安徽合肥市第九中学2025-2026学年高三下学期数学第一次周测（限时训练一）试题

合肥九中2025-2026学年高三下学期数学限时训练一 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1．若复数满足，则的最小值为（）. A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知是同一平面内所有向量的一个基底，则 ”是“与的夹角是钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 4．已知数列为等比数列，为数列前项积，且，，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（    ） A．8 B．12 C．16 D．10 6．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ） A． B． C． D． 7．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．在棱长为1的正方体中，点P是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若点M在正方形内（含边界），且，则点M的轨迹长为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．存在点P，使得异面直线与所成的角为 11．已知函数的定义域为，则下面判断正确的是（   ） A．若，，则函数在上是增函数 B．若，，则函数是奇函数 C．若，，则函数是周期函数 D．若且，，则函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递减 三、填空题 12．在的展开式中，的系数是__________. 13．已知数列的前项和，当取最小值时，______． 14．已知点在直线上，，则原点与的最短距离为______． 四、解答题 15．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了名男生和名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (1)从这人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； (2)试依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼的经常性与性别是否有关． 附：，其中． α 16．设数列满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的最大项. 17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点． (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 19．已知函数，其中为常数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《合肥九中2025-2026学年高三下学期数学限时训练一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B B B B C A A ABD AB BCD 1．C 【分析】根据复数的几何意义，结合图形关系即可求解. 【详解】设复数对应的点为， 由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图.    表示点到原点的距离， 则圆上与原点距离最小的点到原点的距离为圆心到原点的距离减去半径. 由于圆心到原点的距离为，则的最小值为. 故答案为：C 2．B 【分析】根据题意，利用向量的数量积公式，分别验证充分性和必要性，即可判断答案. 【详解】与的夹角设为，则， 证明充分性：，则有，可得为钝角或平角，则充分性不一定成立； “与的夹角是钝角”，则成立，此时，必有，得到，则必要性成立； 故选：B 3．B 【分析】利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值. 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B. 4．B 【分析】由条件求，再结合等比数列性质求，由此可得结论. 【详解】由题意，数列为等比数列，为数列前项积， 所以， ， 则， 可得 故选：B. 5．B 【分析】将甲乙和一个空位捆绑放置，再考虑余下辆车的停放方法后可得不同停放方法的总数. 【详解】先停放甲乙，共有停放方法，余下辆车，共有， 则共有种停法. 故选：B. 6．C 【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设，则， 由题意，即，化简得， 解得（负值舍去）. 故选：C. 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 7．A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 8．A 【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案. 【详解】解：设＝， 则＝， ∵，∴， ∴，∴在定义域上单调递减， ∵ ∴＝， 又＝， ∴， ∴， ∴的解集为． 故选：A． 9．ABD 【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，因为，，则， 由不等式的基本性质可得，则，A对； 对于B选项，因为，不等式的两边同时除以可得， 因为，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，因为，，则， 由不等式的基本性质可得，C错； 对于D选项，因为，，由不等式的基本性质可得，则， 由不等式的基本性质可得，D对. 故选：ABD. 10．AB 【分析】根据正方体的性质、线面垂直的性质，结合球的定义、三棱锥的体积公式、异面直线所成角的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，在正方体中，有平面平面，所以，选项A正确； 对于B，，则点M在以点D为球心，半径的球上，又点M在正方形内（含边界），所以点M在球与正方形的交线上，即点M在以点为圆心，半径的圆周上，点M的轨迹长为，选项B正确； 对于C，，点到平面的距离是定值，定值为，三棱锥的体积取最大值，即三棱锥的体积取最大值，即底面的面积取最大值，即点P与点重合，，选项C错误； 对于D，异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即，所以，又，所以选项D错误． 故答案为：AB 11．BCD 【分析】令可判断A，利用奇函数定义可判断B，由周期函数的定义可判断C，根据函数单调性的定义即可判断D. 【详解】对于A，令，满足， 而，所以函数在上不是增函数，故选项A错误； 对于B，令，则，可得， 即满足，则函数是奇函数，可知B正确； 对于C，若，， 所以，即， 满足，可得函数是周期为的周期函数，即C正确； 对于D，取，满足， 因为函数在区间上单调递增，所以， 可得，所以， 即， 可得且； 所以函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增，即D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：在求解抽象函数奇偶性以及单调性时，要根据已知条件充分利用奇偶性和单调性定义，化简变形进行证明即可求得结论. 12． 【分析】利用二项式展开式定理把展开，再由所求的对象可判断含项的一定是：，从而可计算出系数. 【详解】由二项式展开式定理可得：， 所以含项的一定是：， 故答案为：. 13．3 【分析】求出数列的通项公式，代入并利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】数列的前项和， 当时，， 当时，，则满足上式，故 ，当且仅当，即时取等号， 所以当取最小值时，. 故答案为：3 14． 【分析】不妨设点，可求出向量的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的最小值，即为所求. 【详解】不妨设点，则， 因此，， 当且仅当时，等号成立， 因此，原点与的最短距离为. 故答案为：. 15．(1)； (2)认为学生体育锻炼经常性与性别有关 【分析】（1）根据列联表，结合古典概型概率公式，即可求解； （2）首先假设，再计算，再比较参考数据，即可得到结论. 【详解】（1）记事件为“选到的学生不经常锻炼”，事件为“选到的人是女生”， 根据条件概率公式，故； 即在选到的学生不经常锻炼条件下，是女生的概率为； （2）提出假设为学生体育锻炼经常性与性别无关， 则， 根据小概率值的独立性检验， 有充分的证据推断不成立， 因此认为学生体育锻炼经常性与性别有关． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过对已知递推公式进行变形，得到与的关系，再根据等差数列的定义证明； （2）先根据（1）的结果求出的表达式，进而得到的表达式，然后通过作差法比较与的大小， 判断数列的单调性，从而求出最大项. 【详解】（1）将两边同乘以， 得，即， 又，因此，是以1为公差，1为首项的等差数列. （2）由（1）得， 因此，， . 当时，，得，即. 又因为，所以， 即当时，， 所以的最大项是. 17．(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）取的中点，通过证明平面，再由线面垂直的性质定理即可得到结果. （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求线面角的公式即可得到结果. 【详解】（1）取的中点，连接, 由，易知为等腰直角三角形， 此时，又，所以. 因为,所以， 由，即，所以， 此时，,有四点共面，, 所以平面，又平面，所以. （2）由且,所以平面. 由，得为等边三角形， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， , 设平面的法向量 由,即，取，， 又，设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合之间的平方关系即可求解； （2）设直线的方程为，，联立双曲线方程结合韦达定理得，用以及的坐标表示出点以及的方程，根据对称性可知，只需在的直线方程中，令，证明相应的为定值即可求解. 【详解】（1）由题意，所以双曲线的标准方程为. （2）由题意，当直线斜率为0时，直线， 当直线斜率不为0时，设直线的方程为，， ， 所以， 直线的方程为：， 所以的方程为， 由对称性可知过的定点一定在轴上， 令 ， 又， 所以， 所以直线过定点. 19．(1)最大值为，最小值为 (2) 【分析】（1）当时，利用导数分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最小值和最大值； （2）由题意得在上有且只有一个变号零点，由可得，设，其中，分析函数在上的单调性，并求其值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 当时，， 当时，，则，可得， 当时，，则，可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，，故. 因此在区间上的最大值为，最小值为. （2）由题意得在上有且只有一个变号零点， 由可得， 设，其中， 因为 ， 因为，则， 因为内层函数在上单调递减，外层函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 当时，，故，即实数的取值范围是. 答案第10页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥九中2025-2026学年高三下学期数学限时训练一 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数满足，则的最小值为（）. A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知是同一平面内所有向量的一个基底，则 ”是“与的夹角是钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 4．已知数列为等比数列，为数列前项积，且，，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（    ） A．8 B．12 C．16 D．10 6．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ） A． B． C． D． 7．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法中正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．在棱长为1的正方体中，点P是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若点M在正方形内（含边界），且，则点M的轨迹长为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．存在点P，使得异面直线与所成的角为 11．已知函数的定义域为，则下面判断正确的是（   ） A．若，，则函数在上是增函数 B．若，，则函数是奇函数 C．若，，则函数是周期函数 D．若且，，则函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递减 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，的系数是__________. 13．已知数列的前项和，当取最小值时，______． 14．已知点在直线上，，则原点与的最短距离为______． 四、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了名男生和名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 女生 合计 (1)从这人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； (2)试依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼的经常性与性别是否有关． 附：，其中． α 16．（15分）设数列满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的最大项. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点． (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 19．（17分）已知函数，其中为常数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $