第2章 2.1 向量的加法-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

2.1　向量的加法 1 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法法则，并理解几何意义（数学抽象）. 2.掌握平面向量加法的运算律，会进行向量的加法运算（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 如图所示，李敏同学上午从家（点A）到达了公园（点B），下午从 公园（点B）到达了舅舅家（点C）. 【问题】　（1）分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这 一天的位移； （2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　向量的加法 1. 向量加法的定义及运算法则 定 义 求 的运算，称为向量的加法 运算 法 则 三角 形法 则 前提 已知非零向量a，b 作法 作有向线段 ＝a，以有向线段 的 为起点，作有向线段 ＝b，连接A，C得到有向线段 两个向量和　 终点　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 运 算 法 则 三 角 形 法 则 结 论 向量 叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝ ⁠ 图 形 　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 向量加法的运算律 运 算 律 交换律 a＋b＝ ⁠ 结合律 （a＋b）＋c＝ ⁠ 　　提醒：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与实质：①区 别，（ⅰ）三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是 “共起点”；（ⅱ）三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行 四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和；②实质，三角形法则作出的 图形是平行四边形法则作出图形的一半，当两个向量不共线时，两种加法 法则在本质上是一致的. b＋a　 a＋（b＋c）　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 　借助向量加法的三角形法则，对任意不共线的两个向量a，b，｜a＋ b｜与｜a｜＋｜b｜，｜a｜－｜b｜之间有怎样的大小关系？ 提示：由向量加法的三角形法则及三角形的性质可知，｜a｜－｜b｜ ＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两向量的和可能是一个数量. （　×　） （2） ＋ ＝ . （　√　） （3）矩形ABCD中， ＋ ＝ . （　√　） 2. 在△ABC中， ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析：在△ABC中，由向量的加法运算可得， ＋ ＝ .故选A. × √ √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 正方形ABCD中，｜ ｜＝1，则｜ ＋ ｜＝ ⁠. 解析：因为在正方形ABCD中， 所以△ABD为等腰直角三角形， 所以｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜求作向量的和 【例1】　（1）如图①所示，求作向量a＋b； 解：首先作向量 ＝a，然后作向量 ＝b，则向量 ＝a＋b.如图③所示. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解：法一（三角形法则）　如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，再作向量 ＝b，则得向量 ＝a＋b，然后作向量 ＝c，则向量 ＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二（平行四边形法则）　如图⑤所示，首先在平面内任取一点O，作向 量 ＝a， ＝b， ＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接 OD，则 ＝ ＋ ＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接 OE，则 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求作向量和的方法 （1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将其中一向 量的起点平移至该点，之后再将其他向量平移并首尾相接，从一个向量的 始点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和； （2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个 向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取 的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　如图，已知正方形ABCD， ＝a， ＝b， ＝c，试作向量a＋b＋c. 解：由已知得a＋b＝ ＋ ＝ ， 又 ＝c，如图，延长AC至点E，使｜ ｜＝｜ ｜， 则a＋b＋c＝ ， 即为所求向量. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜向量加法的运算律 【例2】　（1）化简： ① ＋ ； ② ＋ ＋ ； ③ ＋ ＋ ＋ ＋ . 解：① ＋ ＝ ＋ ＝ ； ② ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0； ③ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝0. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的 中点，化简下列各式： ① ＋ ＋ ； ② ＋ ＋ ＋ . 解：① ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ； ② ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现合理 利用向量加法法则运算的目的. 实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可 以按照任意的次序、任意的组合来进行； （2）应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾 相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知正六边形ABCDEF，则 ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 0 解析：　因为ABCDEF为正六边形，所以 ＝ ，所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 〔多选〕设a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ），b是一个非零向量，则 下列结论正确的有（　　） A. a∥b B. a＋b＝a C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜ 解析：由题意，向量a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由｜a＋b｜＝｜b｜，｜a｜＋｜b｜＝｜b｜，所以｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，所以D不正确.故选A、C. √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜向量加法的实际应用 【例3】　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船 从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解：作出图形，如图.船速v船与岸成α角，由图可知v水＋v船 ＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v水｜＝10 m/min，｜ ｜＝｜v船｜＝20 m/min， ∴ cos α＝ ＝ ＝ ，∴α＝60°. 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 1. （变条件）本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他条件 不变，求船实际行进的方向的正切值（相当于与河岸的夹角）. 解：如图所示，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v船｜＝20 m/min，｜ ｜＝｜v水｜＝10 m/min， 则tan∠BAC＝ ＝2，即为所求. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. （变设问）若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少 km？ 解：由题意可知｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×20＝10 （m/min）＝ （km/h），则经过3小时，该船的实际航程是3× ＝ （km）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 应用向量加法的关键及技巧 （1）三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练 找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出两 个向量的和； （2）应用技巧：准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量； 将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进 行求解. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力为F1，｜ F1｜＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力为F2，｜F2｜＝12 N，则F1与 F2的合力大小为 ，方向为 ⁠. 12 N 竖直向上 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：如图，以OA，OB为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝ ＋ ＝ . ∵∠OAC＝60°，｜ ｜＝24，｜ ｜＝｜ ｜＝12， ∴∠ACO＝90°，∴｜ ｜＝12 ， ∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 化简 ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. 0 D. √ 解析：　 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . 2. 已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是（　　） A. ＋ ＝ B. ＋ ＝ C. ＋ ＝ D. ＋ ＝ √ 解析：　由加法的平行四边形法则可知 ＋ ＝ ，即（－ ）＋ ＝ ，所以 ＋ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 在矩形ABCD中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，则向量 ＋ 的长度 为（　　） A. 2 B. 4 C. 12 D. 6 解析：　因为在矩形ABCD中 ＋ ＝ ，又｜ ｜＝ ＝ 2 ，所以向量 ＋ 的长度为2 . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 〔多选〕对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为 的是（　　） A. ＋ ＋ B. ＋ ＋ C. ＋ ＋ D. ＋ ＋ 解析：在A中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在B中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在C中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在D中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . √ √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位 移的方向是 ⁠. 解析：如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则 tan∠BAC＝ ＝ ＝ ， ∵∠BAC是三角形的内角， ∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°. 南偏东30° 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 向量 ＋ ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则 向量a＋b表示（　　） A. 向东北方向航行2 km B. 向北偏东30°方向航行2 km C. 向北偏东60°方向航行2 km D. 向东北方向航行（1＋ ）km 解析：　如图，易知tan α＝ ，所以α＝30°. 故a＋b的方向是北偏东30°.｜a＋b｜＝ ＝2 （km）.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则｜ ＋ ＋ ｜ ＝（　　） A. 1 B. 2 C. D. 解析：　∵ ＝ ，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，∵AB ＝1，∴｜ ＋ ＋ ｜＝｜ ｜＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 若在△ABC中，AB＝AC＝1，｜ ＋ ｜＝ ，则△ABC的形状是 （　　） A. 正三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，｜ ＋ ｜＝ ，∴AD＝ ，∴∠ABD为直角，则该四边形为正方 形.∴∠BAC＝90°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕设a＝ ＋ ＋ ＋ ，b是任一非零向量，则下列结论 中正确的是（　　） A. a∥b B. a＋b＝a C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜ 解析：因为a＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0，b是任一非零向量，所以a∥b，A正确；a＋b＝b，B错误，C正确；｜a＋b｜＝｜b｜，所以｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，D错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知a∥b，｜a｜＝2｜b｜＝8，则｜a＋b｜的值可能为 （　　） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 解析：　由a∥b可知，a，b共线，｜a｜＝2｜b｜＝8可得，｜a｜ ＝8，｜b｜＝4，当a，b方向相同，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜＝12， 当a，b方向相反，｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜＝4.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则 ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知｜a｜＝｜b｜＝1，则｜a＋b｜的取值范围为 ，当｜ a＋b｜取得最大值时，向量a，b的方向 ⁠. 解析：当两向量反向时｜a＋b｜最小，此时｜a＋b｜＝0；当两向量同 向时，｜a＋b｜最大，此时｜a＋b｜＝2，所以｜a＋b｜的取值范围为 [0，2]. [0，2] 相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知｜ ｜＝3，｜ ｜＝3，∠AOB＝90°，则｜ ＋ ｜ ＝ ⁠. 解析：以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由∠AOB＝90°，｜ ｜＝｜ ｜＝3，所以该四边形为正方形，则｜ ＋ ｜＝ ＝3 . 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC. 求证： ＋ ＝ ＋ . 证明：因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ .因为 与 大小相等，方向相反，所以 ＋ ＝0， 故 ＋ ＝ ＋ ＋0＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（　　） A. ＋ ＝ B. ＋ ＋ ＝ C. ＋ ＋ ＝ D. ＋ ＋ ＝0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由向量加法的平行四边形法则，得 ＋ ＝ ，故A正确； ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ≠ ，故B错误； ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故C正确； ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，故D正确.选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 若P为△ABC的外心，且 ＋ ＝ ，则∠ACB＝ ⁠. 解析：因为 ＋ ＝ ，则四边形APBC是平行四边形.又P为△ABC 的外心，所以｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜.因此∠ACB＝120°. 120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 一条河两岸平行，河的宽度为240 m，一个人从岸边游向对岸，已 知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟12 m，水流速度大小为每分钟 12 m. （1）当此人垂直游向河对岸时，他实际前进速度的大小为每分 钟 m； 解析：由题意作图如图①所示，由图可知，他实际前进速度的大小为每分钟 ＝24（m）. 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）当此人游泳距离最短时，他游到河对岸需要 分钟. 解析：由题意作图如图②所示，此时实际前进速度的大小为每分钟 ＝12 （m）， 故他游到河对岸需要 ＝20（分钟）. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且｜ ｜＝｜ ｜＝ 1， ＋ ＝ ＋ ＝0， cos ∠DAB＝ .求｜ ＋ ｜与｜ ＋ ｜的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：∵ ＋ ＝ ＋ ＝0， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又｜ ｜＝｜ ｜＝1， ∴四边形ABCD为菱形. 又 cos ∠DAB＝ ，0°＜∠DAB＜180°， ∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形， ∴｜ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝ ，｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. P为四边形ABCD所在平面上一点， ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ，则P为（　　） A. 四边形ABCD对角线的交点 B. AC的中点 C. BD的中点 D. CD边上一点 解析：　因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝0.所以P为线段 AC的中点.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点.求证： ＋ ＋ ＝0. 证明：由题意知， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ . ∵D，E，F分别为△ABC三边BC，AC，AB的中点，由平面几何知识可 知， ＝ ， ＝ ， ∴ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ （ ＋ ＋ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋ ＋ ＋ ＋ ）＋0＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $