第5章 1.1 复数的概念(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦复数的概念这一核心知识点，从数系扩充的历史脉络（自然数到整数、有理数、实数的扩充）入手，通过方程x²=-1在实数范围内无解的问题引入虚数单位i，进而定义复数a+bi（a,b∈R），明确实部、虚部、分类（实数、虚数、纯虚数）及复数相等的充要条件，构建完整的知识支架。 资料以问题驱动引导数学抽象，通过数系扩充实例（如x²=7引入无理数）类比引出复数，结合“想一想”“判断正误”深化概念理解。题型涵盖概念辨析、分类、相等条件应用，例题解析强调通性通法培养数学运算素养。课中辅助教师高效授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升解题能力。

1.1　复数的概念 课标要求 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程（数学抽象）. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念（数学抽象）. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件（数学运算）. 　　数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 　　因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 　　因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解； 　　因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解. 【问题】　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　复数的有关概念 1.复数的定义 形如　a＋bi　（其中a，b∈R）的数叫作复数，其中i叫作　虚数单位　，满足i2＝　－1　.全体复数构成的集合称为复数集，记作　C　. 2.复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a称为复数z的　实部　，记作Re z，b称为复数z的　虚部　，记作Im z. 3.复数的分类 复数a＋bi（a，b∈R） 4.复数相等 两个复数a＋bi与c＋di（a，b，c，d∈R）相等，它们的　实部　相等且　虚部　相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当　a＝c　且　b＝d　. 【想一想】 1.两个复数能比较大小吗？ 提示：两个复数若是实数可以比较大小，否则不能比较大小. 2.0是复数吗？能否用a＋bi（a，b∈R）的形式表示？ 提示：是复数.因为0∈R且R⫋C，所以0∈C，实数0可以表示成0＋0i的形式，即0的实部和虚部都是0. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.（　×　） （2）复数i的实部不存在，虚部为0.（　×　） （3）bi是纯虚数.（　×　） （4）如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.（　√　） 2.已知复数z＝a2－（2－b）i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是（　　） A.，1 B.，5 C.±，5 D.±，1 解析：C　令得a＝±，b＝5. 3.已知x－2y＋3＋（x＋y）i＝0，则实数x＝－1，y＝1. 解析：因为x－2y＋3＋（x＋y）i＝0，所以所以 题型一｜对复数相关概念的理解 【例1】　〔多选〕下列命题中，错误的是（　　） A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 B.若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n C.在复数z＝x＋yi（x，y∈R）中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D.若a∈R，且a≠0，则（a＋3）i是纯虚数 解析：ABD　A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n.C正确，复数z＝x＋yi（x，y∈R）为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数.D错，只有当a∈R，且a≠－3时，（a＋3）i才是纯虚数. 通性通法 判断与复数概念有关命题真假的注意点 （1）正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系； （2）注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同； （3）注意通过列举反例来说明一些命题为假命题. 【跟踪训练】 下列命题中，正确的是（　　） A.1－ai（a∈R）是一个复数 B.形如a＋bi（b∈R）的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小 D.若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i 解析：A　由复数的定义知A正确；当a∈R，且b＝0时a＋bi（b∈R）表示实数，故B错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C错误；a＋i与b＋i不能比较大小，故D错误. 题型二｜复数的分类 【例2】　当m为何实数时，复数z＝＋（m2－2m－15）i： （1）是虚数； 解：当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数. （2）是纯虚数. 解：当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 【母题探究】 　（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？ 解：当 即m＝5时，z是实数. 通性通法 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部； （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可； （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 【跟踪训练】 　若复数（a2－3a＋2）＋（a－1）i是纯虚数，则实数a的值为（　　） A.1 B.2 C.1或2 D.－1 解析：B　根据复数的分类知，需满足解得即a＝2. 题型三｜复数相等的充要条件 【例3】　（1）已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值； 解：∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴ 解得或 （2）关于x的方程3x2－x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值. 解：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝（10－m－2m2）i， ∴ 解得a＝11或a＝－. 通性通法 　　两个复数相等，首先要分清两个复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得两个方程，从而可以确定两个独立参数. 【跟踪训练】 1.若a2＋am＋2＋（2a＋m）i＝0（m∈R）成立，则实数a＝±. 解析：由题意得解得或所以a＝±. 2.定义运算｜ac　bd｜＝ad－bc，如果（x＋y）＋（x＋3）i＝，求实数x，y的值. 解：由定义运算｜ac　bd｜＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi， 故有（x＋y）＋（x＋3）i＝3x＋2y＋yi. 因为x，y为实数，所以得得x＝－1，y＝2. 1.下列命题中正确的是（　　） A.若a∈R，则ai为纯虚数 B.复数－0.5i没有实部，只有虚部－0.5 C.若a，b，c，d∈R且a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d D.x＋yi的实部、虚部分别为x，y 解析：C　当a＝0时，0i＝0，故A不正确；复数－0.5i实部为0，虚部为－0.5，故B不正确，根据复数相等的充要条件知C正确；x＋yi中未标注x，y∈R，故若x，y为复数，则x＋yi的实部、虚部未必是x，y，D不正确. 2.设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（　　） A.－1　　　　B.1　　　　C.5　　　　D.7 解析：A　由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和为－1.故选A. 3.已知a∈R，若复数z＝a2＋2a＋ai是纯虚数，则a＝（　　） A.0 B.2 C.－1 D.－2 解析：D　因为z＝a2＋2a＋ai是纯虚数，所以解得a＝－2.故选D. 4.〔多选〕若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值可以为（　　） A.－1 B.2 C.1 D.－2 解析：AB　因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2. 5.复数z1＝（2m＋7）＋（m2－2）i，z2＝（m2－8）＋（4m＋3）i，m∈R，若z1＝z2，则m＝5. 解析：因为m∈R，z1＝z2，所以（2m＋7）＋（m2－2）i＝（m2－8）＋（4m＋3）i.即解得m＝5. 　　 1.复数z＝3－6i（i为虚数单位）的虚部为（　　） A.－6　　　B.6 C.3　　　　D.－6i 解析：A　由复数的概念知，复数z＝3－6i的虚部为－6.故选A. 2.在给出的下列几个命题中正确的是（　　） A.若x是实数，则x可能不是复数 B.若z是虚数，则z不是实数 C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 D.－1没有平方根 解析：B　因为实数是复数，故A错误，B正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错误；因为－1在复数范围内的平方根为i，故D错误. 3.以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是（　　） A.3－3i B.3＋i C.－＋i D.＋i 解析：A　3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A. 4.设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立.所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件. 5.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 024i＝2－bi，则a2＋bi＝（　　） A.2 024＋2i B.2 024＋4i C.2＋2 024i D.4－2 024i 解析：D　因为a＋2 024i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 024，即a＝2，b＝－2 024，所以a2＋bi＝4－2 024i. 6.〔多选〕已知复数z＝cos α＋icos 2α（0＜α＜2π）的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为（　　） A. B. C.π D. 解析：ACD　由题意得cos α＝－cos 2α，所以2cos2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或.因为0＜α＜2π，所以α＝π或或. 7.若x是实数，y是纯虚数，且（2x－1）＋2i＝y，则x，y的值分别为，2i. 解析：由（2x－1）＋2i＝y，得 解得x＝，y＝2i. 8.若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝5. 解析：由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋b2＝5. 9.如果（m2－1）＋（m2－2m）i＞1则实数m的值为2. 解析：由题意得解得m＝2. 10.当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i是： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0. 解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3， 由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3. （1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或m＝－3. （2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3. （3）当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2. （4）当时，复数z是0，∴m＝－3. 11.〔多选〕有下列四个命题，其中正确的是（　　） A.方程2x－5＝0在自然数集N中无解 B.方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解 C.x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解 D.x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解 解析：ABD　方程2x－5＝0的根为x＝∈/N，故方程在自然数集N中无解，因此A正确；方程2x2＋9x－5＝0，即（2x－1）（x＋5）＝0，故在整数集Z中有一解－5，在有理数集Q中有两解－5和，因此B正确；x4＝1在R中有两解±1，在复数集C中有四解±1，±i，因此C错误；x＝i代入方程x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解，因此D正确. 12.〔多选〕已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（　　） A.若a≠0，则ai是纯虚数 B.虚部为－的虚数有无数个 C.实数集是复数集的真子集 D.两个复数相等的一个必要不充分条件是它们的实部相等 解析：BCD　若a＝i，则ai＝i2＝－1，不是纯虚数，故A错误；虚部为－的虚数可以表示为m－i（m∈R），有无数个，故B正确；根据复数的分类，C正确；两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D正确. 13.若复数z＝＋i是纯虚数（i为虚数单位），则tan＝－7. 解析：由题知cos θ－＝0，sin θ－≠0，∴cos θ＝，sin θ＝－，∴tan θ＝－，则tan＝＝－7. 14.分别求满足下列条件的实数x，y的值： （1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i； （2）＋（x2－2x－3）i＝0. 解：（1）∵x，y∈R，∴由复数相等的定义， 得解得 （2）∵x∈R，∴由复数相等的定义， 得即 ∴x＝3. 15.已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝（　　） A.3＋i B.3－i C.－3－i D.－3＋i 解析：B　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即解得∴z＝3－i. 16.已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. （1）若z1为纯虚数，求实数m的值； （2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 解：（1）∵z1为纯虚数， 则解得m＝－2. （2）由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $