第1章 7.3 正切函数的图象与性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

7.3　正切函数的图象与性质 1 1.能够正确画出正切函数的图象（数学抽象）. 2.会通过正切函数的图象研究其性质（逻辑推理）. 3.能运用正切函数图象与性质解决问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　正切函数在实际测量中的应用是十分广泛的，例如，测量山的高度、 测量池塘的宽度都需要利用正切函数进行解决. 【问题】　你能够类比研究正弦函数和余弦函数的方法，研究正切函数的 图象和性质吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　正切函数的图象与性质 1. 正切函数的图象 （1）正切函数y＝tan x的图象： 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）正切函数的图象称作 ⁠； （3）正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线 ⁠ 所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的 渐近线. 正切曲线　 x＝ ＋kπ （k∈Z）　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 ⁠ 值域 ⁠ 奇偶性 ⁠函数 单调性 单调递增区间： ⁠； 单调递减区间： ⁠ {x∈R｜x≠ ＋kπ，k∈Z} R 奇　 （k∈Z）　 无　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 周期性 周期是kπ，k∈Z，k≠0，最小正周期是 ⁠ 对称中心 （k∈Z） 　　提醒：（1）正切函数在定义域上不具备单调性，在每一个单调区间 内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，无单调 递减区间，没有最大值和最小值；（2）画正切函数图象常用三点两线 法：“三点”是指 ，（0，0）， ，“两线”是指x＝ － 和x＝ ，大致画出正切函数在 上的简图后向左、右平移即 得正切曲线. π　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正切函数的定义域和值域都是R. （　×　） （2）正切函数在R上是增函数. （　×　） （3）正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心. （　√　） （4）正切函数的最小正周期为π. （　√　） × × √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝tan x的对称中心坐标可统一表示为（　　） A. （kπ，0）（k∈Z） B. （k∈Z） C. （k∈Z） D. （2kπ，0）（k∈Z） 解析：　y＝tan x的图象与x轴的交点以及x轴上使y＝tan x无意义的点都 是对称中心. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数y＝tan x，x∈ 的值域是 ⁠. 解析：函数y＝tan x在 上单调递增，所以ymax＝tan ＝1，ymin＝tan 0＝0. [0，1] 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜正切函数的定义域及值域 【例1】　（1）函数y＝3tan 的定义域为　 ； 解析：由 － ≠ ＋kπ，k∈Z，得x≠－ －4kπ，k∈Z， 即函数的定义域为 . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）函数y＝tan2x－2tan x 的值域为 　[－1，3＋2 ]　. 解析：令u＝tan x，∵｜x｜≤ ，∴由正切函数的图象知u∈[－ ， ]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－ ， ]，∵二次函数y＝u2 －2u＝（u－1）2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u＝1时， ymin＝－1，当u＝－ 时，ymax＝3＋2 ，∴原函数的值域为[－1，3＋ 2 ]. [－1，3＋2 ] 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 求与正切函数有关的函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要 求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠ ＋kπ，k∈Z. 而对于构 建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解； （2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要 将“ωx＋φ”视为一个“整体”.令ωx＋φ≠kπ＋ ，k∈Z，解得x. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 求与正切函数有关的函数值域的方法 （1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图 象，利用单调性求值域； （2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法 求值域. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数y＝ 的定义域为  　. 解析：依题意有tan x－1≠0，所以tan x≠1.所以x≠kπ＋ ，k∈Z. 又 x≠kπ＋ ，k∈Z，故函数定义域为. ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝3tan（π＋x），－ ＜x≤ 的值域为 　（－3， ]　. 解析：函数y＝3tan（π＋x）＝3tan x，因为正切函数在 上单调递 增，所以－3＜y≤ ，所以值域为（－3， ]. （－3， ] 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜正切函数的图象及应用 角度1　正切函数的图象 【例2】　作出函数y＝tan｜x｜的图象，并判断函数的奇偶性及周期性. 解：因为y＝tan｜x｜ ＝ 所以当x≥0时，函数y＝tan｜x｜在y轴右 侧的图象即为y＝tan x在y轴右侧的图象. 当x＜0时，函数y＝tan｜x｜在y轴左侧的图象为y＝tan x在y轴右侧的图象关于y轴对称的图象，如图所示. 由图象知，函数y＝tan｜x｜是偶函数，但不是周期函数. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　作正切函数的图象时，先画一个周期内的图象，再把这一图象向左、 右平移.从而得到正切函数的图象，通过图象的特点，可用“三点两线 法”，这“三点”是（－ ，－1），（0，0），（ ，1），“两线”是 直线x＝± 为渐近线. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 函数y＝tan（ x－ ）在一个周期内的图象是（　　） 解析：　当x＝ 时，tan（ × － ）＝0，排除C、D；当x＝ 时， tan（ × － ）＝tan ，无意义，排除B. 故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　利用正切函数图象解不等式 【例3】　解不等式tan x≥－1. 解：作出y＝tan x一个周期的图象，如图所示. 令y＝－1，得x＝－ ，所以在 中满足不等式tan x≥－1的x的取值范围为 . 由正切函数的周期性可知，原不等式的解集为 （k∈Z）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用正切函数图象解不等式问题的方法 　　解决此类问题，一般根据函数的图象利用数形结合直接写出自变量的 取值范围，但要注意是否包含端点值，切记正切函数的最小正周期为π. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 （1）求满足－ ＜tan x≤1的x的集合； 解：根据正切函数的图象可知， 在 上，满足－ ＜tan x≤1的x的取值范围是 ， 而正切函数的周期是kπ，k∈Z. 故满足－ ＜tan x≤1的x的集合是{x｜kπ－ ＜x≤kπ＋ ，k∈Z}. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求不等式tan ≥－1的解集. 解：由正切函数的图象，可知－ ＋kπ≤2x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z，解得－ ＋ ≤x＜ ＋ ，k∈Z， 所以原不等式的解集为{x｜－ ＋ ≤x＜ ＋ ，k∈Z}. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜正切函数的单调性及应用 【例4】　（1）比较大小：tan 和tan ； 解：∵tan ＝－tan ＝tan ， tan ＝－tan ＝tan . 又0＜ ＜ ＜ ，y＝tan x在 内单调递增， ∴tan ＜tan ，即tan ＞tan . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数y＝tan 的单调区间. 解：y＝tan ＝－tan ， 由kπ－ ＜ x－ ＜kπ＋ （k∈Z）， 得2kπ－ ＜x＜2kπ＋ （k∈Z）， ∴函数y＝tan 的单调递减区间是 （k∈Z），无单调递增区间. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 求函数y＝Atan（ωx＋φ）（A，ω，φ都是常数）的单调区间的方法 （1）若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都单调递增，故可用 “整体代换”的思想，令kπ－ ＜ωx＋φ＜kπ＋ （k∈Z），求得x的范 围即可； （2）若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan（ωx＋φ）转化为y＝ Atan[－（－ωx－φ）]＝－Atan（－ωx－φ），即把x的系数化为正值， 再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 运用正切函数单调性比较大小的方法 （1）运用函数的周期性或诱导公式将角转化到同一单调区间内； （2）运用正切函数单调性比较大小关系. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 （1）比较tan 与tan 的大小； 解：tan ＝tan ＝－tan ，tan ＝tan ＝－tan . 因为0＜ ＜ ＜ ，且y＝tan x在区间 上单调递增，所以tan ＞ tan ， 所以－tan ＜－tan ，即tan ＜tan . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数y＝3tan 的单调区间. 解：y＝3tan ＝－3tan ， 由－ ＋kπ＜2x－ ＜ ＋kπ（k∈Z），得－ ＋ ＜x＜ ＋ （k∈Z）， 所以函数y＝3tan 的单调递减区间为 （k∈Z），无单调递增区间. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 【例5】　（1）若f（x）＝tan ωx（ω＞0）的周期为1，则f 的值为 （　D　） A. － B. － C. D. 解析：依题意T＝ ＝1，ω＝π，所以f（x）＝tan πx.所以f ＝tan ＝ .故选D. D 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）函数f（x）＝ 的奇偶性是（　A　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 既不是奇函数，也不是偶函数 A 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：要使函数f（x）有意义 ，必须满足 即x≠kπ ＋ ，且x≠（2k＋1）π（k∈Z），所以函数f（x）的定义域关于原点对 称，又f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），所以f（x）＝ 是奇函数. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略 （1）一般地，函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期为T＝ ，常常 利用此公式来求周期； （2）判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对 称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f（－x）与f（x） 的关系. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 〔多选〕已知函数f（x）＝tan（ x＋ ），则下列结论正确的是（　　） A. 函数f（x）的定义域为 B. 函数f（x）的最小正周期为T＝4 C. 函数f（x）的单调递增区间为（－ ＋2kπ， ＋2kπ），k∈Z D. 函数f（x）图象的对称中心为（k－ ，0），k∈Z √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由 x＋ ≠kπ＋ （k∈Z），得x≠2k＋ （k∈Z），所以 函数f（x）的定义域为{x｜x≠2k＋ ，k∈Z}，故A正确；函数f（x） 的最小正周期为T＝ ＝2，故B错误；由－ ＋kπ＜ x＋ ＜ ＋kπ （k∈Z），得－ ＋2k＜x＜ ＋2k（k∈Z），所以函数f（x）的单调 递增区间为（－ ＋2k， ＋2k），k∈Z，故C错误；由 x＋ ＝ （k∈Z），得x＝k－ （k∈Z），所以函数f（x）图象的对称中心为 （k－ ，0），k∈Z，故D正确.故选A、D. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 判断函数f（x）＝lg 的奇偶性. 解：由 ＞0，得tan x＞1或tan x＜－1， ∴函数f（x）的定义域为（kπ－ ，kπ－ ）∪（kπ＋ ，kπ＋ ） （k∈Z），关于原点对称. 又f（－x）＋f（x）＝lg ＋lg ＝lg（ · ）＝lg 1＝0， ∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）是奇函数. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 当x∈ 时，函数y＝tan｜x｜的图象（　　） A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称 C. 关于x轴对称 D. 无法确定 解析：　函数y＝tan｜x｜，x∈ 是偶函数.其图象关于y轴对 称.故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝tan x（－ ≤x≤ ）的值域是（　　） A. [－1，1] B. （－∞，－1]∪[1，＋∞） C. （－∞，1] D. [－1，＋∞） 解析：　函数y＝tan x在区间［－ ， ］上单调递增，且tan（－ ）＝ －1，tan ＝1，即值域为[－1，1].故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数y＝3tan 的最小正周期是（　　） A. B. C. π D. 3 解析：由解析式及正切函数的性质，最小正周期T＝ .故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数y＝tan 的定义域为（　　） A. B. C. D. 解析：由x－ ≠ ＋kπ（k∈Z）⇒x≠ ＋kπ（k∈Z）.故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 若函数y＝tan ωx在 内单调递减，则ω的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：由题意知其周期T≥π，即 ≥π.∴｜ω｜≤1，又函数单调递 减，∴ω＜0.故－1≤ω＜0. [－1， 0） 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 下列图形分别是①y＝｜tan x｜；②y＝tan x；③y＝tan（－x）；④y ＝tan｜x｜，在x∈ 内的大致图象，那么由a到d对应的函数关 系式应是（　　） A. ①②③④ B. ①③④② C. ③②④① D. ①②④③ 解析：　y＝tan（－x）＝－tan x在 上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数f（x）＝｜tan 2x｜是（　　） A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数 C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的偶函数 解析：　f（－x）＝｜tan （－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x）为偶函 数，T＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数f（x）＝tan 的单调递增区间是（　　） A. ，k∈Z B. （kπ，kπ＋π），k∈Z C. ，k∈Z D. ，k∈Z 解析：　由－ ＋kπ＜x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z，得－ ＋kπ＜x＜ ＋ kπ，k∈Z，故f（x）的单调递增区间是 ，k∈Z. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数y＝tan 的一个对称中心是（　　） A. （0，0） B. C. D. （π，0） 解析：　令x＋ ＝ ，k∈Z，得x＝ － ，k∈Z，所以函数y＝ tan 的对称中心是 ，k∈Z. 令k＝2，可得函数的一个 对称中心为 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕函数y＝tan 的性质有（　　） A. 在 上单调递增 B. 为奇函数 C. 以π为最小正周期 D. 定义域为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　令x∈ ，则 ∈ ，所以y＝tan 在 上单 调递增，所以A正确；tan ＝－tan ，故y＝tan 为奇函数，所以B正 确；T＝ ＝2π，所以C不正确；由 ≠ ＋kπ，k∈Z，得函数的定义域为 {x｜x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）＝2tan（2x－ ），则下列说法正确的是（　　） A. f（x）的最小正周期为 B. f（x）图象的对称中心为点（ ＋ ，0）（k∈Z） C. f（x）的单调递增区间为（ － ， ＋ ）（k∈Z） D. 为了得到g（x）＝2tan x的图象，可将f（x）的图象上的所有点向左 平移 个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为f（x）＝2tan（2x－ ），所以f（x）的最小正周期T＝ ，A正确；令2x－ ＝ （k∈Z），解得x＝ ＋ （k∈Z），所以f（x）图象的对称中心为点（ ＋ ，0）（k∈Z），B错误；令kπ－ ＜2x－ ＜kπ＋ ，k∈Z，解得 － ＜x＜ ＋ ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间为（ － ， ＋ ）（k∈Z），C正确；将f（x）的图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到y＝2tan［2（x＋ ）－ ］＝2tan（2x＋ ）的图象，再将横坐标伸长为原来的2倍得到y＝2tan（x＋ ）的图象，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知f（x）＝2 025 sin x＋2 026tan x－1，则f（－2）＋f（－1）＋f （0）＋f（1）＋f（2）＝ ⁠. 解析：令g（x）＝2 025 sin x＋2 026tan x，则f（x）＝g（x）－1.由y ＝ sin x与y＝tan x为奇函数，得g（－x）＝－g（x），则f（－2）＋f （－1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＝[g（－2）－1]＋[g（－1）－1]＋ [g（0）－1]＋[g（1）－1]＋[g（2）－1]＝－g（2）＋g（2）－g（1） ＋g（1）＋g（0）－5＝－5. －5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝ 所得 线段长为 ，则f ＝ ⁠. 解析：由题意，可知T＝ ，所以ω＝ ＝4，即f（x）＝tan 4x，所以 f ＝tan π＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 比较大小：tan 211° tan 392°. 解析：tan 211°＝tan （180°＋31°）＝tan 31°.tan 392°＝tan （360° ＋32°）＝tan 32°，因为tan 31°＜tan 32°，所以tan 211°＜tan 392°. ＜ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 设函数f（x）＝tan . （1）求函数f（x）的最小正周期，图象的对称中心； 解：∵ω＝ ，∴最小正周期T＝ ＝ ＝2π. 令 － ＝ （k∈Z），得x＝kπ＋ （k∈Z）， ∴f（x）的图象的对称中心是 （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）作出函数f（x）在一个周期内的简图. 解：令 － ＝0，得x＝ ；令 － ＝ ，得x＝ ；令 － ＝－ ，得x＝－ .∴函数f（x）＝tan 的图象与x轴的一个交点坐标是 ，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－ ， x＝ ，从而得到函数y＝f（x）在一个周期 内的简图，如图 所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知点（－ ，m），点（ ，m），点（ ，m）是函数y＝｜tan ωx｜（ω＞0）的图象与直线y＝m的三个相邻交点，则ω＝（　　） A. π B. 2π C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　不妨设A（－ ，m），B（ ， m），C（ ，m），作出函数y＝｜tan ωx｜ （ω＞0）的大致图象及直线y＝m，如图所示， 由图知y＝｜tan ωx｜（ω＞0）的最小正周期T＝ －（－ ）＝1，y＝｜tan ωx｜（ω＞0）的周期与y＝tan ωx（ω＞0）的周期相等，所以 ＝1，解得ω＝π.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 已知函数f（x）＝tan（ωx－φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的 两个交点为A，B，且线段AB长度的最小值为 ，若将函数f（x）的图象 向左平移 个单位长度后得g（x）的图象，g（x）为奇函数，则φ的值 为（　　） A. B. C. D. 或 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为函数f（x）＝tan（ωx－φ）的图象与x轴的两个交点为 A，B，且线段AB长度的最小值为 ，所以函数f（x）的最小正周期T＝ ，所以ω＝ ＝3，所以f（x）＝tan（3x－φ）.将函数f（x）的图象向 左平移 个单位长度，得到g（x）＝tan（3x＋ －φ）的图象，又g （x）为奇函数，所以 －φ＝ ，k∈Z，即φ＝ － ，k∈Z，因为0＜ φ＜π，所以当k＝0时，可得φ＝ ；当k＝－1时，可得φ＝ ，所以φ的值 为 或 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 当x∈ 时，k＋tan 的值总不大于零，则实数k的取值 范围是 ⁠. 解析：∵x∈ ，∴0≤2x－ ≤ ，∴0≤tan ≤ .∵对任 意的x∈ ，都有tan ≥k，∴ ≥k， ∴k≤0. （－∞，0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知直线y＝a与函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜ ）的 图象的所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点的坐标为（1，－1）. （1）求函数f（x）的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：由题意，知函数f（x）＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为2，则 ＝2，解得ω＝ ， 所以f（x）＝tan（ x＋φ）. 由f（1）＝tan（ ＋φ）＝－1，得 ＋φ＝ ＋kπ，k∈Z，即φ＝ ＋ kπ，k∈Z， 又0＜φ＜ ，所以φ＝ ， 因此f（x）＝tan（ x＋ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数y＝f（x）的图象与函数y＝ ，x∈（－ ， ）∪（ ， ）图象的所有交点的横坐标之和. 解：f（ ）＝tan（ ＋ ）＝0， 则函数y＝f（x）的图象关于点（ ，0）对称. 函数y＝ ，x∈（－ ， ）∪（ ， ）的图象 关于点（ ，0）对称，在同一平面直角坐标系内作 出函数y＝f（x）和y＝ ，x∈（－ ， ）∪ （ ， ）的大致图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 观察图象知，函数y＝f（x）的图象与函数y＝ ， x∈（－ ， ）∪（ ， ）的图象共有4个交点，且 关于点（ ，0）对称，所以这4个交点的横坐标之和 为 ×4＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知函数f（x）＝2tan ωx，ω＞0，若f（x）在区间［0， ］上的最 大值是2 ，则ω＝ ；若f（x）在区间［0， ］上单调递增，则ω的 取值范围是 ⁠. 1 （0， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为x∈［0， ］，且在此区间上的最大值是2 ，所以0≤ωx≤ ＜ .因为f（x）max＝2tan ＝2 ，所以tan ＝ ，即ω＝1.由kπ－ ＜ωx＜kπ＋ ，k∈Z，得 － ＜x＜ ＋ ，k∈Z，令k＝0，得－ ＜x＜ ，即f（x）在区间（－ ， ）上单调递增.又因为f（x）在区间［0， ］上单调递增，所以 ＜ ，即0＜ω＜ .所以ω的取值范围是（0， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan 在区间 上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由. 解：y＝tan ＝tan ， 因为y＝tan x在区间 （k∈Z）上单调递增，所以a＜0， 又x∈ ，所以－ax∈ ， 所以 －ax∈ ， 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解得－ － ≤a≤6－8k（k∈Z）. 由－ － ＝6－8k得k＝1，此时－2≤a≤－2. 所以a＝－2＜0，所以存在a＝－2∈Z，满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $