章末检测（五） 复数(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

章末检测（五）　复数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.复数2＋2i－｜＋i｜等于（　　） A.0 B.2 C.－2i D.2i 解析：D　2＋2i－｜＋i｜＝2＋2i－＝2＋2i－2＝2i. 2.复数i3（1＋i）2＝（　　） A.2　　　B.－2 C.2i　　　　D.－2i 解析：A　i3（1＋i）2＝－i·（2i）＝2. 3.复数z1＝1＋xi（x∈R），z2＝y＋i（y∈R），若z1＝z2，则等于（　　） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 解析：B　由题意知z1＝z2，即1＋xi＝y＋i，即x＝1，y＝1，因为z1＝1＋i，所以＝1－i. 4.在复平面内，一个正方形的三个顶点按顺序分别对应的复数是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（　　） A.3＋i B.3－i C.1－3i D.－1＋3i 解析：D　在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i. 5.已知i为虚数单位，若复数z＝（a∈R）的虚部为－3，则｜z｜＝（　　） A.　　　B.2 C.　　　D.5 解析：C　因为z＝＝＝＝－i，所以－＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i，所以｜z｜＝＝. 6.复数2＋i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　∵＝＝－i，∴它在复平面上的对应点为B，而复数2＋i在复平面上的对应点是A（2，1），则cos∠AOB＝＝＝，∴∠AOB＝.故选B. 7.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　因为a＋＝a－bi为纯虚数，所以必有a＝0且b≠0，所以ab＝0，因此“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要条件.而当ab＝0时，有a＝0或b＝0，当b＝0时，a＋为实数，因此“ab＝0”不是“复数a＋为纯虚数”的充分条件.故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件. 8.若复数z满足｜z｜＝2，则｜1＋i＋z｜的取值范围是（　　） A.[1，3] B.[1，4] C.[0，3] D.[0，4] 解析：D　设复数z与复平面内的点Z（a，b）相对应，∵复数z满足｜z｜＝2，∴在复平面内，复数z对应的点Z（a，b）的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，｜1＋i＋z｜表示复平面内点Z（a，b）与点（－1，－）之间的距离.∵点（－1，－）到原点的距离为2，∴点（－1，－）在点Z（a，b）的轨迹上，∴｜1＋i＋z｜的最小值是0，最大值是4. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知复数z1＝1＋i，z2＝1－i，则下列选项正确的是（　　） A.｜z1｜＝2 B.＝z2 C.z1·z2对应的点在复平面的虚轴上 D.在复平面内，设z1，z2对应的点分别为A，B，则｜AB｜＝2 解析：BD　｜z1｜＝＝，A错误；＝1－i＝z2，B正确；z1·z2＝（1＋i）（1－i）＝2，其在复平面内对应的点为（2，0），不在虚轴上，C错误；在复平面内，设z1，z2对应的点分别为A（1，1），B（1，－1），则｜AB｜＝1－（－1）＝2，D正确. 10.已知复数z1＝＋（a2－2）i，z2＝1－ai（a∈R），若z1＋为实数，则下列选项正确的是（　　） A.a＝1 B.z1·＝ C.为纯虚数 D. 在复平面内的对应点位于第二象限 解析：AC　因为z1＝＋（a2－2）i，z2＝1－ai（a∈R），所以z1＋＝＋（a2－2）i＋1＋ai＝＋（a2＋a－2）i，因为z1＋为实数，所以解得a＝1，所以A正确；z1＝2－i，z2＝1－i，所以z1·＝（2－i）（2＋i）＝5，所以B错误；＝（1－i）6＝[（1－i）2]3＝（－2i）3＝8i为纯虚数，所以C正确；＝＝＝＝＋i，其在复平面内的对应点位于第一象限，所以D错误. 11.对任意复数ω1，ω2，定义运算“*”：ω1*ω2＝ω1（除“*”外是普通的复数运算，其中是ω2的共轭复数）.对任意复数z1，z2，z3，有如下四个命题其中为真命题的是（　　） A.z1*z2＝z2*z1 B.（z1＋z2）*z3＝（z1*z3）＋（z2*z3） C.z1*（z2＋z3）＝（z1*z2）＋（z1*z3） D.（z1*z2）*z3＝z1*（z2*z3） 解析：BC　A式显然不成立.对于B，由题意，（z1＋z2）*z3＝（z1＋z2）·，（z1*z3）＋（z2*z3）＝z1＋z2＝（z1＋z2），所以等式成立.对于C，由题意，z1*（z2＋z3）＝z1＝z1（＋），（z1*z2）＋（z1*z3）＝z1＋z1＝z1（＋），所以等式成立.对于D，由题意，（z1*z2）*z3＝（z1）*z3＝z1，z1*（z2*z3）＝z1*（z2）＝z1＝z1z3，所以等式不成立. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数为－1－7i. 解析：法一　由复数加、减法的几何意义，可得＋＝，－＝，两式相加，可得2＝＋，而6＋8i＋（－4＋6i）＝2＋14i，所以对应的复数为－1－7i. 法二　如图，把向量平移到向量的位置，可得＝＝－（＋），而－[6＋8i＋（－4＋6i）]＝－1－7i，所以对应的复数为－1－7i. 13.若复数z满足（2－i）z＝（1＋2i）2，其中i为虚数单位，则｜z｜＝. 解析：由（2－i）z＝（1＋2i）2得，z＝＝＝＝＝－2＋i，∴｜z｜＝. 14.复数z满足＝a－i（其中a＞0，i为虚数单位），｜z｜＝，则a＝2；复数z的共轭复数在复平面上对应的点在第四象限. 解析：由＝a－i，得z＝（a－i）（1＋i）＝（a＋1）＋（a－1）i，由｜z｜＝＝，解得a＝±2.又a＞0，∴a＝2.此时 z＝3＋i，则＝3－i.∴在复平面上对应的点的坐标为（3，－1），在第四象限. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知复数z满足｜3＋4i｜＋z＝1＋3i. （1）求； （2）求的值. 解：（1）因为｜3＋4i｜＝5，所以z＝1＋3i－5＝－4＋3i， 所以＝－4－3i. （2）＝＝－i. 16.（本小题满分15分）已知复数z满足｜z｜＝，z2的虚部为2. （1）求复数z； （2）设z，z2，z－z2在复平面内的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积. 解：（1）设z＝x＋yi（x，y∈R）， ＝，x2＋y2＝2，　① 由z2＝x2－y2＋2xyi的虚部为2，所以2xy＝2，xy＝1，　② 由①②解得或 所以z＝1＋i或z＝－1－i. （2）当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），｜AC｜＝2， 所以△ABC的面积为×2×1＝1. 当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i， 所以A（－1，－1），B（0，2），C（－1，－3）， ｜AC｜＝2，所以△ABC的面积为×2×1＝1. 综上，△ABC的面积为1. 17.（本小题满分15分）已知复数z＝m2＋m－2＋（m－1）i（m∈R），其中i为虚数单位. （1）若z是纯虚数，求实数m的值； （2）若m＝2，设＝a＋bi（a，b∈R），试求a＋b的值. 解：（1）由题意可得：m2＋m－2＝0，且m－1≠0，∴m＝－2. （2）若m＝2，则z＝4＋i， ∴＝＝＝＝＝a＋bi，∴a＝，b＝，∴a＋b＝. 18.（本小题满分17分）已知复数z＝＋1＋i，i为虚数单位. （1）求； （2）若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，求实数m，n的值； （3）若＝r（cos θ＋isin θ），其中r＞0，θ∈[0，2π），求r，θ的值. 解：（1）z＝＋1＋i＝＋1＋i＝＋1＋i＝1－2i＋1＋i＝2－i， 所以＝2＋i. （2）法一　因为复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根， 所以（2－i）2＋m（2－i）＋n＝0， 可得4－4i＋i2＋2m－mi＋n＝0，即（3＋2m＋n）－（m＋4）i＝0， 所以解得m＝－4，n＝5. 法二　若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则是该方程的另一个根， 由根与系数的关系得2＋i＋（2－i）＝－m，（2＋i）·（2－i）＝n， 解得m＝－4，n＝5. （3）＝＝＝＝－i＝（－i）＝（cos ＋isin ）， 所以r＝，θ＝. 19.（本小题满分17分）代数基本定理：任何一个n（n∈N*）次复系数多项式方程f（x）＝0至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元n（n∈N*）次复系数多项式f（x）在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积； 推论二：一元n次多项式方程有n个复数根，最多有n个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等； 推论三：若一个n次方程有不少于n＋1个不同的根，则必有各项的系数均为0. 已知f（x）＝x3＋x2.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： （1）求f（x）－2x3－2x2－x＝0的复根； （2）若∃a，b∈R，使得关于x的方程f（3a－x）＝b－f（x）至少有四个不同的实根，求a，b的值； （3）若f（x）的图象上有四个不同的点A，B，C，D，以此为顶点构成菱形ABCD，设A（a，f（a）），B（b，f（b）），求代数式（a2＋a－）（b2＋b－）的值. 解：（1）由题意，x3＋x2－2x3－2x2－x＝0，即－x3－x2－x＝0，所以x（x2＋x＋1）＝0， 所以x＝0或x2＋x＋1＝0，对x2＋x＋1＝0，有x＝， 即复根有0，－＋i，－－i. （2）由题意，（3a－x）3＋（3a－x）2＝b－x3－x2，化简得，（9a＋2）x2－（27a2＋6a）x＋27a3＋9a2－b＝0， 由推论三：该方程的解个数多于方程最高次数得解得 （3）在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，设AC中点O（m，n）， 由A（a，f（a））得C（2m－a，2n－f（a）），所以f（2m－a）＝2n－f（a）， 即（2m－a）3＋（2m－a）2＝2n－a3－a2， 化简得（6m＋2）a2－（12m2＋4m）a＋8m3＋4m2－2n＝0， 由点A，B，C，D是f（x）的图象上的四个不同的点，故该关于a的方程有四个不同的解， 由推论三得解得 故O（－，）， 又·＝0，故（a＋）（b＋）＋（f（a）－）（f（b）－） ＝（a＋）（b＋）＋（a3＋a2－）（b3＋b2－） ＝（a＋）（b＋）＋（a＋）（a2＋a－）·（b＋）（b2＋b－） ＝（a＋）（b＋）［1＋（a2＋a－）（b2＋b－）］＝0， 由菱形ABCD，可得a≠－，b≠－， 所以1＋（a2＋a－）（b2＋b－）＝0， 故（a2＋a－）（b2＋b－）＝－1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $