第5章 1.2 复数的几何意义(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦复数的几何意义核心知识点，从实数与数轴的对应关系引入，通过问题驱动建立复数的几何模型，系统讲解复平面（实轴、虚轴）、复数与点及向量的一一对应关系，进而学习模与共轭复数的概念，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以问题链引导学生用数学眼光观察复数的几何表示，通过例1复数对应点在象限的判断培养逻辑推理，例3模的计算提升数学运算能力。分层题型设计兼顾课中教学辅助与课后查漏补缺，助力学生深化对复数几何意义的理解与应用。

1.2　复数的几何意义 课标要求 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的对应关系（直观想象、逻辑推理）. 2.掌握实轴、虚轴、模的概念，理解共轭复数的概念（数学抽象）. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法（数学运算）. 　　我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型. 【问题】　（1）你能否为复数找一个几何模型？ （2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的几何意义 1.复平面：通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为　复平面　，x轴称为　实轴　，y轴称为　虚轴　.实轴上的点都表示　实数　；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 【想一想】 复平面内虚轴上的点表示的复数一定是纯虚数吗？ 提示：不一定.虚轴上除了原点外的其它点对应的复数是纯虚数. 知识点二　复数的模与共轭复数 1.复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模，记作　｜z｜　或　｜a＋bi｜　.由向量模的定义可知，｜z｜＝｜a＋bi｜＝　　.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模｜z｜＝＝＝　｜a｜　（a的绝对值）. 2.共轭复数 （1）定义：若两个复数的实部　相等　，而虚部　互为相反数　，则称这两个复数互为共轭复数.在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等； （2）表示方法：复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi（a，b∈R），那么＝　a－bi　. 【想一想】 1.两个复数一般不能比较大小，其模能比较大小吗？ 提示：模是实数，可以比较大小. 2.若一个复数的共轭复数是其本身，那么这个复数一定是实数吗？ 提示：一定是实数.证明如下： 设z＝a＋bi（a，b∈R）， ∵z＝，∴a＋bi＝a－bi，∴b＝－b， ∴b＝0，∴z是实数. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）复平面内的点与复数是一一对应的.（　√　） （2）复数的模一定是正实数.（　×　） （3）若｜z1｜＝｜z2｜，则z1＝z2.（　×　） （4）两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.（　√　） 2.已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为（　　） A.（0，－1） B.（－1，0） C.（0，0） D.（－1，－1） 解析：A　复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1）.故选A. 3.已知复数z的实部为－1，虚部为2，则｜z｜＝. 解析：由复数的模的定义，得｜z｜＝＝. 题型一｜复数与复平面内点的关系 【例1】　在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点： （1）在虚轴上； 解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. （1）由题意得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或4. （2）在第二、四象限； 分别求实数m的取值范围. 解：由题意，（m2－2m－8）（m2＋3m－10）＜0. ∴2＜m＜4或－5＜m＜－2. 通性通法 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据； （2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示. 【跟踪训练】 1.已知复数z＝1－2i，则z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（　　） A.（1，－2） B.（1，2） C.（－2，1） D.（－1，－2） 解析：D　z在复平面内对应的点为（1，－2），关于虚轴对称的点是（－1，－2）.故选D. 2.已知复数z1＝2－ai（a∈R，i为虚数单位）对应的点在一次函数y＝x＋的图象上，则复数z2＝a＋2i对应的点在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：B　复数z1＝2－ai（a∈R）对应的点的坐标为（2，－a），该点在一次函数y＝x＋的图象上，故－a＝＋，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为（－2，2），在第二象限.故选B. 题型二｜复数与复平面内向量的对应关系 【例2】　在复平面上，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点. （1）求向量＋，对应的复数； 解：由已知得＝（1，4），＝（0，－3），＝（2，0）， 因此＋＝（1，1），＝－＝（1，－4）， 故＋对应的复数为1＋i，对应的复数为1－4i. （2）求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数. 解：由已知得＝（1，4），＝（0，－3），＝（2，0）， 所以＝（1，7），＝（2，3）. 由平行四边形的性质得＝＋＝（3，10）， 而＝（0，－3），于是点D（3，7），其对应的复数为3＋7i. 通性通法 1.若复数z＝a＋bi（a，b∈R），则复数z在复平面内对应的向量＝（a，b）. 2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得. 3.一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数改变. 【跟踪训练】 　已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是（　　） A.－5＋5i B.5－5i C.5＋5i D.－5－5i 解析：B　向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝（2，－3），＝（－3，2）.由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝（2＋3，－3－2）＝（5，－5），根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. 题型三｜复数的模及应用 角度1　复数模的计算 【例3】　复数z1＝sin －icos ，z2＝＋i，试比较｜z1｜与｜z2｜的大小. 解：因为｜z1｜＝｜sin －icos ｜ ＝＝＝， ｜z2｜＝｜＋i｜＝＝1， 因为＝＞1，所以｜z1｜＞｜z2｜. 通性通法 复数模的求解思路 　　解决复数模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数模的定义求解. 角度2　复数模的几何意义 【例4】　设复数z＝x＋yi（x，y∈R），则满足＜｜z｜≤4的复数z在复平面内对应的点Z（x，y）构成的平面图形的面积为13π. 解析：＜｜z｜≤4的几何意义为在复平面内复数z对应的动点Z到坐标原点的距离大于且不大于4，因此动点Z（x，y）构成的平面图形是以坐标原点为圆心，半径分别为和4的两个同心圆构成的圆环（不包含半径为的圆的边界），故其面积为π×42－π×（）2＝13π. 通性通法 　　解决复数模的几何意义的问题，其关键是利用｜z｜表示点Z到原点的距离，根据｜z｜满足的条件判断点Z的集合表示的图形. 【跟踪训练】 已知复数z＝3＋ai，且｜z｜＜4，求实数a的取值范围. 解：法一　∵z＝3＋ai（a∈R）， ∴｜z｜＝， 由已知得32＋a2＜42， ∴a2＜7，∴a∈（－，）. 法二（利用复数的几何意义）　由｜z｜＜4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，∴线段AB（除去端点）为动点Z的集合.由图可知－＜a＜. 题型四｜共轭复数及应用 【例5】　设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　由z＝－3＋2i，得＝－3－2i，则在复平面内对应的点（－3，－2）位于第三象限，故选C. 通性通法 求解此类问题的两个关键点 　　一是会利用定义写出已知复数的共轭复数；二是明确互为共轭的两个复数表示的点的对称关系. 【跟踪训练】 1.〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A.若z是实数，则z＝ B.若z＝，则z＝0 C.若＝－z，则z是纯虚数 D.若z是纯虚数，则＝－z 解析：AD　设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi.对于A，若z是实数，则b＝0，所以＝a＝z，故A正确；对于B，若z＝，则b＝－b，即b＝0，所以z是实数，故B错误；对于C，若＝－z，得a＝0，z可能是纯虚数，也可能是实数0，故C错误；对于D，若z是纯虚数，则a＝0且b≠0，可得＝－z，故D正确. 2.若复数z＝2＋2i，则｜｜＝2. 解析：＝2－2i，则｜｜＝＝2. 1.复数z＝－1－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　z＝－1－2i对应点Z（－1，－2），位于第三象限. 2.已知i为虚数单位，若复数z＝1－i，则｜z｜＝（　　） A. B.2 C.4 D.8 解析：B　｜z｜＝＝2.故选B. 3.已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则＝（　　） A.2＋i B.2－i C.1＋i D.1－i 解析：A　由题意得A（6，－5），B（－2，3），则线段AB的中点C的坐标为（2，－1），其对应的复数z＝2－i，则＝2＋i. 4.〔多选〕在复平面内，复数z1＝1－ai（a∈R）对应点Z1满足｜｜＝.点Z与Z1关于x轴对称.则点Z对应的复数z＝（　　） A.1－i B.1＋i C.1－i D.1＋i 解析：CD　由于复数z1＝1－ai（a∈R）对应点Z1满足｜｜＝，所以｜｜＝＝，所以a＝±1，Z1（1，1）或Z1（1，－1），又点Z与Z1关于x轴对称，所以点Z（1，－1）或Z（1，1），所以复数z为1－i或1＋i.故选C、D. 5.复数z＝2＋i，则 的虚部是－1. 解析：因为z＝2＋i，所以＝2－i，所以的虚部是－1. 1.设复数z＝－1＋i（i为虚数单位），则在复平面内z的对应点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：B　复数z＝－1＋i在复平面内的对应点的坐标为（－1，1），即在复平面内z的对应点位于第二象限. 2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应的点为Z（a，b），若｜z｜≤1，则满足条件的点Z的集合是（　　） A.直线 B.线段 C.圆 D.单位圆及其内部 解析：D　∵｜z｜≤1，∴a2＋b2≤1，∴点Z的集合是以原点为圆心，1为半径的圆及其内部. 3.已知z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（　　） A.（－1，2） B.（－2，1） C.（1，＋∞） D.（－∞，－2） 解析：B　∵z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，则实数m的取值范围是（－2，1）. 4.已知复数z＝a＋i（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，且｜z｜＝2，则复数z＝（　　） A.－1＋i B.1＋i C.－1＋i或1＋i D.－2＋i 解析：A　由题意得解得a＝－1.故z＝－1＋i.故选A. 5.〔多选〕设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（　　） A.｜z｜＝ B.复数z在复平面内对应的点在第四象限 C.z的共轭复数为－1＋2i D.复数z在复平面内对应的点在一次函数y＝－2x的图象上 解析：AC　｜z｜＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1，－2），在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点（－1，－2）不在一次函数y＝－2x的图象上，D不正确.故选A、C. 6.〔多选〕设z＝（2m2＋2m－1）＋（m2－2m＋2）i（m∈R），则下列结论中错误的是（　　） A.z在复平面内对应的点在第一象限 B.z一定不是纯虚数 C.z在复平面内对应的点在实轴上方 D.z一定是实数 解析：ABD　2m2＋2m－1＝2－，m2－2m＋2＝（m－1）2＋1＞0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方. 7.复数z＝x－2＋（3－x）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数x的取值范围是（3，＋∞）. 解析：∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴解得x＞3. 8.若z＝－2a＋1－（a2－a－6）i＝｜－3－4i｜，i是虚数单位，则实数a＝－2，｜z｜＝5. 解析：因为｜－3－4i｜＝5，所以由题意可得解得a＝－2，此时z＝5，故｜z｜＝5. 9.已知在△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为－1－5i. 解析：因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝（－1，2），＝（－2，－3），又＝－＝（－2，－3）－（－1，2）＝（－1，－5），所以 对应的复数为－1－5i. 10.在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i. （1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； （2）如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数. 解：（1）设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R）， 则点B的坐标为（x1，y1）， 由题意可知，点A的坐标为（2，1）. 根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1， 故z1＝2－i. （2）设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R）， 则点C的坐标为（x2，y2）， 由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1， 故z2＝－2－i. 11.在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数是（　　） A.2 B.－2i C.－3i D.3＋i 解析：B　复数3－i对应的点为（3，－），对应的向量按顺时针方向旋转，则对应的点为（0，－2），所得向量对应的复数为－2i. 12.若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数z＝（cos B－sin A）＋i（sin B－cos A）在复平面内所对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：B　因为A，B是锐角△ABC的两个内角，所以0＜A，B＜，＜A＋B＜π，所以0＜－A＜B＜.注意到正弦函数和余弦函数在（0，）范围内的单调性，我们有sin（－A）＜sin B，cos（－A）＞cos B，即cos A＜sin B，sin A＞cos B，于是cos B－sin A＜0，sin B－cos A＞0，所以复数z对应的点在第二象限. 13.定义：复数b＋ai是z＝a＋bi（a，b∈R）的转置复数，已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转置复数是－2＋i. 解析：由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2，所以复数z＝a＋bi＝1－2i，故复数z＝1－2i的转置复数是－2＋i. 14.已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i（a∈R）.若与共线，求a的值. 解：因为对应的复数为－3＋4i， 对应的复数为2a＋i， 所以＝（－3，4），＝（2a，1）. 因为与共线，所以存在实数k使＝k， 即（2a，1）＝k（－3，4）＝（－3k，4k）， 所以所以 即a的值为－. 15.〔多选〕已知复数z＝cos α＋（sin α）i（α∈R，i为虚数单位），下列说法正确的有（　　） A.当α＝－时，复平面内表示复数z的点位于第二象限 B.当α＝时，z为纯虚数 C.｜z｜的最大值为 D.z的共轭复数为＝－cos α＋（sin α）i（α∈R） 解析：BC　对于A，当α＝－时，z＝cos（－）＋［sin（－）］i＝－i，复平面内表示复数z的点的坐标为（，－），位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos ＋（sin ）i＝i，为纯虚数，故B正确；对于C，｜z｜＝＝，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cos α－（sin α）i，故D错误.故选B、C. 16.已知x为实数，复数z＝x－2＋（x＋2）i. （1）当x为何值时，复数z的模最小？ （2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值. 解：（1）｜z｜＝＝≥2， 当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2. （2）当复数z的模最小时，Z（－2，2）. 又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上， 所以2m＋n＝2. 又mn＞0， 所以m＞0，n＞0， 所以＋＝＝＋＋≥＋， 当且仅当n2＝2m2时等号成立. 又2m＋n＝2， 所以m＝2－，n＝2－2. 所以＋的最小值为＋， 此时m＝2－，n＝2－2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $