第5章 1.2 复数的几何意义(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦“复数的几何意义”核心知识点，从实数与数轴的对应关系切入，通过问题引导构建复数与复平面内点、向量的一一对应，系统梳理复平面（实轴、虚轴）、复数的模、共轭复数等概念，形成从具体到抽象的学习支架。 该资料以问题驱动激发探究，通过“想一想”环节培养数学眼光观察几何模型，分题型（点的位置、向量运算、模的计算与几何意义、共轭复数）设计例题，渗透逻辑推理与数学运算素养。课中辅助教师讲解通性通法，课后练习助力学生查漏补缺，强化用数学语言表达复数关系的能力。

1.2　复数的几何意义 课标要求 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的对应关系（直观想象、逻辑推理）. 2.掌握实轴、虚轴、模的概念，理解共轭复数的概念（数学抽象）. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法（数学运算）. 　　我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型. 【问题】　（1）你能否为复数找一个几何模型？ （2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的几何意义 1.复平面：通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为　　　　，x轴称为　　　　，y轴称为　　　　　.实轴上的点都表示　　　　　；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 【想一想】 复平面内虚轴上的点表示的复数一定是纯虚数吗？ 知识点二　复数的模与共轭复数 1.复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模，记作　　　或　　　　.由向量模的定义可知，｜z｜＝｜a＋bi｜＝　　　　.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模｜z｜＝＝＝　　　　（a的绝对值）. 2.共轭复数 （1）定义：若两个复数的实部　　　　，而虚部　　　　　　，则称这两个复数互为共轭复数.在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等； （2）表示方法：复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi（a，b∈R），那么＝　　　　. 【想一想】 1.两个复数一般不能比较大小，其模能比较大小吗？ 2.若一个复数的共轭复数是其本身，那么这个复数一定是实数吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）复平面内的点与复数是一一对应的.（　　） （2）复数的模一定是正实数.（　　） （3）若｜z1｜＝｜z2｜，则z1＝z2.（　　） （4）两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.（　　） 2.已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为（　　） A.（0，－1） B.（－1，0） C.（0，0） D.（－1，－1） 3.已知复数z的实部为－1，虚部为2，则｜z｜＝　　　　. 题型一｜复数与复平面内点的关系 【例1】　在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点： （1）在虚轴上； （2）在第二、四象限； 分别求实数m的取值范围. 尝试解答 通性通法 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据； （2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示. 【跟踪训练】 1.已知复数z＝1－2i，则z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（　　） A.（1，－2） B.（1，2） C.（－2，1） D.（－1，－2） 2.已知复数z1＝2－ai（a∈R，i为虚数单位）对应的点在一次函数y＝x＋的图象上，则复数z2＝a＋2i对应的点在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型二｜复数与复平面内向量的对应关系 【例2】　在复平面上，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点. （1）求向量＋，对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数. 尝试解答 通性通法 1.若复数z＝a＋bi（a，b∈R），则复数z在复平面内对应的向量＝（a，b）. 2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得. 3.一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数改变. 【跟踪训练】 　已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是（　　） A.－5＋5i B.5－5i C.5＋5i D.－5－5i 题型三｜复数的模及应用 角度1　复数模的计算 【例3】　复数z1＝sin －icos ，z2＝＋i，试比较｜z1｜与｜z2｜的大小. 尝试解答 通性通法 复数模的求解思路 　　解决复数模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数模的定义求解. 角度2　复数模的几何意义 【例4】　设复数z＝x＋yi（x，y∈R），则满足＜｜z｜≤4的复数z在复平面内对应的点Z（x，y）构成的平面图形的面积为　　　　. 尝试解答 通性通法 　　解决复数模的几何意义的问题，其关键是利用｜z｜表示点Z到原点的距离，根据｜z｜满足的条件判断点Z的集合表示的图形. 【跟踪训练】 已知复数z＝3＋ai，且｜z｜＜4，求实数a的取值范围. 题型四｜共轭复数及应用 【例5】　设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 尝试解答 通性通法 求解此类问题的两个关键点 　　一是会利用定义写出已知复数的共轭复数；二是明确互为共轭的两个复数表示的点的对称关系. 【跟踪训练】 1.〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A.若z是实数，则z＝ B.若z＝，则z＝0 C.若＝－z，则z是纯虚数 D.若z是纯虚数，则＝－z 2.若复数z＝2＋2i，则｜｜＝　　　　. 1.复数z＝－1－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知i为虚数单位，若复数z＝1－i，则｜z｜＝（　　） A.　　　B.2　　　C.4　　　D.8 3.已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则＝（　　） A.2＋i B.2－i C.1＋i D.1－i 4.〔多选〕在复平面内，复数z1＝1－ai（a∈R）对应点Z1满足｜｜＝.点Z与Z1关于x轴对称.则点Z对应的复数z＝（　　） A.1－i B.1＋i C.1－i D.1＋i 5.复数z＝2＋i，则 的虚部是　　　　. 提示：完成课后作业　第五章　§1　1.2 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　复数的几何意义 【基础落实】 知识点一 1.复平面　实轴　虚轴　实数　实数　纯虚数　2.Z（a，b） 想一想 　提示：不一定.虚轴上除了原点外的其它点对应的复数是纯虚数. 知识点二 1.｜z｜　｜a＋bi｜　　｜a｜　2.（1）相等　互为相反数　（2）a－bi 想一想 1.提示：模是实数，可以比较大小. 2.提示：一定是实数.证明如下： 设z＝a＋bi（a，b∈R）， ∵z＝，∴a＋bi＝a－bi，∴b＝－b， ∴b＝0，∴z是实数. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√ 2.A　复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1）.故选A. 3.　解析：由复数的模的定义，得｜z｜＝＝. 【典例研析】 【例1】　解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. （1）由题意得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或4. （2）由题意，（m2－2m－8）（m2＋3m－10）＜0.∴2＜m＜4或－5＜m＜－2. 跟踪训练 1.D　z在复平面内对应的点为（1，－2），关于虚轴对称的点是（－1，－2）.故选D. 2.B　复数z1＝2－ai（a∈R）对应的点的坐标为（2，－a），该点在一次函数y＝x＋的图象上，故－a＝＋，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为（－2，2），在第二象限.故选B. 【例2】　解：（1）由已知得＝（1，4），＝（0，－3），＝（2，0）， 因此＋＝（1，1），＝－＝（1，－4）， 故＋对应的复数为1＋i，对应的复数为1－4i. （2）由已知得＝（1，4），＝（0，－3），＝（2，0）， 所以＝（1，7），＝（2，3）.由平行四边形的性质得＝＋＝（3，10），而＝（0，－3），于是点D（3，7），其对应的复数为3＋7i. 跟踪训练 　B　向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝（2，－3），＝（－3，2）.由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝（2＋3，－3－2）＝（5，－5），根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. 【例3】　解：因为｜z1｜＝｜sin －icos ｜ ＝ ＝＝， ｜z2｜＝｜＋i｜＝＝1， 因为＝＞1，所以｜z1｜＞｜z2｜. 【例4】　13π　解析：＜｜z｜≤4的几何意义为在复平面内复数z对应的动点Z到坐标原点的距离大于且不大于4，因此动点Z（x，y）构成的平面图形是以坐标原点为圆心，半径分别为和4的两个同心圆构成的圆环（不包含半径为的圆的边界），故其面积为π×42－π×（）2＝13π. 跟踪训练 　解：法一　∵z＝3＋ai（a∈R）， ∴｜z｜＝， 由已知得32＋a2＜42， ∴a2＜7，∴a∈（－，）. 法二（利用复数的几何意义）　由｜z｜＜4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，∴线段AB（除去端点）为动点Z的集合.由图可知－＜a＜. 【例5】　C　解析：由z＝－3＋2i，得＝－3－2i，则在复平面内对应的点（－3，－2）位于第三象限，故选C. 跟踪训练 1.AD　设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi.对于A，若z是实数，则b＝0，所以＝a＝z，故A正确；对于B，若z＝，则b＝－b，即b＝0，所以z是实数，故B错误；对于C，若＝－z，得a＝0，z可能是纯虚数，也可能是实数0，故C错误；对于D，若z是纯虚数，则a＝0且b≠0，可得＝－z，故D正确. 2.2　解析：＝2－2i，则｜｜＝＝2. 随堂检测 1.C　z＝－1－2i对应点Z（－1，－2），位于第三象限. 2.B　｜z｜＝＝2.故选B. 3.A　由题意得A（6，－5），B（－2，3），则线段AB的中点C的坐标为（2，－1），其对应的复数z＝2－i，则＝2＋i. 4.CD　由于复数z1＝1－ai（a∈R）对应点Z1满足｜｜＝，所以｜｜＝＝，所以a＝±1，Z1（1，1）或Z1（1，－1），又点Z与Z1关于x轴对称，所以点Z（1，－1）或Z（1，1），所以复数z为1－i或1＋i.故选C、D. 5.－1　解析：因为z＝2＋i，所以＝2－i，所以的虚部是－1. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $