第1章 2.1 角的概念推广 2.2 象限角及其表示(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§2　任意角 2.1　角的概念推广 2.2　象限角及其表示 【基础落实】 知识点一 1.射线　射线OA　射线OB　2.逆时针　顺时针　任何 想一想 1.提示：不是的.虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小（旋转圈数）并没有确定，所以角也就不能确定. 2.提示：角的三要素是顶点、始边、终边. 3.提示：根据射线是否旋转及旋转方向区分. 知识点二 1.x　终边　象限角　坐标轴上　2.{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}　周角的整数倍的和 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 2.B 3.390°　－150°　60° 【典例研析】 【例1】　AD　锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确. 跟踪训练 1.B　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－270°）＝－150°，故选B. 2.－60°，－720°　解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转的，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°. 【例2】　解：（1）设α＝β＋k·360°（k∈Z）， 则β＝－1 910°－k·360°（k∈Z）. 令－1 910°－k·360°≥0， 解得k≤－＝－5. k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°， 于是α＝250°＋（－6）×360°，它是第三象限角. （2）令θ＝250°＋n·360°（n∈Z）， 取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ＜0°的角. 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 故θ＝－110°或θ＝－470°. 跟踪训练 1.A　∵－300°＝60°－360°，－240°＝60°－300°，120°＝60°＋60°，390°＝60°＋330°，∴只有A选项中的角与60°角的终边相同.故选A. 2.解：（1）在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α｜α＝k·360°，k∈Z}. （2）在0°～360°范围内，终边在y＝x（x≥0）上的角有一个45°.故终边在y＝x（x≥0）上的角的集合为{α｜α＝k·360°＋45°，k∈Z}. 【例3】　（1）ABC　（2）A　解析：（1）第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角.故选A、B、C. （2）∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）.∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°（k∈Z）.当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，这表明是第三象限角.∴为第一或第三象限角. 母题探究 　解：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）. ∴k·720°＋180°＜2α＜k·720°＋360°（k∈Z）. ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上. 跟踪训练 1.A　因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°角的终边落在第一象限. 2.{α｜k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z} 解析：观察图形可知，角α的集合是{α｜k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}. 随堂检测 1.D　因为分针转一圈（即1小时）是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D. 2.B　因为－215°＝－360°＋145°，而145°角是第二角限角，所以－215°角是第二象限角，故选B. 3.A　因为750°＜α＜800°，所以375°＜＜400°，所以角终边位于第一象限，故选A. 4.480°　解析：由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，∴α＝480°. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1　角的概念推广　2.2　象限角及其表示 课标要求 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角（数学抽象）. 2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合（数学抽象）. 3.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角（数学抽象）. 奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩声.跳水（Diving）是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以特定动作入水的运动. 【问题】　如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动员转过的角度是多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　角的概念的推广 1.角的概念： 平面内一条　　OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，　　　　　　是角α的始边，　　　　　　是角α的终边. 2.角的分类 名称 定义 图形 正角 按　　　　方向旋转形成的角 负角 按　　　　方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作　　　　旋转形成的角 　　提醒：（1）在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”；（2）角的范围由0°～360°推广到任意角后，角的加减运算就类似于实数的加减运算. 【想一想】 1.当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 2.你能说出角的三要素吗？ 3.正角、负角、零角是根据什么区分的？ 知识点二　象限角及其表示 1.象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边在　　　轴的非负半轴，那么，角的　　　　在第几象限，就说这个角是第几　　　　；如果角的终边在　　　　　，这个角就不属于任何象限. 2.终边相同的角：一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　　　　　，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与　　　　. 　　提醒：对集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}的再理解：①角α为任意角，“k∈Z”不能省略；②k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋（－α）；③相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）小于90°的角都是锐角.（　　） （2）终边与始边重合的角为零角.（　　） （3）第二象限角是钝角.（　　） （4）225°角是第三象限角.（　　） 2.与 610°角终边相同的角表示为（其中k∈Z）（　　） A.k·360°＋230°　 　 B.k·360°＋250° C.k·360°＋70° D.k·180°＋270° 3.图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是　　　　、　　　　、　　　　. 　　 题型一｜任意角的概念 【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.锐角都是第一象限角 B.第一象限角一定不是负角 C.小于180°的角是钝角、直角或锐角 D.在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 尝试解答 通性通法 理解与角的概念有关问题的关键 　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可. 【跟踪训练】 1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（　　） A.150° B.－150° C.390° D.－390° 2.经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是　　　　. 题型二｜终边相同的角的表示 【例2】　已知α＝－1 910°. （1）把α写成β＋k·360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，并指出它是第几象限角； （2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°. 尝试解答 通性通法 终边相同的角的表示 （1）终边相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式； （2）终边相同的角相差360°的整数倍； （3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. 【跟踪训练】 1.下列各角中与60°角的终边相同的是（　　） A.－300°　B.－240°　C.120°　D.390° 2.在直角坐标系中写出下列角的集合： （1）终边在x轴的非负半轴上； （2）终边在y＝x（x≥0）上. 题型三｜象限角和区间（域）角 【例3】　（1）〔多选〕在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是（　　） A.① B.② C.③ D.④ （2）已知α是第二象限角，则角所在的象限为（　　） A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 尝试解答 【母题探究】 （变设问）在本例（2）的条件下，求角2α的终边的位置. 通性通法 1.nα或所在象限的判断方法 （1）用不等式表示出角nα或的范围； （2）用旋转的观点确定角nα或所在象限. 2.终边在直线上的角的集合的写法 终边在过原点的直线上的角的集合可以分为两步：先分别写出终边在两条射线上的角的集合，然后取两个集合的并集可得终边在过原点的直线上的角的集合. 3.表示区间（区域）角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合. 提醒：写区域角时，要注意角的集合的左边值，必须小于右边值，并且一定要写上k∈Z. 【跟踪训练】 1.－1 060°角的终边落在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内（不包含边界），那么角α的集合是　　　　. 1.期中考试，数学科目从上午8时30分开始，考了2小时.从考试开始到考试结束分针转过了（　　） A.360°　 B.720°　 C.－360°　 D.－720° 2.－215°角是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.已知750°＜α＜800°，那么是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 4.已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α＝　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　§2　2.1　2.2 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $