第1章 2.1 角的概念推广2.2 象限角及其表示(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

2.1　角的概念推广 2.2　象限角及其表示 课标要求 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角（数学抽象）. 2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合（数学抽象）. 3.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角（数学抽象）. 　　奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩声.跳水（Diving）是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以特定动作入水的运动. 【问题】　如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动员转过的角度是多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　角的概念的推广 1.角的概念： 平面内一条　射线　OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，　射线OA　是角α的始边，　射线OB　是角α的终边. 2.角的分类 名称 定义 图形 正角 按　逆时针　方向旋转形成的角 负角 按　顺时针　方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作　任何　旋转形成的角 　　提醒：（1）在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”；（2）角的范围由0°～360°推广到任意角后，角的加减运算就类似于实数的加减运算. 【想一想】 1.当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 提示：不是的.虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小（旋转圈数）并没有确定，所以角也就不能确定. 2.你能说出角的三要素吗？ 提示：角的三要素是顶点、始边、终边. 3.正角、负角、零角是根据什么区分的？ 提示：根据射线是否旋转及旋转方向区分. 知识点二　象限角及其表示 1.象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边在　x　轴的非负半轴，那么，角的　终边　在第几象限，就说这个角是第几　象限角　；如果角的终边在　坐标轴上　，这个角就不属于任何象限. 2.终边相同的角：一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}　，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与　周角的整数倍的和　. 　　提醒：对集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}的再理解：①角α为任意角，“k∈Z”不能省略；②k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋（－α）；③相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）小于90°的角都是锐角.（　×　） （2）终边与始边重合的角为零角.（　×　） （3）第二象限角是钝角.（　×　） （4）225°角是第三象限角.（　√　） 2.与 610°角终边相同的角表示为（其中k∈Z）（　　） A.k·360°＋230°　　　　B.k·360°＋250° C.k·360°＋70° D.k·180°＋270° 答案：B 3.图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是390°、－150°、60°. 题型一｜任意角的概念 【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.锐角都是第一象限角 B.第一象限角一定不是负角 C.小于180°的角是钝角、直角或锐角 D.在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 解析：AD　锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确. 通性通法 理解与角的概念有关问题的关键 　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可. 【跟踪训练】 1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（　　） A.150°　　B.－150°　　C.390°　　D.－390° 解析：B　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－270°）＝－150°，故选B. 2.经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°. 解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转的，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°. 题型二｜终边相同的角的表示 【例2】　已知α＝－1 910°. （1）把α写成β＋k·360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，并指出它是第几象限角； 解：设α＝β＋k·360°（k∈Z）， 则β＝－1 910°－k·360°（k∈Z）. 令－1 910°－k·360°≥0， 解得k≤－＝－5. k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°， 于是α＝250°＋（－6）×360°，它是第三象限角. （2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°. 解：令θ＝250°＋n·360°（n∈Z）， 取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ＜0°的角. 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 故θ＝－110°或θ＝－470°. 通性通法 终边相同的角的表示 （1）终边相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式； （2）终边相同的角相差360°的整数倍； （3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. 【跟踪训练】 1.下列各角中与60°角的终边相同的是（　　） A.－300° B.－240° C.120° D.390° 解析：A　∵－300°＝60°－360°，－240°＝60°－300°，120°＝60°＋60°，390°＝60°＋330°，∴只有A选项中的角与60°角的终边相同.故选A. 2.在直角坐标系中写出下列角的集合： （1）终边在x轴的非负半轴上； （2）终边在y＝x（x≥0）上. 解：（1）在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α｜α＝k·360°，k∈Z}. （2）在0°～360°范围内，终边在y＝x（x≥0）上的角有一个45°.故终边在y＝x（x≥0）上的角的集合为{α｜α＝k·360°＋45°，k∈Z}. 题型三｜象限角和区间（域）角 【例3】　（1）〔多选〕在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是（　ABC　） A.① B.② C.③ D.④ 解析：第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角.故选A、B、C. （2）已知α是第二象限角，则角所在的象限为（　A　） A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 解析：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）.∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°（k∈Z）.当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，这表明是第三象限角.∴为第一或第三象限角. 【母题探究】 （变设问）在本例（2）的条件下，求角2α的终边的位置. 解：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）. ∴k·720°＋180°＜2α＜k·720°＋360°（k∈Z）. ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上. 通性通法 1.nα或所在象限的判断方法 （1）用不等式表示出角nα或的范围； （2）用旋转的观点确定角nα或所在象限. 2.终边在直线上的角的集合的写法 终边在过原点的直线上的角的集合可以分为两步：先分别写出终边在两条射线上的角的集合，然后取两个集合的并集可得终边在过原点的直线上的角的集合. 3.表示区间（区域）角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合. 提醒：写区域角时，要注意角的集合的左边值，必须小于右边值，并且一定要写上k∈Z. 【跟踪训练】 1.－1 060°角的终边落在（　　） A.第一象限　　　　　　B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A　因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°角的终边落在第一象限. 2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内（不包含边界），那么角α的集合是{α｜k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}. 解析：观察图形可知，角α的集合是{α｜k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}. 1.期中考试，数学科目从上午8时30分开始，考了2小时.从考试开始到考试结束分针转过了（　　） A.360° B.720° C.－360° D.－720° 解析：D　因为分针转一圈（即1小时）是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D. 2.－215°角是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：B　因为－215°＝－360°＋145°，而145°角是第二角限角，所以－215°角是第二象限角，故选B. 3.已知750°＜α＜800°，那么是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：A　因为750°＜α＜800°，所以375°＜＜400°，所以角终边位于第一象限，故选A. 4.已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α＝480°. 解析：由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，∴α＝480°. 1.下面各组角中，终边相同的是（　　） A.390°，690° B.－330°，750° C.480°，－420° D.3 000°，－840° 解析：B　因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同. 2.若α是第四象限角，则180°－α是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：C　可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角. 3.已知集合{α｜k·360°＋45°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}，则角α的终边落在阴影部分的区域是（　　） 解析：B　当α＝k·360°＋45°，k∈Z时，角α的终边落在第一象限的角平分线上，当α＝k·360°＋90°，k∈Z时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，按照逆时针旋转的方向确定范围可得集合表示的区域如选项B所示. 4.〔多选〕下列说法不正确的是（　　） A.终边在x轴非负半轴上的角是零角 B.钝角一定大于第一象限的角 C.第二象限的角不一定大于第一象限的角 D.第四象限角一定是负角 解析：ABD　A错，终边在x轴非负半轴上的角为k·360°，k∈Z，显然不只是零角；B错，390°是第一象限的角，大于任一钝角；C对，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°；D错，285°为第四象限角，但不是负角. 5.〔多选〕给出的下列四个命题中正确的有（　　） A.75°角是第一象限角　　B.225°角是第三象限角 C.475°角是第二象限角 D.－315°角是第四象限角 解析：ABC　0°＜75°＜90°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°，故A、B、C均正确. 6.与－2 024°角终边相同的最小正角是136°. 解析：因为－2 024°＝－6×360°＋136°，所以所求角为136°. 7.在0°～360°范围内，与－60°角的终边在同一条直线上的角为120°，300°. 解析：根据终边相同的角的定义知，与－60°终边相同的角可表示为β＝－60°＋k·360°（k∈Z），当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°. 8.已知角α，β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝－60°，则β＝－30°＋k·360°，k∈Z. 解析：在－90°到0°的范围内，－60°角的终边关于直线y＝－x对称的射线的对应角为－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z. 9.（1）若角α与135°角的终边关于x轴对称，且－360°＜α＜360°，则α＝－135°或225°； （2）若锐角α与角9α的终边关于y轴对称，则α＝18°或54°； （3）若角α为正角，角β为负角，且α与β的终边关于原点对称，则α－β＝（2k＋1）·180°，k∈N. 解析：（1）由题意得α＝－135°＋k·360°，k∈Z.由－360°＜－135°＋k·360°＜360°，得－＜k＜，又k∈Z，所以k＝0或1，所以α＝－135°或225°. （2）由题意得9α＋k·360°＝180°－α，且0°＜α＜90°，k∈Z，所以α＝18°－k·36°.当k＝0时，α＝18°；当k＝－1时，α＝54°.所以α＝18°或54°. （3）因为α与β的终边关于原点对称，所以α－β＝（2k＋1）·180°，k∈Z.又角α为正角，角β为负角，所以α－β＝（2k＋1）·180°，k∈N. 10.若α＝k·180°＋45°（k∈Z），则α的终边在（　　） A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 解析：A　当k＝2m＋1（m∈Z）时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m（m∈Z）时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角.故α的终边在第一或第三象限. 11.〔多选〕若α是第二象限角，则（　　） A.－α是第一象限角 B.是第一或第三象限角 C.270°＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角 解析：BD　90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z.－180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°，k∈Z，所以－α是第三象限角，A错误；45°＋k·180°＜＜90°＋k·180°，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角，B正确；（k＋1）·360°＜270°＋α＜90°＋（k＋1）·360°，k∈Z，所以270°＋α是第一象限角，C错误；180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角，D正确. 12.〔多选〕如果角α与角γ＋60°的终边相同，角β与角γ－60°的终边相同，那么α－β值的可能为（　　） A.120° B.360° C.1 200° D.3 600° 解析：AC　由角α与γ＋60°终边相同，得α＝m·360°＋γ＋60°，m∈Z，由角β与γ－60°终边相同，得β＝n·360°＋γ－60°，n∈Z，则α－β＝（m－n）·360°＋120°，m，n∈Z.1 200°＝3×360°＋120°，选项A、C符合题意，故选A、C. 13.若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝270°. 解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°＜α＜360°，∴当k＝3时，α＝270°. 14.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点P在1秒内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限. 解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z. 又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°， ∴67.5°＜＜112.5°. 又k∈Z，∴k＝3或4，∴所求的θ的值为或. ∵0°＜＜90°，90°＜＜180°， ∴θ在第一象限或第二象限. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $