第6章 5.2 第2课时 平面与平面垂直的判定-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直的判定定理，通过建筑工人用铅锤线检测墙面与地面垂直的实例导入，衔接线面垂直旧知，借助“想一想”“自我诊断”构建学习支架，帮助学生理解判定定理的形成与应用。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，通过鳖臑、平行推论等模型化例题发展数学思维，分层作业与随堂检测强化数学语言表达。如例1结合四棱锥证线面垂直进而得面面垂直，例2用中位线和平行关系推理，助力学生提升空间观念与推理能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

第二课时　平面与平面垂直的判定 1 1.归纳出平面与平面垂直的判定定理（数学抽象）. 2.会应用面面垂直的判定定理证明与计算（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　建筑工人在砌墙时，为了保证所砌的墙面与地面垂直，经常用一端系 有铅锤的线进行测量检测. 【问题】　这种检测方式的理论依据是什么？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面 垂直 符号语言 l⊂α，l⊥β⇒α⊥β 图形语言 垂线　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 “过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？ 提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂 线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定定理可知这 些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面 垂直的平面. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作 出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化. （　√　） （2）已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，则β⊥γ. （　×　） （3）已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，则β⊥γ. （　√　） √ × √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（　　） A. m⊥n，m∥α，n∥β B. m⊥n，α∩β＝m，n⊂β C. m∥n，n⊥β，m⊂α D. m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是（　　） A. 若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β B. 若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β C. 若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D. 若l⊥β，l⊂α，则α⊥β 解析：A项中缺少了条件l⊂α，故A错误.B项中缺少了条件α⊥β，故B错误.C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误.D项具备了面面垂直 的判定定理中的全部条件，故D正确. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜面面垂直的判定定理的应用 角度1　基于鳖臑模型 【例1】　如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC， DC⊥AC. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （1）求证：DC⊥平面PAC； 证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC. 又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C， 所以DC⊥平面PAC. （2）求证：平面PAB⊥平面PAC. 证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC. 因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB. 又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC. 又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.此类问题考查的是线线、 线面、面面之间垂直关系的相互转化. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　基于平行推论模型 【例2】　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求证： （1）直线PA∥平面DEF； 证明：因为D，E分别为棱PC，AC的中点， 所以DE∥PA. 又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， 所以直线PA∥平面DEF. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）平面BDE⊥平面ABC. 证明：因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8， 所以DE＝ PA＝3，EF＝ BC＝4. 又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又因为PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 又因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 证明面面垂直的一般方法 　　先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通 过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助 线来证明. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝ 2BD，M是EA的中点. 求证：（1）DE＝DA； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：设BD＝a，则CE＝CA＝2a.如图， 过点D作DF∥BC交CE于点F，则CF＝DB＝a. 因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CE，DF⊥CE. 因为EF＝a，BC＝2a， 所以DE＝ ＝ a. 又BD∥CE，所以DB⊥平面ABC，DB⊥AB， 所以DA＝ ＝ a，所以DE＝DA. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）平面BDM⊥平面ECA； 证明：如图所示，取CA的中点N，连接MN，BN，则 MN∥CE∥DB，且MN＝ CE＝DB， 所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN. 因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，所以EC⊥MD. 由（1）知DE＝DA，M为EA的中点，所以MD⊥AE. 因为EC∩AE＝E，EC⊂平面AEC，AE⊂平面AEC，所以 DM⊥平面AEC，又DM⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面 ECA. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）平面DEA⊥平面ECA. 证明：由（2）知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA， 所以平面DEA⊥平面ECA. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜空间垂直关系的综合应用 【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝ 60°，侧面△PAD为等边三角形. （1）求证：AD⊥PB； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图. 因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD. 在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以 BG⊥AD. 又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB. 因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥ 平面ABCD？并证明你的结论. 解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD. 如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中， EF∥PB. 在菱形ABCD中，GB∥DE， 而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E， 所以平面DEF∥平面PGB. 由（1），得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD， 所以平面PGB⊥平面ABCD. 所以平面DEF⊥平面ABCD. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是 孤立的，而是相互关联的. 2. 空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题 时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三线合一、中位 线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目 所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图，三棱锥P-ABC 中，PA⊥平面ABC，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由. 解：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM. 证明如下： 如图，在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N. 在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC， 所以MN⊥AC. 因为BN∩MN＝N，BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN， 所以AC⊥平面MBN， 又BM⊂平面MBN， 所以AC⊥BM. 在Rt△BAN中，AN＝AB· cos ∠BAC＝ ， 从而NC＝AC－AN＝ ， 由MN∥PA，得 ＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 下列命题中正确的是（　　） A. 平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D. 若平面α内的两条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 解析：　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有 可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是（　　） A. α⊥γ，β⊥γ B. α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C. a∥β，a∥α D. a∥α，a⊥β 解析：　选项A、B、C中α，β的位置关系均不固定，D中，∵a∥α， ∴存在直线b∥a，b⊂α.又a⊥β，∴b⊥β，∴α⊥β. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中 点，则下列说法中正确的是 .（填序号） ③ ①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABC⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE. 解析：由AB＝CB，AD＝CD，E为AC的中点知，AC⊥DE，AC⊥BE. 又DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面BDE，从而AC⊥平面BDE，又AC⊂平 面ABC，AC⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平 面BDE，故③正确. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如图，在圆锥PO中，AB是☉O的直径，C是 上的点，D为AC的中点.证明：平面POD⊥平面PAC. 证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中 点，所以AC⊥OD. 又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO. 因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线， 所以AC⊥平面POD. 又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥ 平面PAC. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则l∥β或l⊂β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要条件.∴l∥β是α⊥β的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平 面ABD⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 解析：　如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO， 则AO⊥BD，CO⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，且 平面ABD∩平面BCD＝BD，所以∠AOC＝90°.又AO ＝CO＝ BD＝ ×4 ＝2 ，所以AC2＝AO2＋CO2＝8 ＋8＝16，所以AC＝4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 如图所示，在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐 角三角形，那么必有（　　） A. 平面ABD⊥平面ADC B. 平面ABD⊥平面ABC C. 平面ADC⊥平面BCD D. 平面ABC⊥平面BCD 解析：∵AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD. 故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°， ∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱 锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是（　　） A. 平面ABD⊥平面ABC B. 平面ADC⊥平面BDC C. 平面ABC⊥平面BDC D. 平面ADC⊥平面ABC 解析：　由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平 面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故 AB⊥平面ADC. 又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上 异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（　　） A. PB⊥AC B. PC⊥BC C. AC⊥平面PBC D. 平面PAC⊥平面PBC √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以PA⊥BC，PA⊥AC，又点C是圆周上异于A，B的任一点，所以AC⊥BC，对于A，若PB⊥AC，则可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，故A错误；对于B、D，可知BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，由BC⊂平面PBC可得平面PAC⊥平面PBC，故B、D正确；对于C，由AC与PC不垂直可得AC⊥平面PBC不成立，故C错误.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F 分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是（　　） A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE C. 平面PDF⊥平面PAE D. 平面PDF⊥平面ABC √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，故A中结论正确；因为E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，所以BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，故B中结论正确；因为DF⊂平面 PDF，DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故C中结论正确；假 设平面PDF⊥平面ABC，则由平面PDF∩平面ABC＝DF，AE⊂平面 ABC，AE⊥DF，DF⊂平面PDF，得AE⊥平面PDF，所以AE⊥PD， AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故D中结论不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，与CD垂直的平面有 ⁠ ，与平面DCC1D1垂直的平面有 ⁠ . ⁠ 平面 ADD1A1 ，平面BCC1B1 平面ADD1A1， 平面BCC1B1，平面A1B1C1D1，平面ABCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为长方体的每一表面均为矩形，所以四边形ABCD，CDD1C1均 为矩形，所以有CD⊥BC，CD⊥CC1且CC1∩BC＝C，所以CD⊥平面 BCC1B1，同理CD⊥平面ADD1A1，同理可得长方体中每条棱与和它相交 的平面垂直，所以与平面DCC1D1垂直的平面有：平面ADD1A1，平面 BCC1B1，平面A1B1C1D1，平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知平面α，β，γ.给出下列三个论断：①α⊥β；②α⊥γ；③β∥γ.以 其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命 题： ⁠. 解析：由α⊥β，β∥γ，可得α⊥γ，故①③⇒②，由α⊥γ，β∥γ，可得 α⊥β，故②③⇒①，由α⊥β，α⊥γ，则平面β与平面γ可以平行也可以相 交，故①② ③. ①③⇒②（或②③⇒①） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相 等，M是PC上的一动点，当点M满足 时， 平面MBD⊥平面PCD. （只填写一个你认为正确的条件即可） 解析：连接AC（图略），∵四边形ABCD四边相等，∴AC⊥BD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC， ∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面 PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. DM⊥PC（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方 形，AC与BD交于点O，E为PB的中点. 求证：（1）EO∥平面PDC； 证明：∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点 O，∴O为BD中点. 又E为PB的中点，∴EO∥PD. ∵EO⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴EO∥平面PDC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）平面PAC⊥平面PBD. 证明：∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD. 又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴PD⊥AC. ∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD. 又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 如图所示，直角三角形ABC所在平面垂直于平面α，一条直角边AC在 平面α内，另一条直角边BC长度为 ，且∠BAC＝ ，若平面α上存在点 P，使得△ABP的面积为 ，则线段CP长度的最小值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　在Rt△ABC中，BC＝ ，∠BAC＝ ，则AB＝ .因为平面 ABC⊥平面α，平面ABC∩平面α＝AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，所以 BC⊥平面α，又CP⊂平面α，所以BC⊥CP，得CP＝ ＝ .设∠ABP＝θ（0＜θ＜π），则S△ABP＝ AB·BP sin θ，即 ＝ × ×BP sin θ，得BP＝ ，所以当 sin θ＝1，即θ＝ ， AB⊥BP时，BP取到最小值1，此时CP取到最小值，为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且 有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P-ABCD， PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点.以下四个结论： ①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面 AEF⊥平面PCD. 其中正确的是 ⁠. ②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：如图，因为E，F分别为PB，PD的中点，所以 EF∥BD，在△PBD中，PB＝PD＝BD＝ AB，所以 △PBD为正三角形，则PB与BD的夹角为 ，即PB与EF 的夹角为 ，所以PB不可能与平面AEF垂直，所以①不正 确.由题意可知PA⊥BD，AC⊥BD，又AC∩PA＝A，所 以BD⊥平面PAC，又EF∥BD，所以EF⊥平面PAC，所以②正确.设AC∩BD＝O，连接PO，交EF于M，连接AM，则AM⊥EF，MO⊥EF，所以∠AMO为平面AEF与平面PBD的夹角，不妨令PB＝PD＝BD＝ AB＝2，则AE＝EF＝AF＝1，AO＝1，所以AM＝ ，MO＝ PO＝ × ＝ ，在△AMO中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 由余弦定理的推论得 cos ∠AMO＝ ＝ ＝ ，即平面AEF与平面PBD夹角的余弦值为 ，所以③不正确.由题意知PD⊥AF，CD⊥平面PAD，因为AF⊂平面PAD，所以CD⊥AF，又CD∩PD＝D， 所以AF⊥平面PCD，又AF⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PCD，所以④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC. 则M点的轨迹的长度为 ⁠. π 解析：因为DM⊂平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因 为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可.又点M在 平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆 （不包含D，C）.又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度 为 ＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝3，沿对角线BD把△BCD 折起，使点C移到点C'，且C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上. （1）求证：平面DBC'⊥平面ADC'； 解：证明：C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上， 即BO为BC'在平面ABD上的射影，∴C'O⊥AD， ∵AB⊥AD，C'O∩AB＝O，∴AD⊥平面ABC'， ∴BC'⊥AD，∵BC'⊥C'D，C'D∩AD＝D， ∴BC'⊥平面ADC'，又BC'⊂平面DBC'， ∴平面DBC'⊥平面ADC'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求二面角C'-AD-B的余弦值. 解：由（1）知AD⊥平面C'AB， ∴AD⊥AC'，AD⊥AB， ∴二面角C'-AD-B的平面角是∠C'AB， 又在Rt△ABC'中，AB＝3 ，AC'＝3 ， ∴ cos ∠C'AB＝ ＝ ， ∴二面角C'-AD-B的余弦值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD上一 动点，现将△BEC沿BE折起至△BEF，在平面FBA内作FG⊥AB，G为 垂足.设CE＝s，BG＝t，则下列说法正确的是（　　） A. 若BF⊥平面AEF，则t＝ B. 若AF⊥平面BEF，则s＝ C. 若平面BEF⊥平面ABED，且s＝1，则t＝ D. 若平面AFB⊥平面ABED，且s＝ ，则t＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　对于A，若BF⊥平面AEF，则BF⊥AF，在Rt△AFB 中，AB＝2，BF＝1，则AF＝ ，∠ABF＝60°，又FG⊥ AB，则∠FGB＝90°，所以t＝BG＝BF cos 60°＝ ，A正 确.对于B，若AF⊥平面BEF，则AF⊥BF，AF⊥EF，则 AF＝ ，在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2＝AD2＋DE2，即（ ）2＋s2＝12＋（2－s）2，解得s＝ ，B错误.对于C，如图1，过点F作FH⊥BE，垂足为H，连接HG，因为平面BEF⊥平面ABED，平面BEF∩平面ABED＝BE，所以FH⊥平面ABED，所以FH⊥AB，又AB⊥FG，FG∩FH＝F，所以AB⊥平面FHG，所以AB⊥HG. 因为s＝1，所以在等腰直角三角形EFB中，BH＝ ，又∠ABE＝45°，所以在Rt△BGH中，t＝BG＝BH cos 45°＝ ，C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 对于D，若平面AFB⊥平面ABED，因为平面AFB∩平 面ABED＝AB，AB⊥FG，所以FG⊥平面ABED，所 以FG⊥BE. 如图2，过点F作FH⊥BE，垂足为H， 连接HG，则易得BE⊥平面FGH，所以BE⊥HG. 连 接CH，则有C，H，G三点共线.因为∠CGB＋∠GCB ＝90°，∠EBC＋∠GCB＝90°，所以∠CGB＝∠EBC，所以Rt△CBG∽Rt△ECB，故 ＝ ，又CB＝1，s＝EC＝ ，所以t＝ BG＝ ，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面 ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含 B）. （1）平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说 明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以 AE⊥PB，因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所 以PA⊥BC， 又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB， 又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB， 因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE， 因为PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC， 因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若 ＝λ，λ为何值时？二面角B-AF-E为60°. 解：如图，取AB的中点M，作MN⊥AF交AF于 点N，连接EM，EN， 因为EM为△BPA的中位线，所以EM∥PA，又PA⊥平 面ABCD，F∈线段BC， 故EM⊥平面ABF，EM⊥AF，MN⊥AF，EM∩MN ＝M，故AF⊥平面EMN，所以∠MNE即为二面角B- AF-E的平面角，即∠MNE＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 设BC＝2，则BF＝2λ，因为 ＝ ， 即 ＝ ，所以MN＝ ， 又tan∠MNE＝ ，即 ＝ ，得λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $