第5章 3.1 复数的三角表示式 3.2 复数乘除运算的几何意义(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦复数的三角表示式及乘除运算的几何意义，从复数几何意义切入，构建代数表示与三角表示的联系，涵盖辐角、辐角主值概念，进而阐述乘除运算的三角法则及几何意义，形成完整知识支架。 以问题驱动（如复数1+i的坐标与向量）培养数学抽象，通过几何意义分析发展直观想象，题型分层（互化、运算、几何应用）强化数学运算。课中辅助教师引导探究，课后练习题助学生巩固，提升核心素养。

3.1　复数的三角表示式　3.2　复数乘除运算的几何意义 课标要求 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系（数学抽象）. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（直观想象、数学运算）. 设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z. 【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量； （2）记r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的三角形式 1.辐角 以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的辐角. 2.复数的三角形式 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的三角形式为z＝　r（cos θ＋isin θ）　，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝. 3.辐角的主值：将满足条件　0≤θ＜2π　的辐角值，称为辐角的主值，记作　arg z　.当a＞0时，arg a＝0，arg（－a）＝π，arg（ai）＝，arg（－ai）＝π. 【想一想】 1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）的辐角唯一吗？ 提示：z的辐角有无穷多个值，这些值相差2π的整数倍. 2.复数0的辐角是多少，辐角主值是多少？ 提示：0的辐角是任意角，辐角主值是[0，2π）内任一角. 知识点二　复数三角形式乘除运算及几何意义 1.复数三角形式的乘法法则及几何意义 （1）乘法法则：r1（cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2）＝　r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]　.这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和. （2）几何意义：如图，两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应的向量，，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2（若θ2＜0，就要把绕原点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示复数z1·z2的乘积. 2.复数三角形式的除法法则 ＝　[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]　，这就是说，两个复数相除，商的模等于　被除数　的模除以　除数　的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 【想一想】 在进行复数三角形式乘除运算时，其辐角一定是辐角主值吗？ 提示：不一定.辐角θ可以是辐角主值也可以是其他辐角. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任意一个复数都有三角形式.（　√　） （2）复数的三角形式也可以进行四则运算.（　×　） （3）任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整数倍.（　√　） （4）arg（z1z2）＝arg（z1）＋arg（z2）.（　×　） 2.×＝（　　） A.1 B.－1 C.i D.－i 解析：C　×＝cos＋isin ＝cos ＋isin ＝i.故选C. 3.当a＜0时，arg（ai）＝，arg a＝π. 题型一｜复数的代数形式化为三角形式 【例1】　将下列复数代数形式化成三角形式： （1）－i； 解：r＝＝2， 所以cos θ＝， 对应的点在第四象限， 所以arg（－i）＝， 故－i＝2. （2）－1－i. 解：r＝＝， 所以cos θ＝－， 对应的点在第三象限， 所以arg（－1－i）＝， 故－1－i＝. 通性通法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 （1）先求复数的模； （2）确定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 【跟踪训练】 1.下列复数是复数三角形式表示的是（　　） A.　 B.－ C. D.cosπ＋isinπ 解析：D　选项A，cos与isin之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－＜0不符合r≥0的要求；选项C，是isinπ与cosπ用“＋”连接而不是icos＋sinπ的形式.故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D. 2.将复数的三角形式转化为代数形式. 解：＝［cos＋isin（π＋π）］＝ ＝＝1－i. 题型二｜复数的三角形式化为代数形式 【例2】　复数z＝化为代数形式为（　　） A.＋ i B.－＋ i C.－－ i D.－ i 解析：D　z＝＝sin＋i＝×＋×i＝－i. 通性通法 　　将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式z＝r（cos A＋isin A），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A. 【跟踪训练】 复数的代数形式为1－i. 解析： ＝［cos（π＋π）＋isin（π＋π）］ ＝ ＝＝1－i. 题型三｜复数三角形式的乘、除运算 【例3】　计算： （1）2×； 解：2× ＝2 ＝－2i. （2）. 解：原式＝3[cos（160°－25°）＋isin（160°－25°）] ＝3（cos 135°＋isin 135°） ＝3 ＝－3＋3i. 通性通法 　　在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示. 【跟踪训练】 1.计算：. 解： ＝ ＝4（cos 60°＋isin 60°）＝2＋2i. 2.已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值. 解：∵z1＝4＋4i＝4， z2＝－1－i＝， ∴z1z2＝4（cos＋isin）×［（cos＋isin）］ ＝8 ＝8， ∴θ1＋θ2＝. 题型四｜复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例4】　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数. 解：因为3－i＝2 ＝2. 所以2× ＝2 ＝2 ＝2 ＝3＋i， 2（cosπ＋isin π）×［cos（－）＋isin（－）］ ＝2 ＝2＝－2i. 故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i. 通性通法 利用复数三角形式的几何意义求积、商的步骤 （1）先画出两个复数z1，z2对应的向量，； （2）求积（商）的幅角：把向量，绕点O按逆时针方向旋转θ2（θ2＜0时，则按顺时针方向旋转｜θ2｜）； （3）求积（商）的模：积的模为r1r2，商的模为； （4）z1·z2＝r1·r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]；＝[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]. 【跟踪训练】 在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数. 解：＋i＝， 由题意得（cos ＋isin ）×［2（cos ＋isin ）］＝×2＝3＝3i，即与所得向量对应的复数为3i. 1.复数1－i的辐角的主值是（　　） A.π　　　B.π　　　C.π　　　D. 解析：A　因为1－i＝2＝2（cos π＋isin π），所以1－i辐角的主值为π. 2.复数（cos 10°＋isin 10°）（cos 20°＋isin 20°）的三角形式是（　　） A.sin 30°＋icos 30° B.cos 160°＋isin 160° C.cos 30°＋isin 30° D.sin 160°＋icos 160° 解析：C　（cos 10°＋isin 10°）（cos 20°＋isin 20°） ＝cos 30°＋isin 30°.故选C. 3.设z＝－i，对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为2. 解析：根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：（－i）（cos 30°＋isin 30°）＝（－i）（＋i）＝2. 4.＝＋i. 解析：＝cos（75°－15°）＋isin（75°－15°）＝cos 60°＋isin 60°＝＋i. 1.如果非零复数有一个辐角为－，那么该复数的（　　） A.辐角唯一　　　　　　　 B.辐角主值唯一 C.辐角主值为－ D.辐角主值为 解析：B　一个复数有无数个辐角，它们之间相差2kπ，k∈Z，A错，D错；∵辐角主值的范围是[0，2π），∴任何一个复数都有唯一的辐角主值，B对，C错，故选B. 2.将复数4［cos（－）＋isin（－）］化成代数形式，正确的是（　　） A.4 B.－4 C.4i D.－4i 解析：D　4［cos（－）＋isin（－）］＝4[0＋i·（－1）]＝－4i，故选D. 3.复数（sin 10°＋icos 10°）3的三角形式为（　　） A.sin 30°＋icos 30° B.cos 240°＋isin 240° C.cos 30°＋isin 30° D.sin 240°＋icos 240° 解析：B　（sin 10°＋icos 10°）3＝（cos 80°＋isin 80°）3＝cos 240°＋isin 240°. 4.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（　　） A.＋i B.－＋i C.－－i D.－i 解析：A　i＝cos ＋isin ，将绕原点按顺时针方向旋转得到＝cos ＋isin ＝＋i. 5.＝（　　） A.＋i B.－i C.＋i D.－i 解析：B　＝＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i.故选B. 6.〔多选〕设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，则（　　） A.p⇒q B.pq C.q⇒p D.qp 解析：AD　当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故p⇒q，qp.故选A、D. 7.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z＝1＋i. 解析：由题意知，z＝2＝1＋i. 8.在复平面内，将复数＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数为－1＋i. 解析：由题意知，（＋i）×（cos 90°＋isin 90°）＝2（cos 30°＋isin 30°）×（cos 90°＋isin 90°）＝2（cos 120°＋isin 120°）＝－1＋i.即所得向量对应的复数为－1＋i. 9.计算＝＋i. 解析：＝cos（40°－10°）＋isin（40°－10°）＝cos 30°＋isin 30°＝＋i. 10.计算： （1）2×； （2）. 解：（1）原式＝2×［cos（＋π）＋isin（＋π）］＝＝－＋i. （2）原式＝ ＝2 ＝2 ＝－2i. 11.如果θ∈，那么复数（1＋i）（cos θ＋isin θ）的辐角的主值是（　　） A.θ＋ B.θ＋ C.θ－ D.θ＋ 解析：B　（1＋i）（cos θ＋isin θ）＝·（cos θ＋isin θ）＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］，∵θ∈，∴θ＋∈，∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B. 12.（cos ＋isin ）n＝cos －isin ，则n＝（　　） A.3 B.12 C.6k－1（k∈Z） D.6k＋1（k∈Z） 解析：C　由题意，得（cos ＋isin ）n＝cos ＋isin ＝cos －isin ，由复数相等的定义，得解得＝2kπ－（k∈Z），∴n＝6k－1（k∈Z）. 13.复数z＝（a＋i）2的辐角主值为，则实数a＝－1. 解析：由于复数z的辐角主值为， 故z＝r（cos＋isin）＝－ir， 又z＝（a＋i）2＝a2－1＋2ai， 所以a2－1＋2ai＝－ir， 所以a2－1＝0，2a＝－r，故a＝－1. 14.若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足＝z1z3且z2＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3. 解：设z1＝cos α＋isin α， z2＝cos β＋isin β， z3＝cos γ＋isin γ， 则由z2＋iz3－i＝0， 可得 利用cos2β＋sin2β＝1，解得 所以z3＝. 当z3＝时， z2＝－i（z3－1）＝，z1＝＝1； 当z3＝时， z2＝－i（z3－1）＝，z1＝＝1. 15.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为2＋i. 解析：∵A，B所表示的复数分别是＋i和2， ∴所表示的复数为－i，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为（－i）·（cos 60°＋isin 60°）＝＋i， 又＝＋，＋i＋＋i＝2＋i， 即点C对应的复数是2＋i. 16.已知非零复数z满足｜z－i｜＝1，且arg z＝θ，求： （1）θ的取值范围； （2）复数z的模（用θ表示）； （3）复数z2－zi的辐角. 解：（1）因为｜z－i｜＝1，所以如图①所示，z的对应点P在以（0，1）为圆心，半径为1的圆上. 又z为非零复数，因此可知，θ∈（0，π）. （2）如图②，在Rt△AOP中， ∠OAP＝∠POx＝θ. 又｜OA｜＝2，易知｜z｜＝｜OP｜＝2sin θ， 当θ为直角或钝角时，仍有｜z｜＝2sin θ， 故｜z｜＝2sin θ. 　 （3）因为｜z－i｜＝1， 所以结合同角三角函数关系， 可设z－i＝cos φ＋isin φ（φ∈R）. 于是z2－zi＝z（z－i）， 注意到z＝2sin θ（cos θ＋isin θ）， z－i＝cos φ＋isin φ， 则知z2－zi＝2sin θ（cos θ＋isin θ）·（cos φ＋isin φ）＝2sin θ[cos（θ＋φ）＋isin（θ＋φ）]. 又cos φ＋isin φ＝z－i ＝2sin θ（cos θ＋isin θ）－i ＝2sin θcos θ＋i（2sin2θ－1） ＝sin 2θ－icos 2θ ＝cos（2θ－）＋isin（2θ－）， 所以φ＝2kπ＋2θ－（k∈Z）. 从而可得θ＋φ＝2kπ＋3θ－（k∈Z）. 故z2－zi的辐角为2kπ＋3θ－（k∈Z）. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $