第2章 1.1 位移、速度、力与向量的概念 1.2 向量的基本关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

1.1　位移、速度、力与向量的概念　1.2　向量的基本关系 1 1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景（数学抽象）. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素（直观想象）. 3.了解平面向量共线和向量相等的含义及向量的夹角（数学抽象、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　我们在物理学中已经知道，力是矢量（既有大小，又有方向），如 图，放在水平桌面上的物体A. 【问题】　（1）物体A受到哪些力的作用？ （2）物体A受到的力应怎样表示？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　向量的概念与表示 1. 向量的背景——位移、速度、力 在物理学中，我们学习过“位移”“速度”和“力”等物理量. 位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面 积、质量等只有大小的量不同. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 向量的概念及表示方法 向 量 既有大小又有方向的量统称为向量； 那些只有大小没有方向的量称为数量（如年龄、长度、质量、面积、 体积等） 有 向 线 段 在数学中，这种具有方向和长度的线段称为有向线段（如图），以A 为起点，B为终点的有向线段，记作 .线段AB的长度称为有向线段 的长度，记作｜ ｜ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 向 量 的 表 示 几何表示 字母表示 向量可以用有向线段表示，其中有向线 段的长度表示向量的 ，箭头所 指的方向表示向量的 ⁠ 向量也可以用黑斜体小写字 母如a，b，c，…或 ， ， ，…（书写）来表示 大小　 方向　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 向量的相关概念 向量的模 向量a的大小，记作 ，又称作向量的模 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作 或 单位向量 模等于1个单位长度的向量称为 ⁠ ｜a｜　 0　 单位向量 数学·必修第二册（BSD） 目 录 向量 有向线段 区别 ①向量有大小和方向两个要 素；②向量是可以自由平移的 ①有向线段有起点、方向、长度 三个要素；②有向线段是固定的 线段 联系 有向线段是向量的几何表示，一条有向线段对应着一个向量，但 一个向量对应着无数多条有向线段 　　提醒：有向线段和向量的区别与联系 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　向量的基本关系 1. 相等向量 相等向量是指它们的长度 且方向 .向量a与b相等，记作 a＝b. 2. 共线（平行）向量 若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或 平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作 ⁠. 规定：零向量与任一向量共线，即对任意的向量a，都有 ⁠. 相等　 相同　 a∥b　 0∥a　 3. 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.相反向量是 共线向量.a的相反向量记作 .零向量的相反向量仍是 ⁠. －a　 零向量　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作 ＝a， ＝b，则θ＝∠AOB （ ≤θ≤ ）称为向量a与b的 夹角； （2）性质：当θ＝ 时，a与b同向；当θ＝ 时，a与b 反向； （3）向量垂直：如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记 作 ⁠. 规定：零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有 ⁠. 0°　 180°　 0°　 180°　 90°　 a⊥b　 0⊥a　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 所有的单位向量都相等吗？ 提示：不一定.单位向量指的是长度为1个单位长度的向量，方向不一定相 同，故并非所有单位向量都相等. 2. 若向量 与 共线，则A，B，C，D四点一定共线吗？ 提示：不一定.向量 与 共线指的是向量 与 方向相同或相反， 但表示向量 与 的有向线段的端点并非在一条直线上. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）向量同数量一样可以比较大小. （　×　） （2）两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行. （　×　） （3）向量就是有向线段. （　×　） × × × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 设O为△ABC外接圆的圆心，则 ， ， 是（　　） A. 相等向量 B. 平行向量 C. 模相等的向量 D. 起点相同的向量 √ 3. 在等边三角形ABC中， 与 的夹角是 ，点E为BC中 点，则 与 的夹角为 ⁠. 解析：根据圆的性质可知 ， ， 是模相等的向量.故选C. 120° 90° 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜向量的有关概念 【例1】　给出以下说法： ①若｜a｜＝0，则a为零向量；②若a与b共线，则a与b的方向相同或相 反；③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量. 其中正确说法的序号是 ⁠. 解析：①正确，模等于0的向量是零向量； ②错误，由于零向量与任一向量共线，且方向是任意的，因此，当a与b 共线且其中有一个为零向量时，它们的方向不一定相同或相反； ③正确，对于一个向量只要不改变其模的大小和方向，是可以任意移动 的，因此相等向量可以起点不同. ①③ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 判断一个量是否为向量的两个关键条件 （1）有大小； （2）有方向.两个条件缺一不可. 2. 理解零向量和单位向量应注意的问题 （1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； （2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 向量 的长度与向量 的长度相等 B. 零向量与任意非零向量平行 C. 长度相等方向相反的向量共线 D. 方向相反的向量可能相等 √ √ √ 解析：向量 与向量 的方向相反，长度相等，故A正确；规定零向量与任意向量平行，故B正确；能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.故选A、B、C. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜向量的表示及应用 【例2】　一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100 km到达点B，然后又 改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达点C，最后又改变方向，向正东 行驶了100 km到达点D. （1）作出向量 ， ， ； 解：所作向量如图所示. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）说出向量 的大小和方向. 解：由题意，易知 与 方向相反，所以 与 共线. 因为｜ ｜＝｜ ｜，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝ CD. 所以四边形ABCD为平行四边形. 所以｜ ｜＝｜ ｜＝200（km），且AD∥BC，所以 与 同向， 即 的方向也是北偏西40°，且｜ ｜＝200（km）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 画向量的方法及注意事项 （1）方法：①确定向量的起点；②根据运动方向确定向量的方向，并根 据向量的大小确定向量的终点； （2）注意事项：用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起 点、长度和终点，三者缺一不可. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东 75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A 地多远？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：如图所示， 表示飞机从A地按北偏西15°方向飞 行到B地的位移，则｜ ｜＝1 400（km）. 表示飞机 从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则｜ ｜ ＝1 400（km）. 所以 表示飞机从A地到C地的位移. 在△ABC中，AB＝BC＝1 400（km），且∠ABC＝75° －15°＝60°，故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝ 60°，AC＝1 400（km）. 所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A 地1 400 km. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜相等向量与共线（平行）向量 【例3】　O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正 方形，在如图所示的向量中： （1）分别找出与 ， 相等的向量； 解： ＝ ， ＝ . （2）找出与 共线的向量； 解：与 共线的向量有： ， ， . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）找出与 模相等的向量； 解：与 模相等的向量有： ， ， ， ， ， ， . （4）向量 与 是否相等？ 解：向量 与 不相等，因为它们的方向不相同. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相 等，与起点和终点的位置无关.对于共线向量，则只要判断它们是否同向 或反向即可. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 〔多选〕如图，在四边形ABCD中，若 ＝ ，则图中相等的向量是（　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解析：　因为 ＝ ，所以四边形ABCD是平行四边形，所以 ＝ ， ＝ ， ＝－ ， ≠ .故选A、D. √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜向量的夹角 【例4】　如图，O是正六边形ABCDEF的中心，分别求出 与 ， 与 ， 与 的夹角. 解：由题意知△OAB，△OBC，△OCD，△OED，△OEF，△OFA均为 等边三角形. ∴ 与 的夹角是∠DOB＝120°， 与 的夹角是∠DOE＝60°， 与 的夹角等于 与 的夹 角，设夹角为θ， ∴ 与 的夹角θ＝60°. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　在求两个向量的夹角时，一定要明确夹角的定义，只有当表示两个向 量的有向线段的起点重合时，所形成的角才是向量的夹角.当表示两个向 量的有向线段的终点重合时，所形成的角也是向量的夹角；当表示两个向 量的有向线段的起点与终点重合时，所形成的角是向量的夹角的补角. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　在正三角形ABC中，下列各组向量夹角相等的组数是（　　） ① 与 ；② 与 ；③ 与 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 √ 解析：　如图所示，由于在正三角形ABC中， 与 的夹角是60°， 与 的夹角是60°， 与 的夹 角是60°，因此有3组夹角相等的向量.故选C. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 下列说法错误的是（　　） A. 若a＝0，则｜a｜＝0 B. 零向量是没有方向的 C. 零向量与任一向量平行 D. 零向量的方向是任意的 解析：　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以 B是错误的. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. “｜a｜＝｜b｜”是“a＝b”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　当｜a｜＝｜b｜时，因向量a，b的方向不一定相同，则a与b 不一定相等，当a＝b时，必有｜a｜＝｜b｜，所以“｜a｜＝｜b｜” 是“a＝b”的必要不充分条件.故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 〔多选〕下列说法中正确的有（　　） A. 单位向量的长度大于零向量的长度 B. 零向量与任一单位向量平行 C. 向量 和向量 互为相反向量 D. 任意两个向量都有夹角 解析：单位向量的长度为1，零向量的长度为0，A正确；零向量与任一向量平行，B正确；因为向量 和向量 是方向相反，模相等的两个向量，C正确；定义两个非零向量存在夹角，而零向量与任何向量不存在夹角，D不正确. √ √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 给出下列命题：①｜ ｜＝｜ ｜；②向量a与向量b的方向相同或 相反，则a∥b；③方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量 是共线向量.其中，正确的命题的序号是 ⁠. 解析：由①知 与 互为相反向量，它们的模一定相等，①正确.对于 ②，由共线向量的定义可知②正确.对于③，表述的两向量为方向相反的 向量，两向量一定共线，③正确. ①②③ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 如图所示，已知小正方形的边长为1，则向量 的长度是 ⁠， 与 夹角的大小为 ⁠. 解析：｜ ｜＝ ＝2 ，｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ 5，则BA2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°，即 与 夹角的大小为90°. 2 90° 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其 中是向量的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 解析：②③④⑤是向量. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是（　　） A. 与 的夹角是锐角 B. 与 的夹角是锐角 C. 与 的夹角是钝角 D. 与 的夹角是锐角 解析：由两向量夹角的定义知， 与 的夹角的大小是180°－∠B，为钝角， 与 的夹角是∠A，为锐角， 与 的夹角与∠C的大小相等，为锐角， 与 的夹角的大小是180°－∠C，为钝角.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 下列说法中正确的是（　　） A. 若a∥b，b∥c，则a∥c B. 若a＝b，b＝c，则a＝c C. a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b D. 若 ＝ ，则A，B，C，D必在同一条直线上 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　若b＝0，a与c均为非零向量，则此时a∥b，b∥c一定成立， 但a与c不一定平行，A错误；由相等向量的定义可知B正确；当a＝b 时，｜a｜＝｜b｜且a∥b，必要性成立；当｜a｜＝｜b｜且a与b方向 相反时，不能得到a＝b，充分性不成立，所以“｜a｜＝｜b｜且 a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件，C错误；平行四边形ABCD中， ＝ ，但A，B，C，D不在同一条直线上，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知四边形ABCD中， ＝ ，并且｜ ｜＝｜ ｜，则四边形 ABCD是（　　） A. 菱形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D. 长方形 解析：因为 ＝ ，所以｜ ｜＝｜ ｜，且 ∥ ，所以四边形ABCD为平行四边形，又｜ ｜＝｜ ｜，所以四边形ABCD为菱形.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C ＝{与a长度相等、方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中 正确的是（　　） A. C⫋A B. A∩B＝{a} C. C⫋B D. A∩B⫌{a} 解析：因为A∩B＝{a，－a}，所以A、C、D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是（　　） A. ＝ B. ｜ ｜＝｜ ｜ C. ＞ D. ∥ 解析： 与 显然方向不相同，故不是相等向量，故A错误；｜ ｜与｜ ｜表示等腰梯形两腰的长度，所以｜ ｜＝｜ ｜，故B正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以 ∥ ，故D正确.故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当 与 是平行向量， 且｜ ｜＝2｜ ｜＝2时，｜ ｜＝ ⁠. 解析：当 与 同向时，｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝3；当 与 反向时，｜ ｜＝｜ ｜－｜ ｜＝1. 3或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则 的值为 ⁠. 解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所 以D为PA的中点，所以 的值为1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6 个向量中： （1）有两个向量的模相等，这两个向量是 ，它们的模都等 于 ⁠； 解析：模相等的两个向量是 ， ，｜ ｜ ＝｜ ｜＝ ＝ . ， ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）存在着共线向量，这些共线的向量是 ，它们的模的和 等于 ⁠. 解析：共线的向量是 ， ，且｜ ｜＋｜ ｜＝2 ＋3 ＝5 . ， 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 如图，等边△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点， 指出如下各组向量的夹角： （1） 与 ； 解： 与 的夹角是∠EDA＝120°. （2） 与 ； 解：因为 ＝ ，所以 与 的夹角等于 与 的夹角，即∠FDA＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3） 与 . 解：如图，延长FD至B'，使DB'＝FD，则 '＝ ，则 与 的夹角等于 与 '的夹角，即∠FDB'＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕如图所示，△ABC和△A'B'C'是在各边的三等分点处相交的两 个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中画出了若干个向量，则 下列说法中正确的是（　　） A. ｜ ｜＝｜ ｜ B. 与 夹角的大小为60° C. 与向量 相等的向量有5个 D. 与向量 共线且模相等的向量有5个 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由题意可知｜ ｜＝｜ ｜，故A正确； 与 夹角的大小为120°，故B错误；与向量 相等的向量有 ， ，共2个，故C错误；与向量 共线且模相等的向量有 ， ， ， ， ，共5个，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE 与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是（　　） A. ｜ ｜＝｜ ｜ B. 与 共线 C. 与 共线 D. 与 共线 解析：∵三个四边形都是菱形，∴｜ ｜＝｜ ｜，AB∥CD∥FH，故 与 共线.又三点D，C，E共线，∴ 与 共线，故A、B、D都正确.故选A、B、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且 ∠OCB＝30°，｜ ｜＝2，则｜ ｜＝ ⁠. 解析：连接AC（图略），由｜ ｜＝｜ ｜，得∠ABC＝∠OCB＝ 30°，又∠ACB＝90°，则｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×2＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又 向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地. （1）在如图所示的坐标系中画出 ， ， ， ； 解：向量 ， ， ， 如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求B地相对于A地的位置向量. 解：由题意知 ＝ ， ∴AD􀱀BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴ ＝ ， ∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则｜ ｜ ＝ ⁠. 解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝ AB＝1.在Rt△ABO中，易得｜ ｜＝ ，∴｜ ｜＝2｜ ｜＝2 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 如图，某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后沿北偏西一 定角度的某方向行走了100 m后到达点C，最后向东走了200 m后到达 点D，发现点D在点B的正北方. （1）作出向量 ， ， ， ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：根据题意可知，点B在坐标系中的 坐标为（－200，0）.因为点D在点B的正北 方，点C在点D的正西方，所以BD⊥AB， CD⊥BD. 又｜ ｜＝100 ，｜ ｜＝200，所 以｜ ｜＝300，即D，C两点在平面直角 坐标系中的坐标分别为（－200，300）， （－400，300）. 作出 ， ， ， 如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求 的模. 解：由题意可知，CD∥AB且CD＝AB＝200， 所以四边形ABCD是平行四边形， 则｜ ｜＝｜ ｜＝100 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $