判断a与b,b与c,a与c的大小关系. 5.D解析：因为a-2b=5,可得1z1=√a2+b2=√5b2+20b+25=√5× √(b+2)2+1.所以当b=-2,a=1时，1z1取得最小值为√5.可得z= 1-2i,此时z在复平面内对应的点的坐标为(1，-2)，位于第四象限. 3 (2a2+3a=0, a=0或a=-2 6.0解析：由1>2，得{a2+a=0,即a=0或a=-1,解得a=0. -4a+1>2a, 1 a<6' 7【。]解斩：由两个复数相等可得0 即4- (4-m2=入+3sin0, 2s2=人+3如0，化简可得A=403加=m4名子 其中血8e[-1,],当血0=令时，A取得最小值A=6 9 9 8 当sim0=-1时，入取得最大值，入ms=7,所以入的取值范围是 [g] 8.5解析：依题意，0Z=(1,3),0Z2=(3,-1),则10Z1=√12+32= √/10,10Z21=√/32+(-1)7=√10，而0Z·0Z=3×1+(-1)×3=0, 则品102.所以△02,2，的面积为子10d121=×v10× √/10=5.故答案为5. 9.解：(1)由复数1=a-2i,2=a+3i且12=21a1, 可得√a2+9=2.√a2+4,即a2+9=2×(a2+4),解得a=±1， 又由2在复平面内所对应的点位于第一象限，所以a>0,故有a=1, (2)由复数12对应的向量分别是0,0店，可得0=(1，-2)，0成= (1,3), 则0月·0B=-5且10A1=12+(-2)2=√5,10B1=√12+32 =10, 因为∠AOB为OA与OB的夹角. 0A.0B -5 可得cos∠AOB= 10i110成15×102 又因为∠A0Be[0,m],所以∠A0B= 4. §2复数的四则运算 2.1复数的加法与减法 白题基础过关 1.A解析：依题意，(4+i)-(1+5i)=3-4i,其虚部为-4. 2.ACD解析：复数z在复平面上对应的点的坐标为(-1,1)，.复 数z=-1+i,z+1=-1+i+1=i是纯虚数，故A项不正确，B项正确； +i=-1+i+i=-1+2i不是实数，也不是纯虚数，故C,D项都不正确： 3.0解析：由题意，31=42-3ai,2=-a+(a2+2)i,所以31+2=a2 3ai-a+(a2+2)i=a2-a+(a2-3a+2)i.因为1+2为纯虚数，所以 (a2-a=0,解得a=0. la2-3a+2≠0， 4.C解析：因为0A-0=B,1与OA对应，2与0对应，所以1A1= 1BA1=lz1-221. 5.ACD解析：对于A,2=1+i-1-2i=-i,故A正确；对于B,由题意 得0(0,0)，A(1,1),B(1,2),因为四边形OABC为平行四边形，则 0元=A店=(0,1)，所以C(0,1),所以=i,点C位于虚轴上，故B错 误；对于C,D,如图，1,2，对应的向量分别为0,0,0元，则O+ 必修第二册·BS 0元=00i-0元=C,即1+3=2，，-3=A1.故C,D正确 41 0 (第5题) (第6题) 6.证明：如图，设复平面上的点乙，乙2是复数1,2所对应的点，向量 0Z,0Z2是复数1,2所对应的向量，1071=1a11,10Z1=121。 当0Z,0Z不共线时，平行四边形0Z2ZZ,对角线所成向量0立= 0Z+0z, 向量0立是复数1+2所对应的向量，…101=31+21， “.在△O21Z中，由“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之 差小于第三边”的性质可得：1z11+121=10Z1+10Z21=10Z1+ 1Z,Z1>1021=l1+21,111-1211=110Z1-10Z211=110Z1- 1Z,Z11<02=1+2l,1l31-211<z1+21<111+a2l,当且仅 当0Z,,0Z,共线且方向相同时，1a1+z21=1z11+|z21, 当且仅当0Z,,0Z2共线且方向相反时，Iz1+2|=11z11-121,综上所 述，1z11-|a211≤1z1+z21≤1a11+|z21 重难聚焦 7.A解析：设z在复平面内对应的点为(x,y),即z=x+yi(x,y∈R),因 为1z+1-i1=|z1,即1(x+1)+(y-1)iI=1x+yi1,可得 √/(x+1)2+(y-1)2=√x2+y2,整理得x-y+1=0. 8.A解析：设-2i,2i,1在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因 为1+2i+1:-2i1=4,且1乙，乙21=4，则复数：对应的点Z的轨迹为线 段Z1Z2,如图所示. O(Z) -2Z 故1z~11的最小值问题可理解为：动点Z在线段Z,乙2上移动，求 1ZZ3的最小值，故只需作Z3乙。⊥乙1乙2，交线段Z乙2于点Z,则 1ZZ。1即为所求的最小值1，故1z-11的最小值是1. 9.√5+1解析：满足Iz=1的复数z所对应的点在以坐标原点为圆心 1为半径的圆上，lz-2-i1的几何意义为z所对应的点到点P(2,1)的 距离，因为10P1=√22+12=√5，所以1z-2-i1的最大值为5+1. 黑题应用提优 1,A解析：设复数z=a+bi,a,b∈R,则共轭复数z=a-i,因为z+ 4,=21,列出方程组a+hi)+(a-1=2a=4,求解该方程组，得 (a+bi)-(a-bi)=2bi=2i, (a=2所以复数：=2+i lb=1. 在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，所以该点在第一象限. 2.C解析：复数a1=1+2i,2=a+4i,则1a1+21=111+121台 √(a+1)2+36=√5+√a2+16台a+8=√/5a2+80,解得a=2,所以 “a=2”是“11+2=la11+2”的充要条件. 3.A解析：因为=-3-i,所以点A(-3,-1).因为点A与点B关于直 线y=x对称，所以B(-1,-3),32=-1-3i,所以1a1+32|=1-4-4i1= √/(-4)2+(-4)2=42. 4.A解析：设：=x+yi(x,y∈R),则z-2-4i=(x-2)+(y-4)i,所 以1z-2-4i1=√/(x-2)2+(y-4)2=1,即(y-4)2=1-(x-2)2,所以 黑白题060 (y-4)2≤1，可得-1≤y-4≤1，解得3≤y≤5，当z的虚部取最小值 时，即y=3,则(x-2)2+(3-4)2=1,解得x=2,故z=2+3i. 5.ABC解析：复数1=2-2i在复平面内对应的点为P1(2,-2), 故A正确； 复数z1=2-2i,所以81=2+2i,故B正确； 设2=x+yi(x,y∈R),则Ia2-il=Ix+yi-il= x2+(y-1)2=1,即复数2在复平面内对应的 点到(0,1)的距离为1，所以2在复平面内对应 的点P2的轨迹为以(0,1)为圆心，以1为半径 的圆，如图， 又112表示的是复数：，和2在复平面内对 应的两点之间的距离，即1PP2. 而IP,P2I的最大值是1P,CI+r= √/(2-0)2+(-2-1)2+1=13+1：1PP21的最 小值是IP,C1-r=√13-1.所以|31-，1的最大值为√I3+1,最小值为 √13-1，故C正确，D错误.故选ABC. 6.3+32解析：由题得1+2=3+3i,f(1+2)=f(3+3i)=3+ 13+3i=3+32.故答案为3+3√2 7.√0解析：由题意可设2=a+i(a<0,b>0),2对应的向量为 (a,b),a1对应的向量为(1,2)，由旋转性质得2和a1模相等，且它 们应的向量垂直则年为化2 2=-2+i,.1-2=(1+2i)-(-2+i)=3+i,l121=√10. 8.外心解析：设x对应点为P,且z-11=z-2=z-31,根据向量减 法的几何意义知IPA1=IPB1=1PC1,即P到三角形三个顶点的距离 相等，所以z在复平面内对应的点为△ABC的外心 9.解：(1)依题意，1-2=(m2-m)+(m2-2)i,而a1-3在复平面内对应 的点位于第三象限，则m-m<0:解得0<m<1,所以m的取值范围 m2-2<0, 为(0,1) (2)依题意，01=(m2+m,m2-1),0成=(2m,1),由0·0=0，得 2(m2+m)+m2-1=(a+1户(2m-1)=0,解得m=号或m=-1. 33 而m=-1时，A(0,0)为原点，不符合题意，因此m=2=44, 1-.所以1=}=是 2.2复数的乘法与除法+ “2.3复数乘法几何意义初探 白题 基础过关 1.A解析：因为(2+i)i=-1+2i,所以1(2+i)i1=1-1+2i1= (-1)2+22=√5. 2.C解析：因为(5+i)2=2+23i,(3+i)3=2(1+3i)(3+i)=81, 因此使得复数（√3+）”为纯虚数的最小自然数n是3. 3.±180解析：因为z·元=1z2,所以20292=20212+b2,所以b2= 20292-20212=(2029+2021)(2029-2021),b2=32400,解得b= ±180. 四重难点拨 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数模的平方 4.B解析：i202(1+2i)=i041(1+2i)=i(1+2i)=-2+i,虚部为1. 四重难点拨 复数乘方运算的周期性：计=1。 202 5.A解析：由题意知x= 因为()所以（）-[（信门 参考答案 i 2号日+则平面 6.B解析：2(2-(2*)4- 5 （与，？)该点位于第二象限 内：对应的点为5,5 7. 3 解析：由=2+i,得2=2-i,所以4=(a+3i)(2+i) 32(2-i)(2+i) 2030+6)1因为为纯虚数，所以2-3=0，即a=子，所以 5 2 a61-号1.所以的虚部为号 5 8.A解析：因为3+2i是关于x的方程x2+px+q=0(P,9∈R)的一个复 数根，所以(3+2i)2+p(3+2i)+q=0,整理得5+3p+q+(12+2p)i=0,而 p,9∈R,故p=-6,q=13. 9.2或-2解析：因为一元二次方程x2+px+5=0的两个虚根1，x2为 共轭虚根，所以可设x1=a+bi,x2=a-bi(其中a,beR,P=-1).所以 由根与系数的关系可得+，24=p, (x1x2=a2+b2=5 而1x1-x21=12bi1=4,解得 b=±2，a=±1. 所以当a=1时，p=-2;当a=-1时，p=2.故实数p的值为2或-2. 10B据折=2i放可得=2.（日）=14-1=4 11.BCD解析：A:设1=a+bi,a,b∈R,由1z11=1,得a2+b2=1,+ atbi=athit a-bi 1=a+bi+ =2a∈R,故A正确： a2+b2 B当=1=受时满足租放B错误： C:当=1+i,2=1-i时，满足2=(1+i)(1-i)=2∈R,但= 2 1+i(1+i)2 1(1-i)(1+)iR,故C错误； D:当a1=1,2=i时，满足+号=0，但1≠±32，故D错误. 12.A解析：因为z2=-8+6i=(3+4i)·2i,即z2=z1·2i,所以复数z1= 3+4i对应的向量为0立1，复平面内对应的点为(3,4)，按逆时针旋转 三，得到对应的点为(-4,3)，对应复数为-4+3，再伸长2信得到点 (-8,6),即得到0Z2: 黑题应用提优 1,A解析：由题意0i=(2,-1),0店=(1,1)，1=2-i,2=1+i.复 数a1·2=(2-i)(1+i)=3+i所对应的点(3,1)位于第一象限. 2.ABD解析：设复数3=x+yi,x,y∈R,且y>0,则云=x-yi,a+= 2x,11=+,由8=1且*+11=0，得2+y21, 解 2x+x2+y2=0. 方程得 √3 所以复数-13 2 +21对于A:+1=0正确： y= 2 1√3 22 (日)（日） 对于B: 13 (÷)) + 2 2 =1,正确： 对于C:z2+z-1= 1315-1=-2,错误： 2222 对肝1(+)x()小（分） ()1=1-1=0，正 3D解析：因为2+1=2-(-1)=2-=(x+i)(x-i),若i,则 z2=-i, 黑白题061