2026年中考数学复习解答题专项集训-函数基础知识

2026年中考数学复习解答题专项集训之函数基础知识 一．解答题（共20小题） 1．（2025•北京）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 T＝3时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线∁T．当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为　 　 时，y的值首次超过35； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第　 　 日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行　 　 日的模拟练习． 2．（2025•西城区二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为8km，幼儿园到小明妈妈单位的路程为3km，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，如表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程S1（单位：km）和S2（单位：km）的部分数据： P 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100% S1 0 3 7 15 23 31 39 S2 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画S1与P，S2与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶　 　 km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车　 　 （填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为　 　 （精确到1%）． 3．（2025•吉林一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在AB上的速度为每秒2个单位长度，在BC上的速度为每秒个单位长度．过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作矩形PDEF，且PD＝2PF．设点P的运动时间为t秒，矩形PDEF和△ABC重叠部分图形的面积为S． （1）当点F在BC上时，t＝　 　 ． （2）当矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 4．（2025•南陵县二模）图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段AB是一段直滑道，点A在y轴上，且OA＝1．滑道B﹣C﹣D为抛物线的一部分，在点C（4，2）处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，BG⊥x轴于点G，滑道B﹣C﹣D与滑道D﹣E﹣F可看作形状相同，开口方向相反的两段抛物线，点F（12，0）． （1）求抛物线B﹣C﹣D和D﹣E﹣F的函数表达式； （2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离； （3）点M为B﹣C上的一点，求点M到BG和到x轴的距离之和（图中MH+MN）的最大值及此时点M的坐标． 5．（2025•开州区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，连接BD，动点E从B到A以每秒1个单位/秒运动，到A停止运动，运动过程中，连接CE交DB于F，用x表示E运动时间（0＜x＜6）△BCE面积y1线段CF与EF的比值为y2． （1）直接写出y1，y2函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2的函数图象，并写出函数y1，y2的一条性质：　 　 ． （3）根据函数图象，直接写出当y2≤y1＜4时，x的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 6．（2025•宁江区校级三模）小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题： （1）图象表示了 　 　 和 　 　 两个变量的关系； （2）小潘家到舅舅家路程是 　 　 米；小潘在商店停留了 　 　 分钟； （3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米/分？ 7．（2025•息县模拟）如图，等腰直角三角形ABC的三个顶点坐标A（1，3），B（3，1），C（3，3），反比例函数的图象经过点C． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的两个点，再画出反比例函数位于第一象限的图象． （3）若将等腰直角三角形ABC向上平移m个单位，再向右平移n个单位后，顶点A、B的对应点恰好都在反比例函数的图象上，请直接写出满足条件的m，n的值． 8．（2025•鲁山县三模）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，P为AB上一点（点P不与点A，B重合），过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设AP的长度为x，点P，Q间的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质． （3）结合函数图象，直接写出y1＜y2时，x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 9．（2025•西安模拟）我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数y＝﹣0.02x2+bx+c的图象，支柱AO＝1.6m，最外端点B的坐标为（6，2.68）． （1）求该二次函数的表达式． （2）若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长CD＝4m、高DE＝2.2m的矩形，判断此纯电货车能否完全停到车棚内，并说明理由． （3）为确保在车棚内能容纳长5m、高2.5m的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱OA的方式进行改造，则抬起的高度至少需要大于多少米？ 10．（2025•扬州三模）某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x3﹣3x的图象与性质进行了探究．请补充完整以下探索过程： （1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣2 m 2 0 n 2 … 请直接写出m，n的值； （2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象； （3）若函数y＝x3﹣3x的图象上有三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜﹣2＜x2＜2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为　 　 （用“＜”连接）； （4）若方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根．请根据函数图象，直接写出k的取值范围． 11．（2025•番禺区校级三模）请根据以下素材，探索完成任务． 买新能源车到底划不划算 素材1 某中学数学兴趣小组对市场上配置相近的A款燃油车和B款新能源车对比调查．其中A、B两款车的有关数据如下： 购车费用/万元 购置税/万元 年均保养费用/万元 年均保险费用/万元 预计10年后的车价/万元 A款燃油 30 3.0 0.20 0.80 9.6 B取加能 36 0 0.10 1.0 4.0 素材2 总费用（以使用10年为例）＝购车费用﹣预计10年后的车价+购置税+保养费用+保险费用+油费或电费 素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多1.2元，当油费和电费均为400元时，新能源车的行驶路程是燃油车的4倍 问题解决 任务1 A款燃油车每公里油费是多少元； 任务2 设平均每年的行驶路程为x万公里，A款燃油车使用年的总费用为yA万元，B款新能源车使用10年的总费用为yB万元，分别求出yA和yB关于x的表达式； 任务3 每年行驶里程至少为多少万公里时，购买B款新能源车更划算（以使用10年为例）． 12．（2025•安丘市一模）某地举行龙舟比赛，赛程为900米．甲、乙两队比赛时，路程y（米）与时间x（分钟）的函数关系如图所示． （1）最先到达终点的是　 　 队，比另一队领先　 　 分钟到达； （2）求出图中点C的坐标，并解释它的实际意义； （3）假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁早到达终点？早几分钟？ 13．（2025•平谷区一模）脂肪氧化率（单位：g/min）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位%VO2max）密切相关，如表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（%VO2max） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率（g/min） 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 m 0.50 0.39 0.22 （1）通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为x，脂肪氧化率为y，y是x的函数．在如下建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： （2）结合函数图象，解决问题： ①m的值约为　 　 （精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度x的范围约为　 　 （精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在　 　 千米/小时左右（精确到整数位）． 14．（2025•武强县校级模拟）在平面直角坐标系中，直线l1经过A（﹣3，4），B（3，0），直线与x轴交于点C，与直线l1交于点D． （1）求直线l1的函数解析式： （2）求△BCD的面积； （3）嘉淇为了更好观看图象，截屏该问题的图象，如图所示，嘉淇发现屏幕上有一位置固定的黑点M，刚好落在直角坐标系中坐标为（6，2）的位置上，嘉淇通过手机的触屏功能，在坐标原点的位置与可视范围不改变的情况下，把截屏横向、纵向放大相同的倍数，当直线l1恰好经过点M时，图中坐标系的单位长度变为原来的a倍，直接写出a的值． 15．（2025•沙坪坝区校级三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，对角线AC＝12，动点P沿A→B→C以每秒2.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动；同时，动点Q沿A→C以每秒1.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动．连接PQ，BQ，设点P的运动时间为x秒，点P，Q的距离为y1，菱形ABCD的面积与△ABQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 16．（2025•大兴区二模）如图，在△ABC中，CA＝CB，AB＝4cm，点C到AB的距离为h cm，以AB为直径在AB上方作半圆，点P是AB上的动点，过点P作AB的垂线m，设AP＝x cm，直线m截半圆和等腰三角形得到阴影图形的面积分别记为S1（单位：cm2），S2（单位：（cm2），部分数据如下： （1）当h＝4cm时，S1与x，S2与x对应关系的部分数据如表： x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 S1/cm2 0 0.45 1.23 2.15 a 4.13 5.05 5.83 6.28 S2/cm2 0 0.25 b 2.25 4.00 5.75 7.00 7.75 8.00 根据以上信息，回答下列问题： ①a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 （结果保留小数点后两位）； ②通过分析数据，发现可以用函数刻画S1与x，S2与x之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出S2关于x的函数图象； ③根据以上数据和函数图象，若x≠0，则x＝ 　 　 cm时，S1＝S2（结果保留小数点后一位）； （2）当h＝2cm时，对于0＜x＜4，S1　 　 S2（填“＞”“＝”或“＜”）． 17．（2025•亭湖区校级二模）学科实践 “科学减重、健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召，合理膳食，加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减脂运动，“博•约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值） 【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图象经过适当平移后的函数模型… 设拟合函数为： 【问题解决】 （1）如图，若选取A（50，140），B（75，155），C（150，180）进行拟合，经计算k＝﹣11250，请求出拟合函数表达式． （2）从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ （3）①根据图象变换，（1）中图象可由的图象向左平移　 　 个单位，再向上平移　 　 个单位得到： ②点P在（1）中图象上运动，且位于直线y＝x左侧，当点P到直线y＝x距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 18．（2025•北碚区校级三模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点P以每秒1个单位长度从点A出发，沿着A→C→D运动，当点P到达D点时停止运动，动点Q以每秒个单位长度从点A出发，沿A→D方向运动，P、Q两点同时停止运动，点E为直线AC上的动点，满足2S△AEQ＝S△ABC，设点P，Q的运动时间均为x秒，记△BCP的面积为y1，点E到直线AD的距离为y2． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 19．（2025•重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，动点P从点A出发沿折线A﹣B﹣D方向运动，同时动点Q沿射线CB方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，DQ．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），记△ADP的面积为y1，△BCD的面积与△DCQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 20．（2025•滑县二模）如图，A，B，D都在格点（网格线的交点）上，CD是Rt△OAB的中位线，反比例函数的图象经过点C（4，2）． （1）求反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的三个点，再画出反比例函数的图象． （3）将点A向左平移，当平移距离等于 　 　 时，点A恰好落在这个反比例函数的图象上． 2026年中考数学复习解答题专项集训之函数基础知识 参考答案与试题解析 一．解答题（共20小题） 1．（2025•北京）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 T＝3时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线∁T．当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为　6　 时，y的值首次超过35； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第　7　 日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行　1　 日的模拟练习． 【考点】函数的图象；函数的概念；函数值．版权所有 【专题】函数及其图象；推理能力． 【答案】（1）6； （2）见解析； （3）①7；②1． 【分析】（1）找C1图象上y的值首次超过35时的x值； （2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3，C3：T＝3x＝4时，y＝46，得T+x＝7；C2：T＝2，当x＝6时，y＝45，得T+x＝8，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； ②分模拟练习T＝0日，T＝1日，T＝2日，T＝3日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数． 【解答】解：（1）由曲线C1看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35， 故答案为：6； （2）∵T＝3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个， ∴相差48﹣43＝5（个）， 把5分成两个接近的数，5＝3+2， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴m＝43+3＝46， 画出T＝3时的曲线C3： （3）①单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3， C3：T＝3日的模拟练习，然后试制阶段第x＝4日制成的合格品达到y＝46个， ∴T+x＝7； C2：T＝2日的模拟练习，然后试制阶段第x＝6日制成的合格品达到y＝45个， ∴T+x＝8， ∵7＜8， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②如图， 当模拟练习T＝0日时， 4日内的试制时间x＝4﹣0＝4日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有7+8+10+12＝37； 当模拟练习T＝1日时， 4日内的试制时间x＝4﹣1＝3日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有12+19+26＝57； 当模拟练习T＝2日时， 4日内的试制时间x＝4﹣2＝2日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有20+30＝50； 当模拟练习T＝3日时， 4日内的试制时间x＝4﹣3＝1日， 1日的合格产品是26； ∵26＜37＜50＜57， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． 故答案为：1． 【点评】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键． 2．（2025•西城区二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为8km，幼儿园到小明妈妈单位的路程为3km，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，如表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程S1（单位：km）和S2（单位：km）的部分数据： P 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100% S1 0 3 7 15 23 31 39 S2 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画S1与P，S2与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶　7.1　 km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车　不能　 （填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为　44%　 （精确到1%）． 【考点】函数的图象．版权所有 【专题】函数及其图象． 【答案】（1）图象见解析；（2）①7.1；②不能；③44%． 【分析】（1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出S1与P、S2与P对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于S1与P，有（0%，0），（10%，3）等点；对于S2与P，有（0%，0），（10%，2）等点； （2）①先根据函数图象或数据找到 P＝50% 时，S1和S2的值，然后计算两者差值； ②找到 P＝30% 时S2的值，与小明家到幼儿园的路程8km比较大小； ③小明家到幼儿园路程为8km，幼儿园到单位路程为3km，分别估算对应的P值，相加即可得解． 【解答】解：（1）如图， （2）①从表格数据或图象估算，当 P＝50%时，S1≈19.1，S2≈12， ∴S1﹣S2≈19.1﹣12＝7.1km， 故答案为：7.1； ②从表格数据或图象估算，当P＝30%时，S2的值约为6.5km， ∵6.5＜8， ∴不能将小明送到幼儿园， 故答案为：不能； ③观察S2的数据，当P＝34%时，S2＝8， 观察S1的数据，当P＝10%时，S1＝3， ∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为10%+34%＝44%， 故答案为：44%． 【点评】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题．解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题． 3．（2025•吉林一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在AB上的速度为每秒2个单位长度，在BC上的速度为每秒个单位长度．过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作矩形PDEF，且PD＝2PF．设点P的运动时间为t秒，矩形PDEF和△ABC重叠部分图形的面积为S． （1）当点F在BC上时，t＝　2　 ． （2）当矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 【考点】函数关系式．版权所有 【专题】推理能力． 【答案】（1）2； （2）S． 【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AB＝AC＝6，，∠B＝∠C＝45°，当点F在BC上时，由题意得PD＝2t，，则PB＝AB﹣PD＝6﹣2t，由矩形PDEF，得到∠BFP＝∠B＝45°，则PB＝PF，据此列方程求解即可； （2）当P在AB上，F到BC之前时；当P在AB上，F到BC之后时；当P在BC上时，三种情况分类讨论，分别画出图形，表示出对应线段的长度，求出当矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式即可，注意证明等腰直角三角形． 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6， ∴AB＝AC＝6，，∠B＝∠C＝45° 当点F在BC上时，由题意得PD＝2t，，则PB＝AB﹣PD＝6﹣2t， ∵矩形PDEF， ∴PF∥AC， ∴∠BFP＝∠B＝45°， ∴PB＝PF， ∴t＝6﹣2t， 解得t＝2， 故答案为：2； （2）当P在AB上，F到BC之前时，0＜t≤2，如图， 此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为矩形PDEF， S＝S矩形PDEF＝PD•PF＝2t••2t＝2t2； 当P在AB上，F到BC之后时，2＜t≤3，如图， 此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为五边形，不合题意； 当P在BC上时，如图，设EF与BC交点G， 此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为梯形PDEG， 此时由题意可得：，， ∵， ∴， 解得3＜t＜6， ∵矩形PDEF， ∴∠FPG＝∠C＝∠PGF＝∠EGC＝∠DPC＝45°， ∴PF＝FG，EG＝EC，PD＝DC， ∴， ∴PD＝EF＝12﹣2t， ∵PD＝2PF， ∴EG＝EF﹣FG＝6﹣t， ∴矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形面积； 综上所述，S． 【点评】本题考查动点问题的函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． 4．（2025•南陵县二模）图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段AB是一段直滑道，点A在y轴上，且OA＝1．滑道B﹣C﹣D为抛物线的一部分，在点C（4，2）处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，BG⊥x轴于点G，滑道B﹣C﹣D与滑道D﹣E﹣F可看作形状相同，开口方向相反的两段抛物线，点F（12，0）． （1）求抛物线B﹣C﹣D和D﹣E﹣F的函数表达式； （2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离； （3）点M为B﹣C上的一点，求点M到BG和到x轴的距离之和（图中MH+MN）的最大值及此时点M的坐标． 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【专题】函数及其图象；运算能力． 【答案】（1）滑道 B﹣C﹣D解析式为 ，滑道D﹣E﹣F的函数表达式为 ． （2）过山车到出发点A的水平距离为x＝0.5或 ； （3）最大值为4，M的坐标为（4，2）． 【分析】（1）待定系数法求出滑道 B﹣C﹣D和 D﹣E﹣F 的解析式即可； （2）先求出直线AB的解析式，再分析x＝1.5时在各段函数上的对应x值，最后计算各点到点A的水平距离即可； （3）设 ，则MH＝x﹣2，，整理出MH+MN关于x的函数解析式，分析判断最值即可得到点M坐标． 【解答】解：（1）滑道 B﹣C﹣D； 的顶点为点C（4，2）， ∴ 即 ， ∵点B到点A的水平距离为2， ∴将x＝2代入 ， ∴点B（2，3）． ∵点D与点B关于直线x＝4对称， 点D（6，3）． ∵滑道 B﹣C﹣D 与滑道 D﹣E﹣F 是形状完全相同、开口方向相反的抛物线， ∴可设抛物线 D﹣E﹣F 的函数表达式为 ． 将点F（12，0），D（6，3）分别代入得： ，解得， ∴抛物线 D﹣E﹣F的函数表达式为 ． （2）设直线AB的函数表达式为 y＝kx+b． 将 B（2，3），A（0，1）代入 y＝kx+b 得： ，解得， ∴直线AB的函数表达式为y＝x+1． ∵点C（4，2）为抛物线 B﹣C﹣D 的顶点， ∴抛物线 B﹣C﹣D 不存在 y＝1.5 的点． 当 y＝1.5 时，1.5＝x+1，x＝0.5． ， 解得 ， 根据图象可知 ， 综上所述，y＝1.5 时，过山车到出发点A的水平距离为： x＝0.5或 ； （3）设 ，则MH＝x﹣2，， ， ∵点M为B﹣C上一点， ∴2≤x≤4，且MH+MN的值随x的增大而增大， ∴当x＝4时，， ∴当 x＝4 时，MH和MN长度之和的最大值为4． 此时M的坐标为（4，2）． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 5．（2025•开州区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，连接BD，动点E从B到A以每秒1个单位/秒运动，到A停止运动，运动过程中，连接CE交DB于F，用x表示E运动时间（0＜x＜6）△BCE面积y1线段CF与EF的比值为y2． （1）直接写出y1，y2函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2的函数图象，并写出函数y1，y2的一条性质：　当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大，当0＜x＜6时，y2随x的增大而减小　 ． （3）根据函数图象，直接写出当y2≤y1＜4时，x的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【专题】函数及其图象；推理能力． 【答案】（1）1，； （2）图见解析；当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大，当0＜x＜6时，y2随x的增大而减小； （3）2≤x＜2.7． 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）画出函数图象，结合函数图象写出函数的一条性质即可； （3）结合函数图象，写出x的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据题意得：BE＝x，则 AE＝6﹣x， 矩形ABCD中，∵AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝3，AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF，， ∴，即， ∴y1，y2函数关系式分别为1，； （2）根据题意得：函数的图象过点（0，0），（2，3），（6，9）， 函数的图象过点（1，6），（2，3），（3，2），（6，1）， 画出函数图象，如图， 函数y1，y2的一条性质： 当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大， 当0＜x＜6时，y2随x的增大而减小； 故答案为：当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大，当0＜x＜6时，y2随x的增大而减小； （3）观察图象得：两函数图象交于点（2，3）， 对于， 当y1＝4时，， 观察图象得：当2≤x＜2.7时，y2≤y1＜4， 即当y2≤y1＜4时，x的取值范围为2≤x＜2.7． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，画动点问题的函数图象，能运用数形结合的思想解答是解题的关键． 6．（2025•宁江区校级三模）小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题： （1）图象表示了 　时间　 和 　距离　 两个变量的关系； （2）小潘家到舅舅家路程是 　1500　 米；小潘在商店停留了 　4　 分钟； （3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米/分？ 【考点】函数的图象．版权所有 【专题】函数及其图象；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和路程； （2）由所给图象得出小明骑行的时间和骑行的路程即可解决问题． （3）分别求出每段骑行的速度即可解决问题． 【解答】解：（1）图象表示了时间和距离两个变量的关系； 故答案为：时间，距离； （2）小潘家到舅舅家路程是1500米；小潘在商店停留了：12﹣8＝4（分钟）， 故答案为：1500，4； （3）0至4分钟的速度为：1200÷4＝300（米/分钟）， 12至14分钟的速度为：（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450（米/分钟）， 所以小潘骑车最快的速度是450米/分． 【点评】本题考查了函数的图象，熟练掌握图象的意义是解题的关键． 7．（2025•息县模拟）如图，等腰直角三角形ABC的三个顶点坐标A（1，3），B（3，1），C（3，3），反比例函数的图象经过点C． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的两个点，再画出反比例函数位于第一象限的图象． （3）若将等腰直角三角形ABC向上平移m个单位，再向右平移n个单位后，顶点A、B的对应点恰好都在反比例函数的图象上，请直接写出满足条件的m，n的值． 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）反比例函数解析式为； （2）见解答； （3）． 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据描点法即可作图； （3）先表示出平移后的顶点A、B的对应点，再代入反比例函数解析式即可求解． 【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点C（3，3）， ∴k＝3×3＝9， ∴反比例函数解析式为； （2）如图，描出，两点， 图象如图所示： （3）∵A（1，3），B（3，1），向上平移m个单位，再向右平移n个单位后，顶点A、B的对应点分别为 （1+n，3+m），（3+n，1+m），将点 （1+n，3+m），（3+n，1+m） 代入， 则：， 由①﹣②得m＝n，将m＝n代入①，整理得：n2+4n﹣6＝0，解得：或（舍）， ∴． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，待定系数法求函数解析式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 8．（2025•鲁山县三模）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，P为AB上一点（点P不与点A，B重合），过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设AP的长度为x，点P，Q间的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质． （3）结合函数图象，直接写出y1＜y2时，x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【考点】函数的图象．版权所有 【专题】函数及其图象． 【答案】（1）y1x（0＜x≤6），y2（0＜x≤6）； （2）y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小； （3）当y1＜y2时，x的取值范围0＜x＜2.1． 【分析】（1）证明△APQ∽△ABC，根据相似三角形的性质可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， ∴，y2， ∴y1x（0＜x≤6），； （2）函数图象如图所示； 由函数图象可知，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小； （3）由函数图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围0＜x＜2.1． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定． 9．（2025•西安模拟）我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数y＝﹣0.02x2+bx+c的图象，支柱AO＝1.6m，最外端点B的坐标为（6，2.68）． （1）求该二次函数的表达式． （2）若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长CD＝4m、高DE＝2.2m的矩形，判断此纯电货车能否完全停到车棚内，并说明理由． （3）为确保在车棚内能容纳长5m、高2.5m的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱OA的方式进行改造，则抬起的高度至少需要大于多少米？ 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【专题】函数及其图象． 【答案】（1）y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6；（2）不能，理由见解析；（3）支柱OA抬高的高度至少需要大于0.62米． 【分析】（1）由题意可知，A（0，1.6），B（6，2.68），利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得OC＝2m，进而求出x＝2时的函数值，与货车的高度比较即可； （3）设支柱OA抬高的高度为m米，则改造后棚顶横截面的解析式，由题意可知当x＝1时，y1≥2.5，进而求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）由题意可知，A（0，1.6），B（6，2.68）， 则， 解得：， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6； （2）不能，理由如下： 由题意可知，OD＝6m，CD＝4m，DE＝CF＝2.2m， 则OC＝2m， 当x＝2时，y＝﹣0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12， ∵2.12m＜2.2m， ∴此纯电货车不能完全停到车棚内； （3）设支柱OA抬高的高度为m米，则改造后棚顶横截面的解析式为， ∵要求改造后车棚内能容纳长5m、高2.5m的车辆进入充电， ∴当x＝1时，y1≥2.5， ∴， 解得：m≥0.62， 即支柱OA抬高的高度至少需要大于0.62米． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 10．（2025•扬州三模）某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x3﹣3x的图象与性质进行了探究．请补充完整以下探索过程： （1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣2 m 2 0 n 2 … 请直接写出m，n的值； （2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象； （3）若函数y＝x3﹣3x的图象上有三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜﹣2＜x2＜2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为　y1＜y2＜y3　 （用“＜”连接）； （4）若方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根．请根据函数图象，直接写出k的取值范围． 【考点】函数的图象．版权所有 【专题】作图题；函数及其图象． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）从函数的对称性可得：m，n＝﹣2； （2）描点如下函数图象； （3）从图象看，确定x1、x2、x3，再图象上的位置，即可求解；则y1，y2，y3之间的大小关系为：y1＜y2＜y3； （4）方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根，从图象即可看出． 【解答】解：（1）从函数的对称性可得：m，n＝﹣2； （2）描点如下函数图象 （3）从图象看，x1＜﹣2＜x2＜2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为：y1＜y2＜y3， 故答案为：y1＜y2＜y3； （4）从图象看，方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根，在x轴下方的临界点是y＝﹣2，同理x轴上方的临界点是y＝2，故：﹣2＜k＜2． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，主要考查函数的画图，并利用函数图象解决实际问题． 11．（2025•番禺区校级三模）请根据以下素材，探索完成任务． 买新能源车到底划不划算 素材1 某中学数学兴趣小组对市场上配置相近的A款燃油车和B款新能源车对比调查．其中A、B两款车的有关数据如下： 购车费用/万元 购置税/万元 年均保养费用/万元 年均保险费用/万元 预计10年后的车价/万元 A款燃油 30 3.0 0.20 0.80 9.6 B取加能 36 0 0.10 1.0 4.0 素材2 总费用（以使用10年为例）＝购车费用﹣预计10年后的车价+购置税+保养费用+保险费用+油费或电费 素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多1.2元，当油费和电费均为400元时，新能源车的行驶路程是燃油车的4倍 问题解决 任务1 A款燃油车每公里油费是多少元； 任务2 设平均每年的行驶路程为x万公里，A款燃油车使用年的总费用为yA万元，B款新能源车使用10年的总费用为yB万元，分别求出yA和yB关于x的表达式； 任务3 每年行驶里程至少为多少万公里时，购买B款新能源车更划算（以使用10年为例）． 【考点】函数关系式．版权所有 【专题】函数及其图象；运算能力． 【答案】（1）A款燃油车平均每公里油费用为1.6元； （2）yA＝16x+33.4；yB＝4x+43； （3）每年行驶里程至少为0.8万公里，购买B款新能源车更划算． 【分析】（1）由这两款车的平均每公里的行驶费用间的关系，可得出A款燃油车平均每公里的加油费用为（x+1.2）元，利用可行驶的总路程＝加油费（充电费）÷A款燃油车平均每公里的加油费用（B款新能源车平均每公里的充电费用），结合充电费和加油费均为400元时新能源车可行驶的总路程是燃油车的4倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B款新能源车平均每公里的充电费用，再将其代入（x+1.2）中，即可求出A款燃油车平均每公里的加油费用； （2）根据使用燃油车10年的总费用＝购车费用﹣预计10年后的车价+购置税+保养费用×10+保险费用×10+10×1.6x，使用新能源车10年的总费用＝购车费用﹣预计10年后的车价+购置税+保养费用×10+保险费用×10+10×0.4x，化简表达式，即可求解； （3）要使购买B款新能源车更划算，即yB＜yA，可以得到一元一次不等式，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设B款新能源车平均每公里的充电费用为x元，根据题意可得： ， 解得x＝0.4， 经检验，x＝0.4是原分式方程的解且符合题意， ∴x+1.2＝1.6（元）， 答：A款燃油车平均每公里油费用为1.6元； （2）由条件可得yA＝30﹣9.6+3+0.2×10+0.8×10+10×1.6x＝16x+33.4， yB＝36﹣4+0.1×10+1×10+10×0.4x＝4x+43； （3）要使购买B款新能源车更划算，即yB＜yA， 即4x+43＜16x+33.4， 解得x＞0.8， 答：当每年行驶里程至少为0.8万公里，购买B款新能源车更划算． 【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 12．（2025•安丘市一模）某地举行龙舟比赛，赛程为900米．甲、乙两队比赛时，路程y（米）与时间x（分钟）的函数关系如图所示． （1）最先到达终点的是　乙　 队，比另一队领先　1　 分钟到达； （2）求出图中点C的坐标，并解释它的实际意义； （3）假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁早到达终点？早几分钟？ 【考点】函数的图象．版权所有 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）乙，1；（2）点C的坐标为（4.4，660），它的实际意义为当时间为4.4分钟时乙追上甲，此时路程为660米；（3）甲早分钟达终点． 【分析】（1）由函数图象时间与路程的关系就可以得出结论； （2）求出交点坐标即可解答； （3）先求出乙第一次加速后的速度就可以求出乙行驶完全程的时间，与甲的时间比较就可以得出结论． 【解答】解：（1）由函数图象得：最先到达终点的是乙队，比另一队领先6﹣5＝1分钟到达． 故答案为：乙，1； （2）由函数图象得：甲的速度为：900÷6＝150（米/分）， 乙队在第2分钟后第一次加速，其速度为（500﹣200）÷2＝150（米/分）， 乙队在第4分钟后第一次加速，其速度为（900﹣500）÷（5﹣4）＝400（米/分）， 设在x分钟乙追上甲，根据题意得：150x＝500+400（x﹣4）， 解得x＝4.4， 140×4.4＝660， 即点C的坐标为（4.4，660），它的实际意义为当时间为4.4分钟时乙追上甲，此时路程为660米； （3）乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进走完余下路程需要的时间为：700÷150（分钟）， ∴乙队走完全程的时间为：2（分钟）， ∵甲队行驶完全程需要的时间是6分钟，且， ∴甲早分钟达终点． 【点评】本题考查了一次函数的运用，行程问题的数量关系速度＝路程÷时间的运用，解答时阅读理解函数图象是关键． 13．（2025•平谷区一模）脂肪氧化率（单位：g/min）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位%VO2max）密切相关，如表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（%VO2max） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率（g/min） 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 m 0.50 0.39 0.22 （1）通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为x，脂肪氧化率为y，y是x的函数．在如下建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： （2）结合函数图象，解决问题： ①m的值约为　0.56　 （精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度x的范围约为　52＜x＜78　 （精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在　8　 千米/小时左右（精确到整数位）． 【考点】函数的图象．版权所有 【专题】函数及其图象． 【答案】（1）见解析；（2）①0.56；②52＜x＜78；③8． 【分析】（1）先逐个描点，再依次连接，即可作答； （2）①根据（1）的图象，以及结合“精确到小数点后两位”这个要求，即可作答； ②根据（1）的图象，以及结合“精确到整数位”这个要求，即可作答； ③先找出要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为0.60，此时对应的运动强度为65，则运动强度为65所对的运动速度为8千米/小时左右，即可作答． 【解答】解：（1）如图所示： （2）结合函数图象， ①m的值约为0.56， 故答案为：0.56； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度x的范围约为52＜x＜78（精确到整数位）， 故答案为：52＜x＜78； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为0.60，此时对应的运动强度为65， 则观察上表，运动强度为65所对的运动速度为8千米/小时左右， 即跑步的速度应控制在8千米/小时左右． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了函数图象，新定义，近似数，描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．（2025•武强县校级模拟）在平面直角坐标系中，直线l1经过A（﹣3，4），B（3，0），直线与x轴交于点C，与直线l1交于点D． （1）求直线l1的函数解析式： （2）求△BCD的面积； （3）嘉淇为了更好观看图象，截屏该问题的图象，如图所示，嘉淇发现屏幕上有一位置固定的黑点M，刚好落在直角坐标系中坐标为（6，2）的位置上，嘉淇通过手机的触屏功能，在坐标原点的位置与可视范围不改变的情况下，把截屏横向、纵向放大相同的倍数，当直线l1恰好经过点M时，图中坐标系的单位长度变为原来的a倍，直接写出a的值． 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【专题】函数及其图象；运算能力． 【答案】（1）；（2）；（3）3． 【分析】（1）在平面直角坐标系中，直线l1经过A（﹣3，4），B（3，0），利用待定系数法即可求出函数表达式； （2）根据题意，求出C（﹣2，0）、，结合B（3，0），由平面直角坐标系中三角形面积求法得到； （3）题中的描述可理解为将直线l1：平移后过点M（6，2），设平移后的直线为，求出l1平移后的直线表达式为，求出平移后直线与y轴交点，直线l1与y轴交点，从而得到放大后坐标系的单位长度变为原来的6÷2＝3倍． 【解答】解：（1）设直线l1的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵点A（﹣3，4），B（3，0）在直线l1上， ∴，解得， ∴直线l1的函数解析式为； （2）如图所示： ∵直线与x轴交于点C， ∴当y＝0时，， 解得：x＝﹣2，即C（﹣2，0）， ∵直线与直线l1交于点D， ∴， 解得，即， ∵B（3，0）， ∴； （3）题中的描述可理解为将直线l1：平移后过点M（6，2）， 设平移后的直线为，将M（6，2）代入表达式得到， 解得：b′＝6， ∴l1平移后的直线表达式为， 当x＝0时，y＝6，即放大后，直线过M，且与y轴交点为（0，6）；由于直线l1：与y轴交点为（0，2）； ∴放大后，坐标系的单位长度变为原来的6÷2＝3倍，即a＝3． 【点评】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求一次函数表达式、平面直角坐标系中三角形面积、一次函数图象平移等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 15．（2025•沙坪坝区校级三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，对角线AC＝12，动点P沿A→B→C以每秒2.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动；同时，动点Q沿A→C以每秒1.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动．连接PQ，BQ，设点P的运动时间为x秒，点P，Q的距离为y1，菱形ABCD的面积与△ABQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【专题】函数及其图象；推理能力． 【答案】（1），； （2）图象见解析，当0＜x＜4时，y1随x增大而增大，当4＜x＜8，y1随x增大而减小；当0＜x＜8时，y2值x增大而减小； （3）2.8＜x＜6.9． 【分析】（1）当点P在AB上时，过点Q作QH⊥AB于H，解Rt△ABO，求得，，由题意得：AQ＝1.5x，AP＝2.5x，解Rt△AQH，QH＝1.2x，AH＝0.9x，则PH＝AP﹣AH＝1.6x，则，故y1＝2x（0＜x≤4）；当点P在BC上时，此时CQ＝AC﹣AQ＝12﹣1.5x，BP＝2.5x﹣10，解Rt△QHC，QH＝9.6﹣1.2x，CH＝7.2﹣0.9x，则PH＝BC﹣CH﹣BP＝12.8﹣1.6x，再由勾股定理建立函数关系式即可得到y1＝16﹣2x（4＜x＜8）；如第一幅图，而建立求解函数关系式； （2）描点即可作图，根据一次函数与反比例函数的图象的性质即可作答； （3）当y1＞y2，即函数y1图象在函数y2图象上方时x的取值范围． 【解答】解：（1）当点P在AB上时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝10，AC⊥BD，，BD＝2BO， ∵AB＝10， ∴，则BD＝16， ∵在Rt△ABO中，sin，， 由题意得：AQ＝1.5x，AP＝2.5x， ∴在Rt△AQH中，QH＝AQ×sin∠OAB＝1.5x•5＝1.2x，， ∴PH＝AP﹣AH＝2.5x﹣0.9x＝1.6x， ∴， ∴y1＝2x（0＜x≤4）； 当点P在BC上时，此时CQ＝AC﹣AQ＝12﹣1.5x，BP＝2.5x﹣10， ∵BA＝BC， ∴∠BCO＝∠BAO， 在Rt△QHC中，，CH＝CQ×cos∠BCO＝（12﹣1.5x）×π＝7.2﹣0.9x， ∴PH＝BC﹣CH﹣BP＝10﹣（7.2﹣0.9x）﹣（2.5x﹣10）＝12.8﹣1.6x． ∴， ∴y1＝16﹣2x（4＜x＜8）； 如第一幅图： ， 综上：，； （2）画出函数图象为： 由函数图象可知，该函数有如下性质：当0＜x＜4时，y1随x增大而增大，当4＜x＜8，y1随x增大而减小；当0＜x＜8时，y2值x增大而减小； （3）由图象得，当y1＞y2，即函数y1图象在函数y2图象上方时，x的取值范围为2.8＜x＜6.9． 【点评】本题考查了动点类的问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质，解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，画函数图象等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 16．（2025•大兴区二模）如图，在△ABC中，CA＝CB，AB＝4cm，点C到AB的距离为h cm，以AB为直径在AB上方作半圆，点P是AB上的动点，过点P作AB的垂线m，设AP＝x cm，直线m截半圆和等腰三角形得到阴影图形的面积分别记为S1（单位：cm2），S2（单位：（cm2），部分数据如下： （1）当h＝4cm时，S1与x，S2与x对应关系的部分数据如表： x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 S1/cm2 0 0.45 1.23 2.15 a 4.13 5.05 5.83 6.28 S2/cm2 0 0.25 b 2.25 4.00 5.75 7.00 7.75 8.00 根据以上信息，回答下列问题： ①a＝ 　3.14　 ，b＝ 　1　 （结果保留小数点后两位）； ②通过分析数据，发现可以用函数刻画S1与x，S2与x之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出S2关于x的函数图象； ③根据以上数据和函数图象，若x≠0，则x＝ 　1.4　 cm时，S1＝S2（结果保留小数点后一位）； （2）当h＝2cm时，对于0＜x＜4，S1　＞　 S2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【专题】函数及其图象；推理能力． 【答案】（1）①3.14；1；②见解析；③1.4； （2）＞． 【分析】（1）①利用扇形面积公式以及相似三角形的性质分别表示出S1和S2，然后分别代入x，即可求出a，b的值． ②描点，连线，画出函数图象即可． ③根据函数图象即可得出答案． （2）当h＝2cm时，S1保持不变，S2变为原来的一半，根据图象比较即可得出答案． 【解答】解：（1）①如图， ∵CA＝CB，AB＝4cm，O为AB的中点， ∴OA＝OB＝2，CO⊥AB， 当x＝2时，点O和点P重合，则， 当x＝1时， ∵AB⊥m，CO⊥AB， ∴m∥CO，即PE∥CO， ∴△APE∽△AOC， ∴， ∵h＝4cm， ∴， 即， 则S2＝b＝1， 故答案为：3.14；1； ②描点，连线，画出函数图象如下： ③根据函数图象可知，若x≠0，则 x＝1.4cm时，S1＝S2； 故答案为：1.4； （2）当h＝2cm时，可知S1保持不变，S2为h＝4cm时S2面积的一半， 根据（1）②图象可知2S1＞S2， 故当h＝2cm时，对于0＜x＜4，S1＞S2， 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查了画函数图象，扇形面积公式以及二次函数的其他应用，等知识得出S1和S2的面积公式是解题的关键． 17．（2025•亭湖区校级二模）学科实践 “科学减重、健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召，合理膳食，加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减脂运动，“博•约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值） 【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图象经过适当平移后的函数模型… 设拟合函数为： 【问题解决】 （1）如图，若选取A（50，140），B（75，155），C（150，180）进行拟合，经计算k＝﹣11250，请求出拟合函数表达式． （2）从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ （3）①根据图象变换，（1）中图象可由的图象向左平移　75　 个单位，再向上平移　230　 个单位得到： ②点P在（1）中图象上运动，且位于直线y＝x左侧，当点P到直线y＝x距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 【考点】函数的图象；函数关系式．版权所有 【专题】函数及其图象；运算能力． 【答案】（1）； （2）5分钟； （3）①75，230；②秒． 【分析】（1）把k值和其中两个点代入函数，得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到a、b的值，进而确定函数表达式． （2）令函数值y＝200，代入拟合函数表达式，求解关于x的方程，得到的x值就是跳绳后应该休息的时间（单位：秒），再将其转化为分钟． （3）①根据函数图象平移“左加右减，上加下减”的原则，对比两个函数的形式，确定x和y方向上的平移量． ②当与直线y＝x平行的直线与曲线相切时，切点到直线y＝x的距离最大．因为平行直线间距离处处相等，而在曲线与平行于y＝x的直线的位置关系中，相切时的切点是距离y＝x最远的点（在曲线一侧）．进而列方程求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得： ． 用第二个方程减去第一个方程消去b： 155﹣140， （75+a）（50+a）＝﹣11250， a2+125a﹣15000＝0， （a+200）（a﹣75）＝0， 解得a＝75或a＝﹣200（舍去，因为a＞0 ）． 把a＝75代入，可得，140＝﹣90+b， 解得b＝230． ∴拟合函数表达式为． （2）令y＝200，可得． 解得x＝300， 300÷60＝5分钟． ∴跳绳运动5分钟后就应该休息一下； （3）①函数到，根据“左加右减，上加下减”原则，x变为x+75，图象向左平移了75个单位；整体加230，图象向上平移了230个单位． 故答案为：75，230； ②设与直线y＝x平行的直线方程为y＝x+b． ∵该直线与曲线相切时，该切点到y＝x的距离最大， ∴联立方程， 得到． ∴（x+75）（x+b）﹣（﹣11250）﹣（x+75）×230＝0． x2+bx+75x+75b+11250﹣230x﹣17250＝0， x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0． ∵直线与曲线相切， ∴联立后的一元二次方程x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0的判别式Δ＝（b﹣155）2﹣4×（75b﹣6000）＝0． ∴b2﹣610b+48025＝0． ∴． ∴x2+（b﹣155）x+75b﹣6000＝0的解为， ∴（舍去）或， ∴最佳运动心率的时间为秒． 【点评】本题综合考查函数相关知识，关键在于：熟练掌握用待定系数法求函数表达式，通过代入已知点坐标构建方程组求解未知参数．理解函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，准确分析函数形式变化确定平移量．利用根的判别式解决最值问题． 18．（2025•北碚区校级三模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点P以每秒1个单位长度从点A出发，沿着A→C→D运动，当点P到达D点时停止运动，动点Q以每秒个单位长度从点A出发，沿A→D方向运动，P、Q两点同时停止运动，点E为直线AC上的动点，满足2S△AEQ＝S△ABC，设点P，Q的运动时间均为x秒，记△BCP的面积为y1，点E到直线AD的距离为y2． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【专题】函数及其图象；推理能力． 【答案】（1）；； （2）图见解析；当0≤x≤5时，y随x的增大而增大，当5＜x≤8时，y随x的增大而减小； （3）6＜x≤8． 【分析】（1）根据矩形的性质可以求出AC＝5，当0＜x≤5时，点P在AC上运动时，，当5＜x≤8时，y1＝2x﹣10，2S△AEQ＝S△ABC时，可得：，可得：； （2）根据函数解析式画出函数图象即可； （3）由函数图象可知，当6＜x≤8时，y1＞y2． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝4， ∴， 当0＜x≤5时，作PF⊥BC于点F，如图所示， ∵AP＝x， ∴CP＝5﹣x，BC＝4， ∵， ∴， ∴， ∴； 当5＜x≤8时，如图所示， ∴CP＝x﹣5， ∴； 综上所述，； ∵， ∴， ∵2S△AEQ＝S△ABC， ∴， ∴； （2）画函数图象，如图所示， 当0≤x≤5时，y随x的增大而增大，当5＜x≤8时，y随x的增大而减小； （3）由图象可知，当6＜x≤8时，y1＞y2． 【点评】本题考查了分类讨论，函数的图象及性质，掌握函数的图象及性质是解题的关键． 19．（2025•重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，动点P从点A出发沿折线A﹣B﹣D方向运动，同时动点Q沿射线CB方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，DQ．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），记△ADP的面积为y1，△BCD的面积与△DCQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【专题】函数及其图象；推理能力． 【答案】（1）； ； （2）图见解析，当0＜x＜3时，y1随着x的增大而增大； （3）0＜x＜1.6或7.4＜x＜8． 【分析】（1）分0＜x≤3，3＜x＜8，根据三角形的面积公式求出y1关于x的函数表达式，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出y2关于x的函数表达式，即可； （2）列表，描点，连线画出函数图象，根据图象写出y1的一条性质即可； （3）图象法求出自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）过点P作PE⊥AD于点E， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°， ∴， ∴当0＜x≤3时，AP＝x， ∴， 当3＜x＜8时，DP＝3+5﹣x＝8﹣x， 作PE⊥AD，则， ∴（8﹣x）； ∵CQ＝x， ∴； 综上：； ； （2）列表如下： x 1 2 3 5 8 y1 2 1 6 0 y2 5 2.5 1 描点，连线如下： 由图可知，当0＜x＜3时，y1随着x的增大而增大； （3）由图象可知：y1＜y2时x的取值范围为0＜x＜1.6或7.4＜x＜8． 【点评】本题考查动点的函数图象，解直角三角形，正确的求出函数解析式是解题的关键． 20．（2025•滑县二模）如图，A，B，D都在格点（网格线的交点）上，CD是Rt△OAB的中位线，反比例函数的图象经过点C（4，2）． （1）求反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的三个点，再画出反比例函数的图象． （3）将点A向左平移，当平移距离等于 　6　 时，点A恰好落在这个反比例函数的图象上． 【考点】动点问题的函数图象．版权所有 【专题】函数及其图象；运算能力． 【答案】（1）； （2）1； （3）6， 【分析】（1）将点C代入反比例函数解析式求出k，即可得解； （2）根据8的约数可分别取x＝1，2，8，列表求出函数值，从而描点连线即可； （3）求出点A的坐标，找出反比例函数图象上与点A的纵坐标相等的点，根据两点间的距离回答即可． 【解答】解：（1）由条件可得：， ∴k＝8， ∴反比例函数的解析式为； （2）列表格如下： x 1 2 8 y 8 4 1 描点连线得： （3）由条件可知点C是OA的中点，A（8，4）， 又∵反比例函数的图象经过点（2，4）， ∴点A向左平移6个单位长度，则可使得点A恰好落在这个反比例函数的图象上， 故答案为：6． 【点评】本题考查求反比例函数解析式，画反比例函数图象，平移等知识，运用数形结合思想是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $