第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课标要求 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义（数学抽象、直观想象）. 2.能利用定义解决相关问题（数学运算、直观想象）. 　　如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，按逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒. 【问题】　若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　锐角的正弦函数和余弦函数 　对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P（u，v），过点P向x轴作垂线，垂足为M.在Rt△OMP中，OP＝1，OM＝u，MP＝v，有sin α＝＝＝v，cos α＝＝＝u. 由此可知，对于锐角α来说，点P的　　　是该角的正弦值；点P的　　　　是该角的余弦值.对于每一个锐角α，都有唯一的坐标（u，v）与之对应，在弧度意义下，α∈（ 0，），称v＝　　　　为锐角α的正弦函数，u＝cos α为锐角α的余弦函数. 知识点二　任意角的正弦函数和余弦函数 1.单位圆中的任意角的正弦与余弦函数定义：如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P（u，v），点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，于是在弧度意义下，对于α∈R，称　　　　为任意角α的正弦函数，　　　　为任意角α的余弦函数. 2.任意角的终边上任一点的正弦和余弦函数的定义：设角α终边上除原点外的一点Q（x，y），则sin α＝　　　　，cos α＝　　　　，其中r＝. 【想一想】 1.什么是单位圆？ 2.对于确定的角α，其正弦值与余弦值会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？ 3.根据任意角正弦函数、余弦函数的定义，终边相同的角的正弦函数、余弦函数有何关系？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是第二象限角，且P（u，v）是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－u.（　　） （2）sin α表示sin 与α的乘积.（　　） （3）同一个正弦函数值和余弦函数值分别能找到无数个角与之对应.（　　） （4）设角α终边上的点P（x，y），r＝｜OP｜≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大.（　　） 2.已知角α的终边与单位圆的交点为P，则cos α＝（　　） A.　　B.－　　C.－　　D. 3.已知角α的终边经过点，则sin α＝　　　，cos α＝　　　　. 题型一｜单位圆中三角函数定义的应用 【例1】　在平面直角坐标系内的单位圆中，α＝. （1）画出角α； （2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标； 尝试解答 （3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值. 尝试解答 通性通法 　　首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解. 【跟踪训练】 在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－π. （1）画出角α； （2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标； （3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值. 题型二｜已知角的终边上一点求正、余弦函数值 【例2】　若角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），则sin θ＋cos θ＝　　　　. 尝试解答 通性通法 已知角α终边上一点求正、余弦函数值的方法 （1）若已知角α终边上一点P（x，y）是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sin α＝y，cos α＝x； （2）若已知角α终边上一点P（x，y）（x2＋y2≠0）不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，先求r＝，则sin α＝，cos α＝. 【跟踪训练】 1.已知角α的终边上一点P0（－3，－4），则sin α＝　　　　，cos α＝　　　　. 2.已知角α的终边上一点P（m，），且cos α＝，则m＝　　　　，sin α＝　　　. 题型三｜已知角的终边在某一直线上，求正、余弦函数值 【例3】　已知角α的终边落在直线y＝－x上，求sin α，cos α的值. 尝试解答 通性通法 　　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，应分两种情况处理. 【跟踪训练】 已知角α的终边落在射线y＝2x（x≥0）上，求sin α，cos α的值. 1.已知角α的终边与单位圆交于点（－，－），则sin α＝（　　） A.－　　　　　　 B.－ C. D. 2.已知角α的终边上有一点P（－7，24），则sin α＝（　　） A. B.－ C. D.－ 3.若cos α＝－，且角α的终边经过点P（x，2），则P点的横坐标x＝（　　） A.2　B.±2　 C.－2　 D.－2 4.已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＝　　. 提示：完成课后作业　第一章　§4　4.1 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 【基础落实】 知识点一 纵坐标v　横坐标u　sin α 知识点二 1.v＝sin α　u＝cos α　2.　 想一想 1.提示：单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆. 2.提示：不会.正弦函数、余弦函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标（坐标的比值）为函数值的函数；正弦函数值和余弦函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定. 3.提示：终边相同的角的同一三角函数值相等. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 2.A 3.　－ 【典例研析】 【例1】　解：（1）因为α＝＝2π＋，所以角α的终边与角的终边相同.以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示. （2）由（1）知，点P在第二象限，且在角的终边上，所以点P的坐标为. （3）由（2）及正、余弦函数的定义可得sin ＝，cos ＝－. 跟踪训练 解：（1）因为α＝－π＝－2π－，所以角α的终边与－的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转π，与单位圆交于点P，则角α如图所示. （2）因为α＝－π，所以点P在第四象限.由（1）知，∠AOP＝，过点P作PM⊥x轴于点M， 则在Rt△MOP中，∠OMP＝，∠MOP＝，OP＝1，由直角三角形的边角关系，得OM＝，MP＝， 所以得点P的坐标为. （3）根据正弦、余弦函数的定义，得 sin＝－，cos＝. 【例2】　±　解析：∵角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），∴x＝－4a，y＝3a，r＝5｜a｜.当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝＋＝－；当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝＋＝.故sin θ＋cos θ＝±. 跟踪训练 1.－　－　解析：因为点P0（－3，－4）在角α的终边上，所以x＝－3，y＝－4，则r＝｜OP0｜＝＝5（O为坐标原点），则sin α＝＝－，cos α＝＝－. 2.　　解析：由题意得x＝m，y＝，∴r＝｜OP｜＝，∴cos α＝＝＝，显然m＞0，解得m＝，∴sin α＝＝＝. 【例3】　解：因y＝－x经过第二、第四象限.在第二象限取直线上的一点P0（－1，），则r＝｜OP0｜＝＝2（O为坐标原点），所以sin α＝，cos α＝－； 在第四象限取直线上的一点P1（1，－），则r＝｜OP1｜＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝. 综上，sin α＝，cos α＝－或sin α＝－，cos α＝. 跟踪训练 　解：设点P（a，2a）是角α终边上任意一点，其中a＞0.因为r＝｜OP｜＝＝a（O为坐标原点），所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. 随堂检测 1.B　根据三角函数的定义可知sin α＝y＝－. 2.C　因为角α的终边上有一点P（－7，24），所以sin α＝＝.故选C. 3.D　r＝，由题意得x＜0且＝－，所以x＝－2.故选D. 4.或－　解析：由已知得角α的终边在第一或第三象限，当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取一点P（1，1），则x＝1，y＝1，r＝，所以sin α＝＝＝；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取一点P1（－1，－1），则x＝－1，y＝－1，r＝，所以sin α＝＝＝－.综上可知，sin α＝或sin α＝－. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $