第6章 1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中球、圆柱、圆锥和圆台的结构特征及相关计算，前承多面体认知，通过实物观察抽象旋转体定义，构建从具体到抽象的学习支架，涵盖定义、图形、性质及截面、母线等计算要点。 特色在于问题驱动与分层设计，通过实物观察培养直观想象，抽象定义发展数学抽象，计算问题提升数学运算。如“旋转体形成过程”探究培养空间观念，“球台半径计算”联系生活实例，课中助教师引导探究，课后分层练习帮学生巩固补缺。

1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 课标要求 1.利用实物模型，观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征（直观想象）. 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构及有关量的计算（数学抽象、数学运算）. 　　如图，观察下列实物图. 【问题】　（1）上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ （2）上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ （3）如何形成上述几何体的曲面？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　旋转体 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条　定直线　旋转一周所形成的　曲面　称为旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体. 知识点二　球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征 类别 定义 图形及有关元素 的概念及表示 性质 球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为　球面　.球面所围成的几何体称为　球体　，简称球 表示：球O （1）球面上所有的点到球心的距离都等于球的　半径　； （2）用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径　最大　，等于球的半径 类别 定义 图形及有关元素 的概念及表示 性质 圆 柱 以矩形的一边OO1所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为　圆柱　 表示：圆柱OO1 （1）平行于圆柱的底面的截面都是　圆面　； （2）过圆柱旋转轴的截面是全等的　矩形　 类别 定义 图形及有关元素的概念及表示 性质 圆 锥 以直角三角形的一条直角边SO所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为　圆锥　 表示：圆锥SO （1）平行于圆锥的底面的截面都是　圆面　； （2）过圆锥旋转轴的截面是全等的　等腰三角形　 类别 定义 图形及有关元素的概念及表示 性质 圆 台 以直角梯形垂直于底边的腰OO1所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为　圆台　 表示：圆台O1O （1）平行于圆台的底面的截面都是　圆面　； （2）过圆台旋转轴的截面是全等的　等腰梯形　 【想一想】 用一个平面去截圆柱，其截面一定是圆面吗？ 提示：不一定，只有用平行底面的平面去截圆柱截面才是圆面. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.（　√　） （2）夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱.（　×　） 2.下面几何体的截面一定是圆面的是（　　 ） A.圆台　　　B.球 C.圆柱　　　D.棱柱 解析：B　在A中，当截面与底面不平行时，得到的截面不是圆面，故A错误；在B中，球的截面一定是圆面，故B正确；在C中，当截面与底面不平行时，得到的截面不是圆面，故C错误；在D中，棱柱的任何截面不是圆面，故D错误.故选B. 3.轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为r2. 解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r，所以S＝×2r2＝r2. 题型一｜旋转体的结构特征 【例1】　判断下列各说法是否正确： （1）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台； 解：错.只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台. （2）一直角梯形绕下底所在直线旋转一周而形成的面所围成的几何体是圆台； 解：错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示. （3）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； 解：正确. （4）到定点的距离等于定长的点的集合是球. 解：错.应为球面. 通性通法 简单旋转体结构特征问题的解题策略 （1）准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键； （2）解题时要注意明确两点：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线. 　　 【跟踪训练】 　有下列命题： ①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的. 其中正确的有（　　 ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析：C　①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，正确；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，两点的连线不一定是圆台的母线，错误；③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的，正确.故选C. 题型二｜球的截面形状及简单计算 【例2】　如图所示，已知OA为球O的半径，M为线段OA上的点，且AM＝2MO，过M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，B为圆M上一点，若圆M的面积为8π，则OA等于（　　 ） A.2 B.3 C.2 D.4 解析：B　由题意得圆M的半径为BM，则π·BM2＝8π，BM＝2.设球的半径为R，则MO＝R，OB＝R，所以R2＝R2＋（2）2，所以OA＝R＝3.故选B. 通性通法 用球的截面性质求解与球的截面有关的问题 　　用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆，有以下性质： （1）若平面α过球心O，则截面圆是以O为圆心的球的大圆； （2）若平面α不过球心O，如图，设OO'⊥α，垂足为O'，记OO'＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO'⊥O'P，则有O'P＝，即此时截得的圆是以O'为圆心，以r＝为半径的球O的小圆. 【跟踪训练】 1.一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫作球台，两平行平面间的距离叫作球台的高.如图，西晋越窑的某个卧足杯的外形可近似看作球台，已知杯底的直径为 2 cm，杯口直径为4 cm，杯的深度为 cm，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（　　） A.5 cm B.2 cm C. cm D. cm 解析：A　如图所示，作出球台的轴截面，设球心为O，过O作OE⊥AB交AB于点E，交CD于点F.依题意AB＝2，CD＝4，EF＝，设球的半径为R cm，则R2＝DF2＋OF2且R2＝AE2＋OE2，即解得即球面的半径为5 cm.故选A. 2.若球的半径为2，则与球心距离为的平面截球面所得的圆的面积为（　　） A.4π B.π C.2π D.π 解析：D　设球的半径为R，则R＝2，因为截面与球心距离d＝，所以截面圆的半径r＝＝1，可得截面圆的面积为S＝πr2＝π.故选D. 题型三｜旋转体的有关计算 【例3】　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求： （1）圆台的高； 解：圆台的轴截面是等腰梯形ABCD（如图所示）.由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由题意知腰长AB＝12 cm， 所以高AM＝＝3（cm）. （2）将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长. 解：如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝， 解得l＝20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 通性通法 　　用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程（组）而得解. 【跟踪训练】 轴截面图形为正方形的圆柱叫作等边圆柱.已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，则该等边圆柱的底面周长为4πcm. 解析：如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.轴截面ABCD的面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16（cm2），解得r＝2 cm.故该等边圆柱的底面周长C＝2πr＝4π（cm）. 1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（　　） A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 解析：D　图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥. 2.一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为（　　 ） A.3 cm B.9 cm C.12 cm D.6 cm 解析：B　设圆台的母线长为x cm，由已知可得＝，解得x＝9.故选B. 3.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线 B.球面上任意两点的连线是球的直径 C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫作球 解析：AC　A是正确的；B是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；C是正确的；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫作球面，球面围成的几何体叫作球，故D错误. 4.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为4. 解析：由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示，作CE⊥AB于点E，则CE为圆台的高h，∴h＝＝4. ▶拓视野　探究空间两点间的最短路径 爸爸出差前，留给小华一道题： 如图为某地区的交通网.其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，连线旁的a1表示该段道路的长度（单位：千米），请你选择一条从A到B的最短路线. 爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆开.小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”. 小华绞尽脑汁，想了一天还是没 有眉目.吃过晚饭，他信步走进小树林，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网，突然，一只小虫撞到网上，小虫奋力挣扎，于是便不断地 拉紧连到网中心的最短的那根丝，蜘蛛沿着那根丝，迅速出击，抓住了小虫.小华若有所悟，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例编织一张真正的“交通网”，要求A，B两地的最短路线.只需把网上相当于A，B两地的网结各自向外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上. 小华高兴地打开“锦囊”，妙极了，他和爸爸的解法完全一样.爸爸的解法后面还有几行字：“这种解法叫作模拟法，它是科学研究的一种重要方法，自然界中简单的现象往往蕴藏着深刻的道理，放开你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！” 【问题探究】 【例1】　圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从点A到点C的最短距离为（　　） A.10 cm　　　　　　　 B. cm C.5 cm D.5 cm 解析：B　如图①所示，正方形ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5 cm，设圆柱的底面半径为r，则r＝ cm，底面周长为2πr＝5π cm.将圆柱沿母线AD剪开，展开图如图②所示，则从A到C的最短距离即AC的长.∵AB＝＝ cm，BC＝AD＝5 cm，∴AC＝＝＝ cm. 【例2】　如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，求蚂蚁爬行的最短路程. 解：正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1'的长为最短路程.因此蚂蚁爬行的最短路程为. 【迁移应用】 1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱的侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，则PC的长为2. 解析：将侧面B1BCC1展到平面A1ACC1内，如图所示，设PC＝x，由题意得AM＝2，AP1＝3＋x，MP1＝，在Rt△MAP1中，AM2＋A＝M，即22＋（3＋x）2＝（）2，解得x＝2，即PC＝2. 2.圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求： （1）绳子的最短长度； （2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离. 解：（1）如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，设OB＝l，∠AOA'＝θ， 则 解得所以OA＝40 cm，OM＝30 cm. 所以AM＝＝50 cm. 即绳子最短长度为50 cm. （2）作OQ⊥AM于点Q，交弧BB'于点P，则PQ为所求的最短距离. 因为OA·OM＝AM·OQ， 所以OQ＝＝＝24 cm. 故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4 cm， 即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 1.下列说法正确的是（　　） A.一个多面体可以有三个面 B.一个旋转体的轴一定在旋转体内 C.多面体与旋转体都是封闭的几何体，包括表面及其内部的所有点 D.旋转体的表面可以含有平面多边形 解析：C　 一个多面体至少有四个面，故A不正确；救生圈可看成是圆沿圆外一条直线旋转形成的旋转体，此时该直线在旋转体外，故B不正确；C显然正确；旋转体的表面是曲面，也可含有平面图形（如圆面），但不能是平面多边形，故D不正确. 2.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（　　） 解析：D　图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故所求平面图形的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成. 3.已知圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（　　） A.10 cm　B.20 cm　C.20 cm　D.10 cm 解析：A　圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高，设为h cm.这个等腰三角形的腰长为20 cm，顶角的一半为30°.故h＝20cos 30°＝10（cm）. 4.一平面α截球O得到半径为 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则球的半径是（　　 ） A.9 cm B.3 cm C.1 cm D.2 cm 解析：B　作出对应的截面图，∵截面圆的半径为，即BC＝，∵球心O到平面α的距离为2，∴OC＝2，设球的半径为R，在Rt△OCB中，OB2＝OC2＋BC2＝4＋（）2＝9.即R2＝9，解得R＝3.故选B. 5.〔多选〕用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（　　 ） A.矩形 B.圆形 C.梯形 D.三角形 解析：AD　根据圆台的结构特征，用一个平行底面的平面截圆台可得圆形，当平面与圆台轴所在直线平行或经过轴所在直线时，可得梯形，不论平面与圆台如何相交，截面都不可能是矩形和三角形，故选A、D. 6.〔多选〕下列关于圆柱的说法中正确的是（　　 ） A.圆柱的所有母线长都相等 B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱 解析：ABD　圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，都相等，所以A正确.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分或矩形，所以C错误.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，所以D正确，故选A、B、D. 7.用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：①②③⑤（填序号）. ①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球. 解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥. 8.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是3. 解析：如图所示，设上、下两个平行截面半径分别为r1，r2，球的半径为R.因为两个平行截面的面积分别为5π，8π，所以两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.因为球心到两个截面的距离分别为d1＝，d2＝，所以d1－d2＝－＝1，所以R2＝9，所以R＝3. 9.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中轴截面的面积为24cm2. 解析：当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3 cm，底面半径为4 cm，其轴截面的面积为3×8＝24 cm2；当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4 cm，底面半径为3 cm，其轴截面的面积为4×6＝24 cm2. 10.已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求圆台的母线长. 解：如图是圆台的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A'O'＝1 cm，SA＝12 cm. 由＝，得SA'＝·SA＝×12＝6（cm）. 所以AA'＝SA－SA'＝12－6＝6（cm）. 所以圆台的母线长为6 cm. 11.碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动.若推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比约为（木桩的直径忽略不计）（　　） A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶3 解析：B　设碌碡的底面圆的半径为r，其高为h，由已知可得圆盘的半径为h，则3×2πr＝2πh，∴h＝3r，∴碌碡的底面圆的半径与其高之比为1∶3，故选B. 12.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的最大的截面的面积之比为（　　） A.1∶4 B.1∶2 C.3∶4 D.2∶3 解析：C　设该球与截面圆的半径分别为R，r，则R2＝（）2＋r2，得＝. 13.如图所示，圆台的上底面半径为2 cm，下底面半径为4 cm，母线长为6 cm，则轴截面相对顶点A，C在圆台侧面上的最短距离为6 cm. 解析：如图所示，沿母线AD剪开将圆台侧面展开，问题转化为求展开图中线段AC的长.设圆台的上底面、下底面半径分别为r1 cm，r2 cm，侧面展开图圆心角为θ，因为OC＝＝（cm），OB＝＝（cm），所以BC＝OB－OC＝－＝＝6，所以θ＝.又B，C分别为所在弧的中点，所以在等腰△AOB中，∠AOB＝，所以△AOB是等边三角形.因为在扇形OCD中，OC＝＝6（cm），而BC＝6 cm，所以C为OB的中点，所以AC＝6 cm，即A，C两点在圆台侧面上的最短距离为6 cm. 14.某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为12 cm，高为8 cm.该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的半径. 解：根据题意，BC＝12 cm，AE＝8 cm，且AB＝AC， 所以CE＝BC＝6 cm，所以AB＝AC＝＝＝10 cm. 设内切球的半径为R，根据等面积法得×12×8＝×（10＋10＋12）×R，解得R＝3，故此球的半径为3 cm. 15.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用一个平行于底面且与圆柱下底面距离等于l的平面去截此几何体，则所得截面的面积S＝π（R2－l2）（用已知量R，l表示）. 解析：该几何体的轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径为O1D.∵OA＝AB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形.又CD∥OA，∴CD＝BC＝R－l.∴O1D＝R－CD＝l.故所求截面面积S＝πR2－πl2＝π（R2－l2）. 16.用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥SO底面圆的半径是2，轴截面SAB的面积是4. （1）求圆锥SO的母线长； （2）过圆锥SO的两条母线SB，SC作一个截面，求截面SBC面积的最大值. 解：（1）因为轴截面SAB的面积为×4×SO＝4，所以SO＝2， 所以圆锥SO的母线长l＝＝4. （2）在轴截面SAB中，SO＝2，SA＝4，SO⊥OA， 所以∠SAB＝，所以∠ASB＝. 故0＜∠BSC≤. 由三角形的面积公式，得S△SBC＝×SC×SBsin∠BSC＝l2sin∠BSC＝8sin∠BSC， 所以当∠BSC＝时，截面SBC的面积取得最大值，最大值为8. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $