第5章 2.2 复数的乘法与除法 2.3 复数乘法几何意义初探(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦复数的乘法与除法运算，系统梳理乘法法则、运算律（交换律、结合律、分配律）、几何意义（向量伸缩与旋转），除法法则（分母实数化）及实系数一元二次方程解法，构建从实数运算律引入到复数运算探究，再到几何直观与方程应用的完整知识链。 资料以问题驱动（如“复数运算是否满足实数运算律”）引导数学抽象，结合向量旋转理解乘法几何意义培养直观想象，通过题型分类（乘法、除法等）及跟踪训练提升数学运算。课中辅助教师引导探究，课后练习与拓展（欧拉公式）助学生查漏补缺。

2.2　复数的乘法与除法　*2.3　复数乘法几何意义初探 课标要求 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算（数学运算）. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律（数学抽象）. 3.了解复数乘法的几何意义（直观想象）. 　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足am·an＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝an·bn，其中m，n均为正整数. 【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的乘法运算及乘法的几何意义 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝　（ac－bd）＋（ad＋bc）i　. 特例：若z＝a＋bi（a，b∈R），则z·＝｜z｜2＝｜｜2＝a2＋b2. 2.幂的运算 设复数z，z1，z2和正整数m，n，则zm·zn＝zm＋n；（zm）n＝zmn；（z1·z2）n＝·. 一般地，n∈N，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 3.复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝　z2·z1　 结合律 （z1·z2）·z3＝　z1·（z2·z3）　 乘法对加法的分配律 z1·（z2＋z3）＝　z1·z2＋z1·z3　 4.复数乘法的几何意义 设复数z1＝a＋bi（a，b∈R）所对应的向量为. （1）若z2＝（a＋bi）·c（c＞0）所对应的向量为，则是将沿原方向伸长（c＞1）或压缩（0＜c＜1）　c　倍得到的； （2）z3＝（a＋bi）·i所对应的向量为，则是将　逆　时针旋转　　得到的. 【想一想】 1.两个虚数的积一定是虚数吗？ 提示：不一定.如z·＝（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2是实数. 2.设复数z1＝a＋bi（a，b∈R）所对应的向量为，若z2＝（a＋bi）（－i）对应的向量是，那么向量与有何关系？ 提示：是由顺时针旋转得到的. 知识点二　复数的除法运算 复数的除法法则 ＝　－i　（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）. 知识点三　实系数一元二次方程的解法 1.方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c∈R）在复数范围内的解集 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c∈R），则当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－； 当Δ＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根，x1＝，x2＝. 2.根与系数的关系 如果x1，x2为实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解，那么 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个共轭复数的和与积是实数.（　√　） （2）复数z＝i（－2－i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在第四象限.（　√　） （3）若z1，z2∈C，且＋＝0，则z1＝z2＝0.（　×　） （4）（zn）m＝zmn.（　√　） 2.复数（1＋i）2（2＋3i）的值为（　　） A.6－4i B.－6－4i C.6＋4i D.－6＋4i 解析：D　原式＝（12＋2i＋i2）（2＋3i）＝2i（2＋3i）＝4i－6. 3.已知复数z＝（i是虚数单位），则｜z｜＝. 解析：｜z｜＝＝＝｜i＋2｜＝. 题型一｜复数的乘法运算 【例1】　计算： （1）（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）； 解：（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）＝（11－2i）（－2＋i）＝－20＋15i. （2）（3＋4i）（3－4i）； 解：（3＋4i）（3－4i）＝32－（4i）2＝9－（－16）＝25. （3）（1＋i）2. 解：（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i. 通性通法 　　复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等. 【跟踪训练】 1.计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（　　） A.2－13i B.13＋2i C.13－13i D.－13－2i 解析：D　（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）＝－13－2i. 2.若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，1） B.（－∞，－1） C.（1，＋∞） D.（－1，＋∞） 解析：B　因为z＝（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，所以它在复平面内对应的点为（a＋1，1－a），又此点在第二象限，所以解得a＜－1. 题型二｜复数除法的运算 【例2】　计算：（1）； 解：＝＝－＋i. （2）＋. 解：原式＝［］6＋＝i6＋＝－1＋i. 通性通法 1.复数的除法法则 通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似. 2.复数四则运算的常用技法 （1）运算顺序：先算乘方，再算乘除，再算加减； （2）三个或三个以上的复数相乘时可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数运算顺序一致； （3）若运算式符合公式可直接运用公式计算. 【跟踪训练】 1.设复数z满足＝i，则｜z｜＝（　　） A.1 B. C. D.2 解析：A　由＝i得1＋z＝i（1－z），即z＝＝＝＝i，｜z｜＝1. 2.计算：（1）；（2）. 解：（1）＝ ＝＝1－i. （2）＝ ＝＝－1－3i. 题型三｜i的乘方的周期性及应用 【例3】　（1）i为虚数单位，i607的共轭复数为（　A　） A.i B.－i C.1 D.－1 解析：因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i.故选A. （2）计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 024＋i2 025＝i. 解析：因为i1＋i2＋i3＋i4＝0， 所以i1＋i2＋i3＋…＋i2 024＋i2 025＝（i1＋i2＋i3＋i4）＋（i5＋i6＋i7＋i8）＋…＋（i2 021＋i2 022＋i2 023＋i2 024）＋i2 025＝i. 通性通法 利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 【跟踪训练】 　计算：＋. 解：∵＝＝＝i，∴＝＝－i，而i4＝（－i）4＝1， ∴＋＝i2 024＋（－i）2 025＝i2 024＋（－i）2 024×（－i）＝1－i. 题型四｜实系数一元二次方程根的求解 【例4】　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根（b，c为实数）. （1）求b，c的值； 解：∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴（1＋i）2＋b（1＋i）＋c＝0，即（b＋c）＋（2＋b）i＝0. ∴解得 ∴b＝－2，c＝2. （2）试判断1－i是否是方程的根. 解：将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝（1－i）2－2（1－i）＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根. 通性通法 　　复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判断 （1）当Δ＞0时，方程有两个不同的实数根； （2）当Δ＝0时，方程有两个相同的实数根； （3）当Δ＜0时，方程有两个共轭的虚数根. 【跟踪训练】 已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，求实数k的值. 解：由题意，得Δ＝k2－4（k2－2k）＝－3k2＋8k＜0⇒k＜0或k＞， 设两根为z1，z2，则z2＝，｜z2｜＝｜z1｜＝1， 所以由实系数一元二次方程根与系数的关系，可得z1·z2＝k2－2k＝1， 解得k1＝1－，k2＝1＋. 又k＜0或k＞，所以k＝1－. 1.已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m的值为（　　） A.1 B.－1 C.2 D.－2 解析：A　由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－i，得解得m＝1. 2.已知z＝，则z－ 等于（　　） A.－i B.i C.0 D.1 解析：A　因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，即z－＝－i.故选A. 3.已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单位），则｜z｜＝（　　） A.2 B.2 C.4 D.10 解析：B　依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所以｜z｜＝＝2.故选B. 4.设是复数z的共轭复数.在复平面内，复数z＋2与＋2i对应的点关于y轴对称，则＝（　　） A.－1＋i B.－－ C.－ D.－＋ 解析：B　设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋2＝（a＋2）＋bi，＋2i＝a＋（2－b）i，因为复数z＋2与＋2i对应的点关于y轴对称，所以a＋2＋a＝0且b＝2－b，解得a＝－1，b＝1，则z＝－1＋i，＝＝＝＝－－i，故选B. 5.已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R），若｜z｜＝2，则t的值为2或－2. 解析：由z（1＋i）＝2ti（t∈R），得z＝＝＝ti（1－i）＝t＋ti，因为｜z｜＝2，所以t2＋t2＝（2）2，解得t＝2或t＝－2. ▶拓视野　欧拉公式及其应用 　　欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”. 【问题探究】 【例1】　若复数z＝的共轭复数为，则＝－－i. 解析：欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R），则z＝＝cos ＋isin ＝－＋i.根据共轭复数定义可知＝－－i. 【例2】　求复数＋的模. 解：复数＋＝cos ＋isin ＋cos ＋isin ＝＋i， 所以复数＋的模为＝. 【迁移应用】 1.复数z＝eiθ（θ∈R），z的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为Z0，A（－1，0）与B（0，1）为定点，则函数f（z）＝｜（z＋1）（－i）｜取最大值时，在复平面上以Z0，A，B三点为顶点的图形是（　　） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 解析：D　∵z＝eiθ＝cos θ＋isin θ，∴（z＋1）（－i）＝（cos θ＋1＋isin θ）（cos θ－isin θ－i）＝cos2θ－isin θcos θ－icos θ＋cos θ－isin θ－i＋isin θcos θ＋sin2θ＋sin θ＝（cos θ＋sin θ＋1）－i（cos θ＋sin θ＋1）， ∵f（z）＝｜（z＋1）（－i）｜， ∴f（z）＝ ＝ ＝ ， 当sin＝1时，f（z）取得最大值， 即当θ＋＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z时，f（z）取最大值， 此时z＝＋i，＝－i， 又∵A（－1，0），B（0，1）， ∴｜Z0A｜2＝＋＝2＋， ｜Z0B｜2＝＋＝2＋， 又｜AB｜2＝（－1－0）2＋（0－1）2＝2， ∴｜Z0A｜＝｜Z0B｜，且｜Z0A｜2＋｜Z0B｜2≠｜AB｜2， ∴该图形为等腰三角形.故选D. 2.根据欧拉公式：eix＝cos x＋isin x（e为自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R）. （1）判断复数e3i在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由； （2）若eix＜0，求cos x的值. 解：（1）复数e3i在复平面内对应的点位于第二象限. 理由如下： ∵e3i＝cos 3＋isin 3在复平面内对应的点为（cos 3，sin 3）， 而＜3＜π，∴cos 3＜0，sin 3＞0，∴点（cos 3，sin 3）在第二象限，故复数e3i在复平面内对应的点位于第二象限. （2）∵eix＝cos x＋isin x＜0，∴eix为负实数（虚数无法比较大小），∴ 解得cos x＝－1. 1.计算（1＋i）·（2＋i）＝（　　） A.1－i B.1＋3i C.3＋i D.3＋3i 解析：B　（1＋i）（2＋i）＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.故选B. 2.复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：D　∵z＝＝＝－i，∴复数z在复平面内对应的点是，位于第四象限.故选D. 3.设复数z满足（1＋i）z＝i2 024，则复数的虚部为（　　） A.－ B. C.i D.－i 解析：B　i2 024＝i506×4＝1，所以z＝＝＝－i.所以＝＋i，其虚部为，故选B. 4.若z＝1＋i，则｜iz＋3｜等于（　　） A.4 B.4 C.2 D.2 解析：D　因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3｜＝｜2－2i｜＝＝2. 5.〔多选〕下面是关于复数z＝（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（　　） A.｜z｜＝2 B.z2＝2i C.z的共轭复数为1＋i D.z的虚部为－1 解析：BD　因为z＝＝＝－1－i，所以｜z｜＝，A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部为－1，D正确.故选B、D. 6.〔多选〕设复数z＝－＋i，则以下结论正确的是（　　） A.z2≥0 B.z2＝ C.z3＝1 D.z2 025＝z 解析：BC　∵z＝－＋i，∴z2＝（－＋i）2＝－i－＝－－i，故A错误；z2＝，故B正确；z3＝z2·z＝（－－i）（－＋i）＝＋＝1，故C正确；z2 025＝z3×675＝1，故D错误. 7.设复数z＝1＋i，则z2－2z＝－3. 解析：z2－2z＝（1＋i）2－2（1＋i）＝1＋（i）2＋2i－2－2i＝－3. 8.复数（i为虚数单位）的实部为－3. 解析：由题意可得＝－3－i，－3－i的实部为－3. 9.已知关于x的方程ax2＋x＋c＝0（a，c∈R）的一个根是2＋3i，则a－c＝3. 解析：由题意，得a（2＋3i）2＋（2＋3i）＋c＝0，即－5a＋2＋c＋（12a＋3）i＝0.由复数相等的充要条件，得解得所以a－c＝3. 10.计算： （1）（1－i）（1＋i）； （2）（1＋i）2 024； （3）. 解：（1）原式＝（1－i）（1＋i） ＝（1－i2）＝2 ＝－1＋i. （2）原式＝[（1＋i）2]1 012＝（1＋2i＋i2）1 012＝（2i）1 012＝21 012·i1 012＝21 012·（i2）506＝21 012. （3）＝＝ ＝－＋i. 11.〔多选〕已知复数z满足（1－i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（　　） A.｜z｜＝ B.复数z的共轭复数＝1－i C.复平面内表示复数z的点位于第二象限 D.复数z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根 解析：ACD　由（1－i）z＝2i，得z＝＝＝－1＋i.∴｜z｜＝；＝－1－i；复平面内表示复数z的点的坐标为（－1，1），位于第二象限.∵（－1＋i）2＋2（－1＋i）＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0，∴复数z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根. 12.〔多选〕下列四个命题正确的是（　　） A.若复数z满足∈R，则z∈R B.若复数z满足z2∈R，则z∈R C.若复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜，则z1·＝z2· D.若复数z1，z2满足z1·z2∈R，则z1＝ 解析：AC　设z＝a＋bi，a，b∈R，z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R.＝＝，若∈R，则b＝0，即z＝a为实数，故A正确；z2＝a2－b2＋2abi，若z2∈R，则2ab＝0⇒a＝0或b＝0，若a＝0，b≠0，则z∉R，故B错误；｜z1｜＝｜z2｜⇒＋＝＋，z1·＝＋，z2·＝＋，故z1·＝z2·，故C正确；z1·z2＝（a1＋b1i）（a2＋b2i）＝（a1a2－b1b2）＋（a1b2＋a2b1）i，若z1·z2∈R，则a1b2＋a2b1＝0，无法得到z1＝，故D错误. 13.已知关于x的方程x2＋5x＋m＝0的两根分别为x1，x2，且满足｜x1－x2｜＝3，则实数m的值为4或. 解析：Δ＝25－4m，①若Δ≥0，即m≤，则｜x1－x2｜＝＝＝3，解得m＝4；②若Δ＜0，即m＞，则x1＝，x2＝，所以｜x1－x2｜＝＝3，解得m＝.综上，m＝4或. 14.已知复数z满足z＋2i，均为实数，复数（z＋xi）2（x∈R）在复平面内对应的点位于第一象限，其中i为虚数单位. （1）求复数z； （2）求实数x的取值范围. 解：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R）， 则z＋2i＝a＋（b＋2）i， ∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，解得b＝－2， ∴＝＝＝＋i， ∵为实数，∴＝0， 解得a＝4.∴z＝4－2i. （2）∵复数（z＋xi）2＝[4＋（x－2）i]2＝16－（x－2）2＋8（x－2）i＝（12＋4x－x2）＋（8x－16）i，且复数（z＋xi）2在复平面内对应的点位于第一象限，∴解得2＜x＜6. 即实数x的取值范围是（2，6）. 15.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知z＝＋bi（a，b∈R）为“理想复数”，则（　　） A.a－5b＝0 B.3a－5b＝0 C.a＋5b＝0 D.3a＋5b＝0 解析：D　因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0. 16.从①｜z｜＝，且z2的虚部是2；②z＝；③c＝，z为c的共轭复数，这三个条件中任选一个，补充在横线上并作出解答. 已知i为虚数单位，复数z满足　　　　，设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：选①.设z＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝a2－b2＋2abi. 由题意，得a2＋b2＝2且2ab＝2， 解得a＝b＝1或a＝b＝－1， 所以z＝1＋i或z＝－1－i. 当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1）， 所以S△ABC＝×2×1＝1. 当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i， 所以A（－1，－1），B（0，2），C（－1，－3）， 所以S△ABC＝×2×1＝1. 因此，选①时△ABC的面积为1. 选②.z＝＝＝1＋i， 所以z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1）， 所以S△ABC＝×2×1＝1. 因此，选②时△ABC的面积为1. 选③.c＝＝＝1－i，其共轭复数z＝1＋i， 所以z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1）， 所以S△ABC＝×2×1＝1. 因此，选③时△ABC的面积为1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $