第1章 2.1 角的概念推广 2.2 象限角及其表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

2.1　角的概念推广 2.2　象限角及其表示 1 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角（数学抽象）. 2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合（数学抽象）. 3.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角（数学抽象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩声.跳水（Diving）是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以特定动作入水的运动. 【问题】　如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动员转 过的角度是多少？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　角的概念的推广 1. 角的概念： 平面内一条 OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置 OB，形成角α.其中点O是角α的顶点， 是角α的始边， ⁠ 是角α的终边. 射线　 射线OA　 射线 OB　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 角的分类 名称 定义 图形 正角 按 ⁠方向旋转形成的角 负角 按 ⁠方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作 ⁠旋转形成的角 　　提醒：（1）在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成 “α”；（2）角的范围由0°～360°推广到任意角后，角的加减运算就类 似于实数的加减运算. 逆时针　 顺时针　 任何　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 提示：不是的.虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小（旋 转圈数）并没有确定，所以角也就不能确定. 2. 你能说出角的三要素吗？ 提示：角的三要素是顶点、始边、终边. 3. 正角、负角、零角是根据什么区分的？ 提示：根据射线是否旋转及旋转方向区分. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　象限角及其表示 1. 象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边在 ⁠ 轴的非负半轴，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ⁠ ；如果角的终边在 ，这个角就不属于任何象限. 2. 终边相同的角：一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同 角α在内，可构成一个集合S＝ ，即任何 一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 ⁠. x　 终边　 象 限角　 坐标轴上　 {β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}　 周角的整数倍的和　 　　提醒：对集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}的再理解：①角α为任 意角，“k∈Z”不能省略；②k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360° －α可理解成k·360°＋（－α）；③相等的角的终边一定相同，而终边相 同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）小于90°的角都是锐角. （　×　） （2）终边与始边重合的角为零角. （　×　） （3）第二象限角是钝角. （　×　） （4）225°角是第三象限角. （　√　） 2. 与 610°角终边相同的角表示为（其中k∈Z）（　　） A. k·360°＋230° B. k·360°＋250° C. k·360°＋70° D. k·180°＋270° × × × √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别 是 、 、 ⁠. 390° －150° 60° 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜任意角的概念 【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 锐角都是第一象限角 B. 第一象限角一定不是负角 C. 小于180°的角是钝角、直角或锐角 D. 在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 √ √ 解析：锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 理解与角的概念有关问题的关键 　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概 念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正 确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举 一个反例即可. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋 转270°到达OC位置，则∠AOC＝（　　） A. 150° B. －150° C. 390° D. －390° 解析：　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－270°） ＝－150°，故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 ⁠. 解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转的，因此转过的角度都是负的， 而 ×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度 分别是－60°，－720°. －60°，－720° 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜终边相同的角的表示 【例2】　已知α＝－1 910°. （1）把α写成β＋k·360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，并指出它是 第几象限角； 解：设α＝β＋k·360°（k∈Z）， 则β＝－1 910°－k·360°（k∈Z）. 令－1 910°－k·360°≥0， 解得k≤－ ＝－5 . k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°， 于是α＝250°＋（－6）×360°，它是第三象限角. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°. 解：令θ＝250°＋n·360°（n∈Z）， 取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ＜0°的角. 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 故θ＝－110°或θ＝－470°. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 终边相同的角的表示 （1）终边相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式； （2）终边相同的角相差360°的整数倍； （3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 下列各角中与60°角的终边相同的是（　　） A. －300° B. －240° C. 120° D. 390° 解析：　∵－300°＝60°－360°，－240°＝60°－300°，120°＝ 60°＋60°，390°＝60°＋330°，∴只有A选项中的角与60°角的终边 相同.故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 在直角坐标系中写出下列角的集合： （1）终边在x轴的非负半轴上； 解：在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α｜α＝k·360°，k∈Z}. （2）终边在y＝x（x≥0）上. 解：在0°～360°范围内，终边在y＝x（x≥0）上的角有一个45°.故终边在y＝x（x≥0）上的角的集合为{α｜α＝k·360°＋45°，k∈Z}. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜象限角和区间（域）角 【例3】　（1）〔多选〕在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这 四个角中，是第二象限角的是（　ABC　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 解析：第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z， 分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是 第二象限角.故选A、B、C. ABC 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）已知α是第二象限角，则角 所在的象限为（　A　） A. 第一或第三象限 B. 第一或第二象限 C. 第二或第四象限 D. 第三或第四象限 A 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180° （k∈Z）.∴ ·360°＋45°＜ ＜ ·360°＋90°（k∈Z）.当k为偶数 时，令k＝2n（n∈Z），得n·360°＋45°＜ ＜n·360°＋90°，这表 明 是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得n·360°＋ 225°＜ ＜n·360°＋270°，这表明 是第三象限角.∴ 为第一或第三象 限角. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 （变设问）在本例（2）的条件下，求角2α的终边的位置. 解：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）. ∴k·720°＋180°＜2α＜k·720°＋360°（k∈Z）. ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. nα或 所在象限的判断方法 （1）用不等式表示出角nα或 的范围； （2）用旋转的观点确定角nα或 所在象限. 2. 终边在直线上的角的集合的写法 终边在过原点的直线上的角的集合可以分为两步：先分别写出终边在两条 射线上的角的集合，然后取两个集合的并集可得终边在过原点的直线上的 角的集合. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 表示区间（区域）角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～ 360°范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜ 360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角 的集合. 提醒：写区域角时，要注意角的集合的左边值，必须小于右边值，并且一 定要写上k∈Z. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. －1 060°角的终边落在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°角的终边落 在第一象限. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知角α的终边在如图阴影表示的范围内（不包含边界），那么角α的集 合是 ⁠. 解析：观察图形可知，角α的集合是{α｜k·360°＋45°＜α＜k·360°＋ 150°，k∈Z}. {α｜k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z} 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 期中考试，数学科目从上午8时30分开始，考了2小时.从考试开始到考 试结束分针转过了（　　） A. 360° B. 720° C. －360° D. －720° 解析：　因为分针转一圈（即1小时）是－360°，所以从考试开始到考 试结束分针转过了－720°.故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. －215°角是（　　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析：　因为－215°＝－360°＋145°，而145°角是第二角限角，所 以－215°角是第二象限角，故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知750°＜α＜800°，那么 是（　　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析：　因为750°＜α＜800°，所以375°＜ ＜400°，所以角 终边 位于第一象限，故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹 角为30°，则α＝ ⁠. 解析：由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，∴α＝ 480°. 480° 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 下面各组角中，终边相同的是（　　） A. 390°，690° B. －330°，750° C. 480°，－420° D. 3 000°，－840° 解析：　因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－ 330°与750°终边相同. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若α是第四象限角，则180°－α是（　　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析：　可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α 是第三象限角. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知集合{α｜k·360°＋45°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}，则角α的终 边落在阴影部分的区域是（　　） 解析：　当α＝k·360°＋45°，k∈Z时，角α的终边落在第一象限的角 平分线上，当α＝k·360°＋90°，k∈Z时，角α的终边落在y轴的非负半 轴上，按照逆时针旋转的方向确定范围可得集合表示的区域如选项B所示. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 〔多选〕下列说法不正确的是（　　） A. 终边在x轴非负半轴上的角是零角 B. 钝角一定大于第一象限的角 C. 第二象限的角不一定大于第一象限的角 D. 第四象限角一定是负角 解析：A错，终边在x轴非负半轴上的角为k·360°，k∈Z，显然不只是零角；B错，390°是第一象限的角，大于任一钝角；C对，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°；D错，285°为第四象限角，但不是负角. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕给出的下列四个命题中正确的有（　　） A. 75°角是第一象限角 B. 225°角是第三象限角 C. 475°角是第二象限角 D. －315°角是第四象限角 解析：0°＜75°＜90°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°，故A、B、C均正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 与－2 024°角终边相同的最小正角是 ⁠. 解析：因为－2 024°＝－6×360°＋136°，所以所求角为136°. 136° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 在0°～360°范围内，与－60°角的终边在同一条直线上的角 为 ⁠. 解析：根据终边相同的角的定义知，与－60°终边相同的角可表示为β＝ －60°＋k·360°（k∈Z），当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边 在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°. 120°，300° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知角α，β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝－60°，则β＝ ⁠ .⁠ 解析：在－90°到0°的范围内，－60°角的终边关于直线y＝－x对称的 射线的对应角为－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°＋k·360°， k∈Z. － 30°＋k·360°，k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. （1）若角α与135°角的终边关于x轴对称，且－360°＜α＜360°，则 α＝ ⁠； 解析：由题意得α＝－135°＋k·360°，k∈Z. 由－360°＜－135°＋k·360°＜360°，得－ ＜k＜ ，又k∈Z，所以k＝0或1，所以α＝－ 135°或225°. （2）若锐角α与角9α的终边关于y轴对称，则α＝ ⁠； －135°或225° 解析：由题意得9α＋k·360°＝180°－α，且0°＜α＜90°，k∈Z，所以α＝18°－k·36°.当k＝0时，α＝18°；当k＝－1时，α＝54°.所以α＝18°或54°. 18°或54° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）若角α为正角，角β为负角，且α与β的终边关于原点对称，则α－β ＝ .⁠ 解析：因为α与β的终边关于原点对称，所以α－β＝（2k＋1）·180°，k∈Z. 又角α为正角，角β为负角，所以α－β＝（2k＋1）·180°，k∈N. （2k＋1）·180°，k∈N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 若α＝k·180°＋45°（k∈Z），则α的终边在（　　） A. 第一或第三象限 B. 第一或第二象限 C. 第二或第四象限 D. 第三或第四象限 解析：当k＝2m＋1（m∈Z）时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m（m∈Z）时，α＝m·360°＋45°， 故α为第一象限角.故α的终边在第一或第三象限. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕若α是第二象限角，则（　　） A. －α是第一象限角 B. 是第一或第三象限角 C. 270°＋α是第二象限角 D. 2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z. －180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°，k∈Z，所以－α是第三象限角，A错误；45°＋k·180°＜ ＜90°＋k·180°，k∈Z. 当k为偶数时， 是第一象限角；当k为奇数时， 是第三象限角，B正确；（k＋1）·360°＜270°＋α＜90°＋（k＋1）·360°，k∈Z，所以270°＋α是第一象限角，C错误；180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕如果角α与角γ＋60°的终边相同，角β与角γ－60°的终边 相同，那么α－β值的可能为（　　） A. 120° B. 360° C. 1 200° D. 3 600° 解析：由角α与γ＋60°终边相同，得α＝m·360°＋γ＋60°，m∈Z，由角β与γ－60°终边相同，得β＝n·360°＋γ－60°，n∈Z，则α－β＝（m－n）·360°＋120°，m，n∈Z. 1 200°＝3×360°＋120°，选项A、C符合题意，故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α ＝ ⁠. 解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得 4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°＜α＜360°，∴当k ＝3时，α＝270°. 270° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从 点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点P在1秒内转过的角度 为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到 出发点A，求θ，并判断θ所在的象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，∴45°＋ k·360°＝14θ＋45°，k∈Z. 又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°， ∴67.5°＜ ＜112.5°. 又k∈Z，∴k＝3或4，∴所求的θ的值为 或 . ∵0°＜ ＜90°，90°＜ ＜180°， ∴θ在第一象限或第二象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $