陕西靖边县靖边中学2026届高三数学模拟卷（一）

2026 届高三数学练习(一) 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U={x∈Z|-3<x<3},集合A={-2,-1.0},则 A.(0,3) B.(0,2] C.{1,2,3} D.1,2) 2.复数 (i为虚数单位)的虚部为 D. B. C. A. 3.将函数 的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则m的最小值为 A.π/12 B.π/6 C.π/3 1).π/2 4.已知焦点在x轴上的椭圆 以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 相交，则C的离心率的取值范围是 A.(0, B. C. D. 5.已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(2，1)，记函数 f(x)=P(ξ≤x)，则函数 f(x)的图象 A.关于直线x=2对称 B.关于点(2, )对称 C.关于直线x=1对称 D.关于点(1, 对称 6.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，设 Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，e₁，e₂分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，且 过点 P 作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P 的x 坐标和y坐标，记P(a，b)，则该坐标系中 M(3，3)和N(2，1)两点间的距离为 A.3 B.2 C. D. 7.已知圆 直线l: mx-y+2m+1=0(m≠0),若直线l与圆C 交于A,B 高三·数学·练习一[第1页] 学科网（北京）股份有限公司 两点，且满足 则实数m的值为 D. C. 8.已知关于x的方程(x-a) lnx-x-1=0有两根为 满足 若f(x)= 满足 f(-x)+f(x)=2,则函数h(x)在(-∞,0)上的最大值为 A.2 B. e-1 C.2-e D.1-e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等.《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是 A.三棱台体不是“刍甍” B.“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C.存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D.“刍甍”存在两个互相平行的面 10.已知曲线 则 A. m=2时,则C的焦点是 B.当m=6时,则C的渐近线方程为y=±2x C.当C表示双曲线时，则m的取值范围为m<-2 D.存在m，使C表示圆 11.如图,已知AO⊥平面OBC,∠BOC=²π/₃,OA=OB=2,OC=3,E为AB 的中点, 则以下正确的是 B. C. AB与OC 所成角的余弦值为 D. OE 与OF 所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”.若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”.函数 与函数 y=1+eˣ⁺¹的“公法线”方程为 .高三·数学·练习一[第2页] 学科网（北京）股份有限公司 13.若等比数列 的前20项积为 T₂₀,则 14.在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸取小球(每次至少摸取1个小球)，第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色，则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 近几年，新能源汽车的更新换代越来越引起人们的关注.某新能源车企想了解年轻司机与中老年司机对新能源车和燃油车的喜好程度，随机抽取了1000名司机，得到的2×2列联表如下： 偏好新能源车 偏好燃油车 总计 年轻司机 300 200 500 中老年司机 200 300 500 总计 500 500 1000 (1)若从抽取的年轻司机中任选1人，求此人偏好新能源车的概率； (2)依据α=0.001的独立性检验，能否认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联? 附： 其中n=a+b+c+d. α 0.01 0.005 0.001 xα 6.635 7.879 10.828 16.(本小题满分15分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°且 PA=AB=2,PA⊥平面ABCD,E为PD 的中点. (1)证明:PB∥平面AEC; (2)求 EC 与平面 PAD 所成的角; (3)求点 B 到平面AEC 的距离. 高三·数学·练习一[第3页] 学科网（北京）股份有限公司 17.(本小题满分15分) 在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,已知a,b,c成等比数列.若 为偶数，数列{an}满足 其前 n项和为 Sn,求 S₂ₙ的值.奇数， 18.(本小题满分17分) 已知椭圆 的左,右焦点分别为 F₁、F₂,直线l:y= kx+m(m≠0)与椭圆Γ交于M、N两点,(点 M在点 N的上方),与y轴交于点E. (1)求椭圆Γ的离心率e； (2)若直线l过点D(-1,0)时,设 求证：λ+μ为定值，并求出该值； (3)当k为何值时， 恒为定值，并求此时三角形 MON 面积的最大值. 19.(本小题满分17分) 已知函数 (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若函数 f(x)在x=0处取得极小值,求a的值; (3)若存在正实数m，使得对任意的. 都有f(x)<0,求a 的取值范围. 高三·数学·练习一 第4页 学科网（北京）股份有限公司 2026 届高三数学练习(二) 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.命题 的否定是 C. D. 2.已知复数 (i为虚数单位)，则z的虚部是 B. C. D. 3.已知函数 的图象关于点(π/3，0)中心对称，则ω= C.2 B. A. D. 4.已知向量a=(1,1),b=(2,m).若向量b在向量a上的投影向量为 a,则m= A.-1 B. D. C.1 5.已知数列{an}满足 则数列{|an|}的前12项和为 A.108 B.28 C.62 D.80 6.已知直线m，n，平面α，β给出下列命题： ①若m⊥α,n⊥β,且 m⊥n,则α⊥β; ②若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β; ③若m⊥α,n∥β,且m⊥n,则α⊥β; ④若m⊥α,n∥β,且m∥n,则α∥β. 其中正确的命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知a≠0,b>0,函数 若f(x)≥0,则 的最小值为 A. B. C. D. 8.已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为 f'(x),且当 时， 高三·数学·练习二[第1页] 学科网（北京）股份有限公司 若 则a，b，c的大小关系为 A. c<a<b B. a<c<b C. b<a<c D. a<b<c 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.数据-3,-1,3,7,8,9,11,15的下四分位数是1 B.若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数R² 越大的模型，拟合效果越好 C.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=36,D(X)=9,则n=48 D.依据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到\chi^{2}=6. 则依据α=0.01的独立性检验，可以认为两个变量没有关联 10.已知函数 若 且 则 C. D. 11.已知双曲线 的右焦点为 左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为 H，且交C的右支于点G，设O为坐标原点，P为C的左支上一动点，则 A.|AH|=|FH| B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 则A+C= . 13.赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量，需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B两个比赛场馆服务，则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为 . 14.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆 上，且其中至少有两个顶点是椭圆的顶点，则这样的等腰三角形的个数为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，设(x₀， 高三·数学·练习二[第2页] 学科网（北京）股份有限公司 0)为曲线y=f(x)的对称中心. (1)求 x₀; (2)已知锐角 中， 求 的取值范围. 16.(本小题满分15分) 在直三棱柱 中， (1)证明: (2)当 BC为何值时，平面. 与平面 夹角的余弦值为 17.(本小题满分15分) 已知函数 (1)求y=f(x)在区间[-2,3]上的最值； (2)若过点 P(2，t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求实数t的取值范围. 高三·数学·练习二[第3页] 学科网（北京）股份有限公司 18.(本小题满分17分) 已知椭圆 的焦距为2，且经过点 (1)求椭圆C的方程； (2)若A,B是椭圆上的两个点,且∠AOB=90°,证明: 为定值； (3)将椭圆C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 倍,得到曲线 D.若点 P( ,0),点 M,N在曲线D 上,且∠MPN=90°,求|MN|的最大值. 19.(本小题满分17分) 设t∈N*,n∈N*,若正项数列{an}满足 则称数列{an}具有性质“P(t)”. (1)若数列8,6,m,3,2具有性质“P(3)”,求实数m的取值范围; (2)设数列{an}的通项公式为 则是否存在t，使得数列{an}具有性质“P(t)”?若存在，求t的最小值，若不存在，请说明理由； (3)设函数 正项数列{an}的前n项和为 Sn，且满足 证明：数列{an}具有性质“P(2)”,并比较 Sn与 的大小. 高三·数学·练习二[第4页] 学科网（北京）股份有限公司 $ 练习·数学参考答案 学科网（北京）股份有限公司 高三·数学·练习一·参考答案 选择题 1. D 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D7. D 8. C 9. AB 10. ABD 11. ABC填空题 12. x+y-1=0 13.230 14. 提示： 1.由题意得U={x∈Z|-3<x<3}={-2,-1,0,1,2},则 CvA={1,2}.故选 D. ∴复.数 (i为虚数单位)的虚部为 .故选 B. 3.将函数 的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得的图象对应的函数为 由题意知 的图象关于原点对称，即函数为奇函数，故 即 故 即4m=kπ- 故当k=1时，m取最小值 故选 A. 另解：由题意知 的图象关于原点对称，故 即 故当k=1时,m取最小值 故选 A. 4.因椭圆 短半轴长为半径的圆与直线 相交，则 解得b>2,又椭圆焦点在x轴上，则b<a=3，故2<b<3，则椭圆C的离心率 故选 B. 5.由于函数 f(x)为如图中阴影部分面积，则 f(x)+f(4-x)=P(ξ≤x)+P(ξ≤4-x)=P(ξ≤x)+P(ξ≥x)=1,故函数f(x)关于点(2, )对称，故选B. 6.由题意可得 则 故选 D. 7.根据题意，圆C的圆心为(2，3)，半径为4，直线l: mx-y+2m 其中 |CB|cos∠ACB=-8,解得 可得∠ACB=120°,∴ 点 C 到 直 线 l 的 距 离 为 则 可得m=0(舍)或 故选 D. 8.∵x₁,x₂为方程(x-a) lnx-x-1=0的根,故( 且 而 故 即 又 ，而x₁≠1,否则 与题设矛盾，故 故 a 若a≠1,则. 这与x₁>0矛盾,故a=1.故x>0时, 此时 当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,故 f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,故f(x)在(0,+∞)上的最小值为f(1)=e,而 f(-x)+f(x)=2,故 f(x)在(-∞,0)上的最大值为2-e,即h(x)在(-∞,0)上的最大值为2-e.故选 C. 9.如图,AF∥BE∥CD,四边形ACDF为矩形，三棱台体是由一个三角形底面和一个平行的三角形顶面组成的五面体，三个侧面是梯形.在三棱台体中，有三对平行的棱(每对连接底面和顶面的对应顶点)，而不是只有三条平行的棱，∴三棱台体不是“刍薨”，故A正确；根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能所有四个非矩形面都是梯形.∴“刍薨”必须有且仅有两个面为三角形，故B正确；根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能有两个面为平行四边形.∴不存在有两个面为平行四边形的“刍薨”，故C错误；根据定义，三条棱互相平行且不全相等，如图，“刍薨”不存在两个互相平行的面，故D错误.故选 AB. 学科网（北京）股份有限公司 10.当m=2时,曲线C 是焦点在 y轴上的椭圆，且 交点坐标为F₁(0, ),F₂(0,- ),A 正确;当m=6时，曲线C 是焦点在 y轴上的双曲线，则C的渐近线为y=±2x，B正确；当C表示双曲线时，要满足:(4-m)(2+m)<0,解得:m>4或m<-2,C错误;当4-m=2+m,即m=1时， 表示圆,D正确.故选 ABD. 11.∵AO⊥平面OBC,OB,OC⊂平面OBC,∴OA⊥OB,OA⊥OC, -3,在△OAC中 ∴A正确;在△OEF中 有·流+ 成· C- 液·で= ∴B正确； ∴AB与OC 所成角的余弦值为 ,∴c正确；由以上知 且 在△OEF 中,由余弦定理得 D错误.故选ABC. 12.由 求得， 则 法 线 斜 率 为 则 在 处的法线方程为 由y=1+ 求导得 则法线斜率为 则 在 处的法线方程为 由“公法线”得， 解得 公法线”方程为x+y-1=0. 13.根据等差数列求和公式求得 再根据对数运算计算即可.则 14.某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球，则每次摸球的情况有C{+C}+C{+C}=4+6+4+1=15种，∴先后两次任意摸取小球共有15×15=225种情况；两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的情况有：第一次摸取1个球，第二次摸取4个球，情况共有C1×C{=4种；第一次摸取2个球，第二次摸取3个球，情况共有 种；第一次摸取3个球，第二次摸取2个球，情况共有 种；第一次摸取4个球，第二次摸取1个球，情况共有C{×C}=4种；∵每次摸到球的各种不同情况等可能，∴两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下的概率为 解答题 15.(1)由题意知年轻司机中，偏好新能源车的有300人，偏好燃油车的有200人， ∴从抽取的年轻司机中任选1人，此人偏好新能源车的概率为 (5分) (2)零假设为 H₀：司机对两种汽车的偏好与年龄无关，由表中的数据，得 (10分) 依据小概率值(α=0.001的独立性检验，我们推断H₀不成立，∴能够认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联.(13分) 16.(1)连接BD交AC 于O,连接OE. 易得O为BD中点， 又E为PD 的中点， 则PB∥OE, 又PB⊄平面AEC,OE⊂平面AEC, 则 PB∥平面AEC.(4分) (2)如图作CF⊥AD,因 PA⊥平面ABCD,CF⊂平面ABCD,则CF⊥PA, 又PA,AD⊂平面PAD,PA∩AD=A,则CF⊥平面 PAD. 连接FE,则∠CEF 为EC 与平面PAD 所成的角. 由题可得 则 (9分) 学科网（北京）股份有限公司 (3)如图,取 CD中点为 H,连接AH,易得AB⊥AH. 则以A 为原点，AB所在直线为x 轴，AP 所在直线为z轴，AH所在直线为y轴建立空间直角坐标系.则B(2，0，0),A(0,0,0),C(1, ,0),P(0,0,2),D(-1, ,0),E(- , ,1). 设平面AEC法向量为n=(x,y,z), 贝 令 则 故取 则点 B到平面AEC 的距离为 (15分) 17.∵a,b,c成等比数列, 即 又 即 由 知 (6分) 当n为偶数时 (9分) 当n为奇数时， (12分) (15分) 18.(1)由 I则a=2,b=1,故 ∴离心率 (4分) (2)由题设，联立l:y=k(x+1)与 得， 设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂), 则 (10分) (3)由题设，联立 消元得 设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂), 当 即 0时，则 则 当 为定值时，即与m²无关，故 0,得 (15分) 此时 又点O到直线l的距离 =1, 当且仅当 即m=±1时,等号成立,经检验，此时△>0成立，∴△MON 面积的最大值为1.(17分) 则f(0)=0,f'(x)=e²+ acosx, 故 f'(0)=1+a,∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(a+1)x.(4分) (2)由(1)知.f'(0)=a+1,∴a=-1, 此时 当x>0时, ∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递增, 设g(x)=f'(x),则 设 则 学科网（北京）股份有限公司 ∴当 ∴g'(x)在区间 上单调递增， 又 故存在 使得 ∴当x∈(x₀,0)时,g(x)<g(0)=0,即 f'(x)<0, ∴f(x)在区间(x₀,0)上单调递减, 在区间(0，+∞)上单调递增， 故函数 f(x)在x=0时取得极小值,∴a=-1.(10分) 则 f(0)=0,f'(x)=eˣ+ acosx, 当 f'(0)=1+a>0,即a>-1, 由函数 图象的连续性可知， 必存在正实数m,使得对任意的x∈(0,m),f'(x)>0, 此时f(x)单调递增,从而 f(x)>f(0)=0,不符合题意; 当 f'(0)=1+a<0,即a<-1, 由函数 图象的连续性可知， 必存在正实数m,使得对任意的x∈(0,m),f'(x)<0, 故 f(x)在(0,m)上单调递减, 从而 f(x)<f(0)=0,符合题意; 当a=-1时, 设 在(0,π)上恒为正, 在(0，π)上单调递增， ∴在(0,π)上 f'(x)>f'(0)=0,f(x)在(0,π)上单调递增,从而 f(x)>f(0)=0,不合题意; 综上,a的范围是(-∞,-1).(17分) 高三·数学·练习二·参考答案 选择题 1. A 2. A 3. A 4. C 5. D 6. A7. D 8. B 9. ABC 10. AB 11. ACD填空题 13. 14.24 提示： 1.命题“ 为全称量词命题，其否定为：3x 故选 A. 2.由题意 的虚部是 故选 A. 3.由题意可知 解得 Z),又∵0<ω<3,∴k=0,则 故选 A. 4.∵向量a=(1,1),b=(2,m),则向量b在向量a上的投影向量为： 故有 解得m=1.故选 C. 5.设数列{aₙ}的前n项和为Sₙ,则 n²,∵当 n≤4时,an>0,当 n≥5 时, 故选 D. 6.命题①:若m⊥α,m⊥n,则 n∥α,或n⊂α,又n⊥β,∴α⊥β,①正确;命题②:若m∥α,m∥n,则n∥α,或n⊂α,又 n∥β,此时α与β可能平行,也可能相交,②错误;命题③:若m⊥α,m⊥n,则n∥α,或n⊂α,又n∥β,此时α与β可能平行,也可能相交,③错误；命题④：若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n∥β,∴α⊥β,④错误;∴正确的命题个数是1.故选 A. 则a>0,且x=0是函数 的一个零点，即 当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 故选 D. 8.当 时，f'(x) cosx+f(x) sinx>0,令函数F(x)= 求导得 函数F(x)在(0,π/2)上单调递增,因此 又 f(x)是定义域为R的偶函数，则 则a<c<b.故选 B. 9.8个数从小到大排列,∵8×0.25=2,且 可得下四分位数是1，故A正确；由决定系数R² 越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好,B正确;∵X~B(n,p),E(X)=36,D(X)=9,则 解得： 故C正确；由 学科网（北京）股份有限公司 6.998>6.635=x₀₀₁,依据α=0.01的独立性检验,可以认为两个变量有关联的可信度越高，D错误.故选 ABC. 得0<x<4,即 f(x)的定义域为(0,4),则f'(x)= 则f(x)在(0,4)上单调递增,因 则0 则 ，故B正确，C错误；因f(4-x)+f(x)= 则 故 A 正确；取 则 则 不满足 故 D错误.故选 AB. 11.对双曲线： 双曲线在一、三象限的渐近线方程为y 如图：直线 FH 所在的直线方程为： 由即 由 即 又 F ( , 0), ∴ | GF | = 对 故 A 正确;对B:∵OG 不成立，故B错误；对(C:|PF|-|PG|≥|FG|=3- 当P，F，G三点共线时取等号，故C 正确；对D：设双曲线左焦点为 F₁，则 当 F₁，P，G三点共线时取等号.故D正确.故选 ACD. 12.由余弦定理，知 13.将4人平均分为两组，每组两人，共 种分法，再将两组人分配到A，B两个场馆，因此共 种分法，小赵与小周分到同一个场馆的分法有2种；故小赵与小周分到同一个场馆的概率为 14.设椭圆 的左右顶点分别为 A₁，A₂，上下顶点分别为 B₁，B₂.分以下四种情况进行分析：(1)若等腰三角形的三个顶点都是椭圆的顶点，则这样的三角形有4个，分别为△A₁A₂B₁,△A₁A₂B₂,△A₁B₁B₂,△A₂B₁B₂.(2)若三角形有且只有两个顶点在椭圆上，且是椭圆的左右顶点 A₁，A₂，根据椭圆的对称性，设该等腰三角形的另一个顶点在第一象限，记为点 P，则有 显然不能构成等腰三角形.∴当三角形的两个顶点是椭圆的左右顶点时，不能构成等腰三角形；(3)若三角形有且只有两个顶点在椭圆上，且是椭圆的上下顶点 B₁，B₂，根据椭圆的对称性，设该等腰三角形的另一个顶点在第一象限，记为点 当且仅当 |B₁B₂|时，△PB₁B₂是等腰三角形.∴当三角形的两个顶点是椭圆的上下顶点时，可以构成的等腰三角形有4个；检验：由题知：B₁(0,1),B₂(0,-1),设P(x,y),y≠-1,由 |B₁B₂|,得 化简得：(1012y-1011)(y+ 1)=0,解得 有2个满足条件的点，即有2个满足条件的三角形.同理当 时，满足条件的三角形有2个.∴当三角形只有两个顶点在椭圆上，且分别是椭圆的上下顶点 B₁，B₂时，可构成的等腰三角形共有4个.(4)若三角形有且只有两个顶点在椭圆上，且一个是椭圆的长轴的端点，一个是椭圆的短轴的端点.根据椭圆的对称性，可先讨论 学科网（北京）股份有限公司 两个顶点分别是A₁，B₁.如图，当线段 A₁B₁为等腰三角形的底时，线段A₁B₁的垂直平分线与椭圆交于 P₁，P₂两点，∴满足条件的三角形有2个.∴只有两个顶点是椭圆的顶点，且以A₁B₁为底的等腰三角形有2个.同理，只有两个顶点是椭圆的顶点,且分别以A₁,B₂,A₂,B₁,A₂,B₂为底的等腰三角形各有 2 个.当线段 A₁B₁ 为等腰三角形的腰时，由题知： 设 0,且-1<y<1,y≠0,若∠PA₁B₁ 为等腰三角形的顶角,则|PA₁| 化简得： 2 ✔2025x=0(1012y-1011)(y+1) = 0,解得:x= ∴不存在满足条件的点，即没有 满足条件的三角形.若∠PB₁A₁ 为等腰三角形的顶角，则 化简得： 解得： 根据对称性，有2个满足条件的点，即有2个满足条件的三角形.∴只有两个顶点是椭圆的顶点，且以A₁B₁为腰的等腰三角形有2个.同理，只有两个顶点是椭圆的顶点，且分别以 A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂为腰的等腰三角形各有2个.综上所述，满足条件的等腰三角形共有：4+4+2×4+2×4=24个. 解答题 在(0,²π/₃]上单调递增, 在 上单调递减， 且 可知 ,(3分) 又由 可知 故 由 可得 即 (6分) (2)由(1)可知 则 (8分) 又由△ABC为锐角三角形有 即 则 故 cosB+cosC的取值范围为((3/2,1].(13分) 16.(1)∵AA₁=AC, ∴由直三棱柱的性质知四边形AA₁C₁C为正方形， ∴A₁C⊥AC₁, 而B₁C₁⊥A₁C,B₁C₁∩AC₁=C₁, B₁C₁,AC₁⊂平面AB₁C₁, ∴A₁C⊥平面AB₁C₁, 而AB₁⊂平面AB₁C₁, ∴A₁C⊥AB₁.(5分) (2)由题意知B₁C₁⊥A₁C,B₁C₁⊥CC₁,A₁C∩CC₁=C,A₁C,CC₁⊂平面AA₁C₁C, ∴B₁C₁⊥平面AA₁C₁C,而A₁C₁⊂平面AA₁C₁C, ∴B₁C₁⊥A₁C₁,故C₁A₁,C₁B₁,C₁C两两垂直,以C₁为坐标原点,C₁B₁,C₁A₁, C₁C方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，(7分) 设BC=a(a>0), 则C₁(0,0,0),A₁(0,2,0),A(0,2,2),B₁(a,0,0),C(0,0,2),从而 (10分) 设平面 AB₁C的一个法向量为 则即 可取m=(2,0,a),设平面 A₁B₁C的一个法向量为 则即 可取n=(2,a,a), 学科网（北京）股份有限公司 故 平方化简得 又a>0, 故 (15分) 17.(1)函数 求导得 当-2≤x<-1或1<x≤3时,f'(x)>0; 当-1<x<1时,f'(x)<0, 函数 f(x)在[-2,-1],[1,3]上单调递增,在[-1,1]上单调递减， 而 f(-2)=-2,f(1)=-2,f(-1)=2,f(3)=18, ∴函数 f(x)的最大值是18,最小值是-2.(5分) (2)设过点 P(2,t)的直线与曲线 y=f(x)相切的切点为(x₀, 由(1)得切线斜率 切线方程为 由切线过点 P(2,t), 得 整理得 令 求导得 -6x(x-2), 当x<0或x>2时,g'(x)<0; 当0<x<2时,g'(x)>0, 函数g(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增， 函数g(x)在x=0处取得极小值g(0)=-6,在x=2处取得极大值g(2)=2,(9分) 由过点 P(2，t)存在3条直线与曲线 y=f(x)相切， 得方程 有3个互不相同的解， 即直线y=t与函数y=g(x)的图象有三个交点， 在同一坐标系内作出直线 y=t与函数y=g(x)的图象，如图： 观察图象得当-6<t<2时，直线 y=t与函数y=g(x)的图象有三个交点， ∴实数t的取值范围是(-6,2).(15分) 18.(1)由题意得 解得 ∴椭圆C的方程为 (4分) (2)当直线OA 或OB 其中一条斜率不存在时， (6分) 当直线 OA，OB 斜率存在且均不为0时，设直线OA：y=kx,A(x₁,y₁), 由 得 同理可得 综上， (10分) (3)解法一: 设曲线 D 上任意一点坐标为(x，y)，对应椭圆C上点坐标为(x₀,y₀), 则 代入 中得： (13分) 设 MN的中点为T(x,y), 即 (17分) 解法二： 设曲线 D 上任意一点坐标为(x，y)，对应椭圆C上点坐标为(x₀,y₀), 则 代入 中得： (13分) 设原点到直线 PM，PN的距离分别为m，n， 学科网（北京）股份有限公司 则 当且仅当m=n=1时取得等号. 即|MN|的最大值为 (17分) 19.(1)已知数列8,6,m,3,2具有性质“P(3)”, 则 由 可得2<m<6, 由 可得3<m<9, 综上,3<m<6,则实数m的取值范围是(3,6).(5分) (2)假设数列{an}具有性质“P(t)”, 则 即 由 得 即 ∵n∈N', 且n→+∞时 ∴t²≥8, 由 可得 ∵n∈N', 则 综上， ∵t∈N', ∴t的最小值为3.(10分) (3)函数 数列{an}中,an>0,由 得 则 要证 即证 即证 只需证 令函数 ，求导得 则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=0, ∴g(an)>0,故( 得证； 要证 即证 只需证 令 求导得 令函数 求导得 故 在(0,+∞)上单调递增, 则 即 函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增, 则 即 成立， 由 得 而 则当 n≥2 时, 故 又 (17分) 高三·数学·练习三·参考答案 选择题 1. C 2. B 3. B 4. B 5. D 6. B 7. A 8. A 9. BCD 10. ACD 11. AC 填空题 13.±7 14. 或154 提示： 1.集合U={1,2,3,4,5,6,7,8}.解不等式 得2<x<6,又x∈N,故A={3,4,5}.则 其元素个数为5.故选 C. 2.∵复数z是纯虚数,∴设复数z= bi(b∈R,b≠0),则 是纯虚 学科网（北京）股份有限公司 $