第5章 1.1 复数的概念(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦复数的概念这一核心知识点，通过数系扩充的历史脉络（从自然数到整数、有理数、实数的扩充，解决方程无解问题）引入，系统梳理复数的定义（形如a+bi，a,b∈R）、虚数单位i（i²=-1）、实部虚部、分类及相等条件，搭建完整的知识学习支架。 该资料以问题链驱动数学抽象，如通过“x²=-1无解”引出复数，设置“想一想”“判断正误”等环节培养数学思维，例题与跟踪训练结合强化数学运算。课中助力教师引导概念形成，课后帮助学生巩固辨析，有效提升核心素养。

1.1　复数的概念 课标要求 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程（数学抽象）. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念（数学抽象）. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件（数学运算）. 　　数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 　　因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 　　因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解； 　　因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解. 【问题】　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　复数的有关概念 1.复数的定义 形如　　　　（其中a，b∈R）的数叫作复数，其中i叫作　　　　，满足i2＝　　　　.全体复数构成的集合称为复数集，记作　　　. 2.复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a称为复数z的　　　　，记作Re z，b称为复数z的　　　　，记作Im z. 3.复数的分类 复数a＋bi（a，b∈R） 4.复数相等 两个复数a＋bi与c＋di（a，b，c，d∈R）相等，它们的　　　　相等且　　　　相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当　　　且　　　　. 【想一想】 1.两个复数能比较大小吗？ 2.0是复数吗？能否用a＋bi（a，b∈R）的形式表示？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.（　　） （2）复数i的实部不存在，虚部为0.（　　） （3）bi是纯虚数.（　　） （4）如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.（　　） 2.已知复数z＝a2－（2－b）i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是（　　） A.，1 B.，5 C.±，5 D.±，1 3.已知x－2y＋3＋（x＋y）i＝0，则实数x＝　　　　，y＝　　　　. 题型一｜对复数相关概念的理解 【例1】　〔多选〕下列命题中，错误的是（　　） A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 B.若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n C.在复数z＝x＋yi（x，y∈R）中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D.若a∈R，且a≠0，则（a＋3）i是纯虚数 尝试解答 通性通法 判断与复数概念有关命题真假的注意点 （1）正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系； （2）注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同； （3）注意通过列举反例来说明一些命题为假命题. 【跟踪训练】 下列命题中，正确的是（　　） A.1－ai（a∈R）是一个复数 B.形如a＋bi（b∈R）的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小 D.若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i 题型二｜复数的分类 【例2】　当m为何实数时，复数z＝＋（m2－2m－15）i： （1）是虚数； （2）是纯虚数. 尝试解答 【母题探究】 　（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？ 通性通法 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部； （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可； （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 【跟踪训练】 　若复数（a2－3a＋2）＋（a－1）i是纯虚数，则实数a的值为（　　） A.1　　 B.2　　C.1或2　　D.－1 题型三｜复数相等的充要条件 【例3】　（1）已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值； （2）关于x的方程3x2－x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值. 尝试解答 通性通法 　　两个复数相等，首先要分清两个复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得两个方程，从而可以确定两个独立参数. 【跟踪训练】 1.若a2＋am＋2＋（2a＋m）i＝0（m∈R）成立，则实数a＝　　　　. 2.定义运算｜ac　bd｜＝ad－bc，如果（x＋y）＋（x＋3）i＝，求实数x，y的值. 1.下列命题中正确的是（　　） A.若a∈R，则ai为纯虚数 B.复数－0.5i没有实部，只有虚部－0.5 C.若a，b，c，d∈R且a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d D.x＋yi的实部、虚部分别为x，y 2.设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（　　） A.－1　　　B.1　　　C.5　　　D.7 3.已知a∈R，若复数z＝a2＋2a＋ai是纯虚数，则a＝（　　） A.0 B.2 C.－1 D.－2 4.〔多选〕若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值可以为（　　） A.－1 B.2 C.1 D.－2 5.复数z1＝（2m＋7）＋（m2－2）i，z2＝（m2－8）＋（4m＋3）i，m∈R，若z1＝z2，则m＝　　　　. 提示：完成课后作业　第五章　§1　1.1 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章　复数 §1　复数的概念及其几何意义 1.1　复数的概念 【基础落实】 知识点 1.a＋bi　虚数单位　－1　C　2.实部　虚部　3.实数　纯虚数　非纯虚数　4.实部　虚部　a＝c　b＝d 想一想 1.提示：两个复数若是实数可以比较大小，否则不能比较大小. 2.提示：是复数.因为0∈R且R⫋C，所以0∈C，实数0可以表示成0＋0i的形式，即0的实部和虚部都是0. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 2.C　令得a＝±，b＝5. 3.－1　1　解析：因为x－2y＋3＋（x＋y）i＝0，所以所以 【典例研析】 【例1】　ABD　A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n.C正确，复数z＝x＋yi（x，y∈R）为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数.D错，只有当a∈R，且a≠－3时，（a＋3）i才是纯虚数. 跟踪训练 　A　由复数的定义知A正确；当a∈R，且b＝0时a＋bi（b∈R）表示实数，故B错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C错误；a＋i与b＋i不能比较大小，故D错误. 【例2】　解：（1）当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数. （2）当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 母题探究 解：当 即m＝5时，z是实数. 跟踪训练 　B　根据复数的分类知，需满足解得 即a＝2. 【例3】　解：（1）∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴ 解得或 （2）设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝（10－m－2m2）i， ∴ 解得a＝11或a＝－. 跟踪训练 1.±　解析：由题意得解得或所以a＝±. 2.解：由定义运算｜ac　bd｜＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi， 故有（x＋y）＋（x＋3）i＝3x＋2y＋yi. 因为x，y为实数，所以得 得x＝－1，y＝2. 随堂检测 1.C　当a＝0时，0i＝0，故A不正确；复数－0.5i实部为0，虚部为－0.5，故B不正确，根据复数相等的充要条件知C正确；x＋yi中未标注x，y∈R，故若x，y为复数，则x＋yi的实部、虚部未必是x，y，D不正确. 2.A　由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和为－1.故选A. 3.D　因为z＝a2＋2a＋ai是纯虚数，所以解得a＝－2.故选D. 4.AB　因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2. 5.5　解析：因为m∈R，z1＝z2，所以（2m＋7）＋（m2－2）i＝（m2－8）＋（4m＋3）i.即解得m＝5. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $