第1章 1 周期变化(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§1　周期变化 课标要求 1.理解周期函数的定义，会利用周期函数的定义判断某些函数是否为周期函数（数学抽象）. 2.了解周期函数最小正周期的定义，会求某些周期函数的最小正周期（数学运算）. 　　东升西落照苍穹， 　　影短影长角不同. 　　昼夜循环潮起伏， 　　冬春更替草枯荣. 不难发现，这首诗中描绘了大量的自然界重复出现的现象，太阳东升西落、昼夜循环、潮涨潮落、冬去春来（四季更替）、草枯草荣等都说明了周期变化. 【问题】　你还能举出有关周期变化的其他例子吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　周期函数 概念 一般地，对于函数y＝f（x），x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f（x＋T）＝f（x），那么函数y＝f（x）称作周期函数 周期 非零常数T称作这个函数的周期 最小正 周期 如果在周期函数y＝f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f（x）的最小正周期 【想一想】 1.是否所有的函数都是周期函数？ 提示：不是，如y＝x＋1就不是周期函数. 2.周期函数的定义域有什么特点？ 提示：设周期为T的函数的定义域为M，若x∈M，则必有x＋nT∈M（n∈Z且n≠0）.因此周期函数的定义域一定是无限集. 3.周期函数的周期唯一吗？ 提示：周期函数的周期不唯一，如果T是函数f（x）的周期，那么nT（n∈Z且n≠0）也是函数f（x）的周期. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）周期函数一定有最小正周期.（　×　） （2）函数y＝1的最小正周期是1.（　×　） （3）春、夏、秋、冬的变化属于自然界中的周期现象.（　√　） 2.若f（x）的最小正周期T＝1，则下列选项不是f（x）的周期的是（　　） A.－1　　　　B.0　　　　C.2　　　　D.－2 解析：B　若T是f（x）的周期，则nT（n∈Z且n≠0）也是f（x）的周期，故B错. 3.如果今天是星期五，则59天后是星期一. 解析：每隔七天循环一次，59＝7×8＋3，故59天后为星期一. 题型一｜周期函数的判定 【例1】　〔多选〕下列函数是周期函数的是（　　） A.每月的气温变化y与时间t（天）的关系y＝g（t） B.函数y＝h（x）（x∈R）的图象如图所示 C.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ与时间t（单位：s）满足函数关系式θ＝R（t），在不考虑任何阻力的情况下，此单摆10秒来回摆动一次 D.为了研究钟表时针的运动变化规律，建立如图所示的直角坐标系，设t为时针运动的时间，y为时针对应表盘上的数字，则y＝f（t），t∈[0，＋∞） 解析：BCD　选项A，每月的气温变化y与时间t（天）显然没有周期规律，该函数不是周期函数；选项B，由函数图象可以看出，函数值每隔2个单位长度重复出现一次，该函数为周期函数；选项C，在不考虑任何阻力的情况下，该单摆每隔10秒，摆动角度重复出现一次，函数θ＝R（t）为周期函数；选项D，由钟表时针所对应表盘的数值与时间t的关系为每隔12小时重复出现一次，该函数y＝f（t）为周期函数. 通性通法 判断函数f（x）是否是周期函数的方法 （1）定义法：利用周期函数的定义判断函数f（x）是否是周期函数时，必须抓住3点： ①存在一个不等于零的常数T； ②对于定义域内的每一个x值，都有x＋T属于这个定义域； ③满足f（x＋T）＝f（x）. （2）图象法：如果函数f（x）的图象在定义域内呈现周而复始的变化规律，那么这个函数f（x）是周期函数. 【跟踪训练】 一物体相对于某一固定位置的位移y（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的一组对应值如表所示，由该物体的位移y和时间t之间的关系每隔0.8 s重复出现一次，试判断该函数是否为周期函数？并求当t＝4.2 s时y的值. t/s … 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 … y/cm … －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 … 解：该函数关系是周期函数，由表及题意可知，位移y与时间t的关系每隔0.8 s重复出现一次，则满足存在一个非零常数T＝0.8，使得f（t＋0.8）＝f（t），故是周期函数.所以f（4.2）＝f（0.2＋5×0.8）＝f（0.2）＝0. 题型二｜求函数的周期 【例2】　若对任意x∈R，函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x＋2），则函数f（x）的周期为2. 解析：由f（x＋1）＝－f（x＋2）， 得f（x＋1）＝－f（x＋1＋1）， 令x＋1＝t，即f（t）＝－f（t＋1）， 所以f（t＋2）＝f（t）， 即函数f（x）的周期是2. 通性通法 函数周期的求解方法及常见形式 （1）定义法：利用函数f（x）具有的某些性质，对其解析式进行变换，求满足定义条件f（x＋T）＝f（x）成立的非零常数T； （2）求周期常见的四种形式，往复应用条件变换，即可求得周期： 设函数y＝f（x），x∈R，a＞0： ①若f（x＋a）＝f（x－a），则函数的周期为2a； ②若f（x＋a）＝－f（x），则函数的周期为2a； ③若f（x＋a）＝，则函数的周期为2a； ④若f（x＋a）＝－，则函数的周期为2a. 【跟踪训练】 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x＋2）＝－，则函数f（x）的周期为4. 解析：因为f（x＋2）＝－，所以f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）的周期为4. 题型三｜周期函数的图象、性质及应用 【例3】　设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2. （1）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式； 解：由f（x＋2）＝－f（x），得f（x＋2＋2）＝－f（x＋2），所以f（x＋4）＝f（x），所以f（x）是周期函数. 因为当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，且函数f（x）是定义在R上的奇函数， 所以当x∈[－2，0]时，f（x）＝－f（－x）＝－[2（－x）－（－x）2]＝x2＋2x， 当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， 所以当x∈[2，4]时，f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2－6x＋8. （2）求f（x）的最值和零点； 解：由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）＝0. 由当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2，得f（1）＝2×1－12＝1， f（2）＝2×2－22＝0，由（1）知f（3）＝32－6×3＋8＝－1. 又由（1）知函数f（x）的最小正周期为4， 所以f（x）的最大值为1，最小值为－1. f（x）的零点为2k，k∈Z. （3）求f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 027）的值. 解：由（2）知，f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 027）＝507×[f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）]＝0. 通性通法 1.画周期函数图象的步骤 （1）先画出函数f（x）在一个周期内的图象； （2）再利用周期性将f（x）在一个周期内的图象左右平移即可得出其他部分的图象. 2.根据函数的周期性，可以由函数的局部性质（一个周期内的性质）得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. 【跟踪训练】 1.在如图所示的y＝f（x）的图象中，若f（0.005）＝3，则f（0.025）＝3. 解析：由题中图象知，周期为0.02， ∴f（0.025）＝f（0.005＋0.02）＝f（0.005）＝3. 2.函数f（x）是周期为2的周期函数，且f（x）＝，x∈[－1，1]. （1）画出函数f（x）在（－3，3）上的图象； （2）求f（10）的值. 解：（1）函数f（x）的图象如图所示： （2）f（10）＝f（10－2×5）＝f（0）＝＝1. 题型四｜周期性在实际问题中的应用 【例4】　已知做周期运动的钟摆的高度h（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示. （1）求该函数的周期； 解：由图象知，该函数的周期为1.5 s. （2）求t＝10 s时钟摆的高度. 解：设h＝f（t），∵T＝1.5，∴f（10）＝f（1＋6×1.5）＝f（1）＝20.∴t＝10 s时钟摆的高度为20 mm. 通性通法 应用周期性解决实际问题的两个要点 【跟踪训练】 受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫作潮汐.已知某海滨浴场的海浪高度y（单位：米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作y＝f（t），下表是某日各时的浪高数据： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 根据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？ 解：由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时. 1.下列现象是周期现象的有（　　） ①太阳的东升西落；②月亮的圆缺；③太阳表面的太阳黑子活动；④心脏的收缩与舒张. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：D　由周期现象的描述知①②③④均为周期现象. 2.如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆动，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中，经历的时间是（　　） A.2T B.T C. D. 解析：B　整个运动恰好是一个周期，所以运动的时间是T. 3.已知函数f（x）满足对∀x∈R，f（x＋2）＝f（x），且当x∈[1，3）时，f（x）＝log2x＋1，则f（2 025）＝（　　） A.－1　　　B.0　　　 C.1　　　D.2 解析：C　根据题意，f（x）满足对∀x∈R，f（x＋2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则f（2 025）＝f（1＋2×1 012）＝f（1）＝log21＋1＝1. 4.函数f（x）是以2为周期的函数，且f（2）＝3，则f（6）＝3. 解析：因为函数f（x）是以2为周期的函数，所以f（6）＝f（2）＝3. 1.下列现象不是周期现象的是（　　） A.“春去春又回” B.钟表的时针每12小时转一圈 C.“哈雷彗星”的运行时间 D.某同学每天上数学课的时间 解析：D　对于A，每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；对于B，时针每12小时转一圈，是周期现象；对于C，天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行时间是周期现象；对于D，某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象. 2.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋8）＝f（x），f（x）的图象关于直线x＝2对称，在区间[0，2]上单调递增，且最大值为3，若关于x的方程f（x）－＝0在区间[－8，8]上有根，则所有根的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：D　由题意知奇函数f（x）是一个周期函数且周期为8，又因f（x）关于x＝2对称，在区间[0，2]上单调递增且最大值为3，作示意图如图所示. 易知y＝与f（x）有四个交点，则f（x）－＝0有4个根，故选D. 3.若f（x）＝则f（223）＝（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：C　当x＞0时，f（x）＝f（x－4），此时f（x）是以4为周期的周期函数，所以f（223）＝f（3＋4×55）＝f（3）＝f（－1）＝2－1＋＝＋＝.故选C. 4.〔多选〕按照规定，冬季奥运会每4年举行一次.2022年冬季奥运会在北京举办，那么下列年份中举办冬季奥运会的应该是（　　） A.2026年 B.2029年 C.2032年 D.2034年 解析：AD　2026＝2022＋4，2029＝2022＋4＋3，2032＝2022＋4×2＋2，2034＝2022＋4×3，故选A、D. 5.〔多选〕下列函数图象中具有周期性的是（　　） 解析：ABD　抓住周期变化的特点：重复性.对于C，图象不重复出现，故不合题意. 6.下列函数是周期函数的是③④. ①f（x）＝x；②f（x）＝2x；③f（x）＝1＋（－1）x（x∈Z）；④f（x）＝ 解析：①f（x＋T）＝x＋T≠x，∴f（x）不是周期函数，①错误.只能从B、C中选，又∵③是周期函数，∴只需判断④即可，f（x＋T）＝是周期函数，故④正确. 7.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的丁点处. 解析：与乙点的位置相差周期的点为丁点. 8.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当0＜x≤1时，f（x）＝2x－1，则f（5）＝1. 解析：因为定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），所以函数的周期为2，所以f（5）＝f（5－2×2）＝f（1），因为当0＜x≤1时，f（x）＝2x－1，所以f（5）＝f（1）＝21－1＝1. 9.已知f（x）满足f（x＋1）＝，若函数y＝f（x）是周期函数，则f（x）的周期T＝4. 解析：∵f（x＋2）＝＝＝－，∴f（x＋4）＝－＝f（x），因此f（x）是周期函数，且周期T＝4. 10.函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝x－1，则不等式f（x）＞0在[－4，4]上的解集为（　　） A.（1，3）　　　　　　　　B.（－3，1） C.（－3，－1）∪（1，3） D.（－1，0）∪（0，1） 解析：C　由题意知，函数f（x）是周期为4的偶函数，且在x∈[0，2]时，f（x）＝x－1，作出该函数的图象如图所示，在[－4，4]上f（x）＞0的解集为（－3，－1）∪（1，3），故选C. 11.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－，且在（0，1）上f（x）＝3x，则f（log354）＝－. 解析：由已知f（x＋2）＝－可得f（x＋4）＝－＝－＝f（x），即函数f（x）的周期是4，∴f（log354）＝f（log3（27×2））＝f（3＋log32）＝f（－1＋log32）＝－f（1－log32）＝－f（log3）＝－＝－. 12.设函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，且f（1）＝2，则f（2）＋f（3）＝－2. 解析：因为函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，所以f（0）＝0，且f（－x）＝－f（x），f（x＋3）＝f（x），所以f（2）＝f（－1）＝－f（1）＝－2，f（3）＝f（0）＝0，所以f（2）＋f（3）＝－2. 13.f（x）是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f（x＋2）＝－f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（2－x），则下列结论正确的序号是①③. ①函数f（x）的一个周期为4； ②f（2 025）＝1； ③当x∈[2，3]时，f（x）＝－log2（4－x）. 解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数的一个周期为4，故①正确；f（2 025）＝f（4×506＋1）＝f（1）＝0，故②错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f（x）＝－f（x－2）＝－log2[2－（x－2）]＝－log2（4－x），故③正确. 14.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称. （1）求证：f（x）是周期为4的周期函数； （2）若f（x）＝（0＜x≤1），求当x∈[－5，－4]时，函数f（x）的解析式. 解：（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x＝1对称， 则有f（x＋1）＝f（1－x），即有f（－x）＝f（x＋2）. 又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故有f（－x）＝－f（x）.故f（x＋2）＝－f（x）. 从而f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）， 所以f（x）是周期为4的周期函数. （2）由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）＝0. 当x∈[－1，0）时，即－x∈（0，1]，f（x）＝－f（－x）＝－.故x∈[－1，0]时，f（x）＝－. 当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]，f（x）＝f（x＋4）＝－. 从而，x∈[－5，－4]时，函数f（x）＝－. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $