河南郑州市第六高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测卷3.22（平面向量）

郑州六高高一（下）数学平面向量测试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 难度分布：基础题50%，中档题30%，难题20% 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A．向量就是有向线段 B．单位向量都相等 C．零向量与任意向量平行 D．若，则或 2.已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 3. 已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D．或 4.在四边形中，若，且，则四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 5.已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 6.在中，为中点，为中点，若，则（ ） A． B． C． D． 7.已知是边长为的正六边形内一点（不含边界），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8.已知函数，是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知向量满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．与夹角为 D．在上的投影向量为 10.关于四边形的形状，是四边形内任意一点，下列说法正确的是（ ） A．若，则四边形是等腰梯形 B．若，则四边形是平行四边形 C．若，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是菱形 11.（多选）已知向量与的夹角为，且，.若，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C. D. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若三个向量，，，且三点共线，则的值为_____________. 13.已知向量，，当与的夹角为钝角时，实数的取值范围是_____________. 14.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，与的夹角为，且，与的夹角为. 若（），则_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（本小题13分）已知向量满足，. （1）求； （2）求. 16.（本小题15分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． （1）求的大小． （2）设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围 17.（本小题15分）在中，为的中点，，记，. （1）用，表示； （2）若，且，求. 18.（本小题17分）如图，点是线段的中点，点是线段上一个靠近点的三等分点，点是与的交点． （1）若，求实数的值； （2）求证： （3）求证： 19.（本小题17分）设两个非零向量，，，将方向逆时针旋转到方向所成的角记为，定义伪叉积：，规定零向量与任意向量的伪叉积为零．伪叉积的几何意义是. （1）若，求； （2）已知，，，求； （3）已知是平面内任意三个不共线向量，求证：. 郑州六高高一（下）数学周测01第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州六高高一（下）数学平面向量测试卷 解析 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 难度分布：基础题50%，中档题30%，难题20% 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A．向量就是有向线段 B．单位向量都相等 C．零向量与任意向量平行 D．若，则或 【答案】 C 【解析】 A错误，向量可以用有向线段表示，但向量是自由向量，有向线段是几何表示；B错误，单位向量模相等但方向不同；C正确，零向量方向任意，与任意向量平行；D错误，模相等不能推出方向相同或相反。 【学科能力】 数学抽象、逻辑推理 【认知能力】 辨析理解 【主要知识】 向量的基本概念 【次要知识】 零向量、单位向量 2.已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】。 【学科能力】 数学运算 【认知能力】 程序操作 【主要知识】 向量的坐标运算 【次要知识】 无 3. 已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】 B 【解析】 设，其中，则，解得 【学科能力】 数学运算、逻辑推理 【认知能力】 演绎推理 【主要知识】 向量共线定理 【次要知识】 方程组求解 4.在四边形中，若，且，则四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】 B 【解析】 由可得且，故四边形为平行四边形；又，即邻边相等，所以是菱形。 【学科能力】 直观想象、逻辑推理 【认知能力】 分析综合 【主要知识】 向量与四边形形状 【次要知识】 平行四边形的判定 5.已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 由，所以与的夹角为. 【学科能力】 数学运算 【认知能力】 公式应用 【主要知识】 数量积与夹角 【次要知识】 三角函数值 6.在中，为中点，为中点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】，，故，. 【学科能力】 逻辑推理、数学运算 【认知能力】 演绎推理 【主要知识】 平面向量基本定理、中点公式 【次要知识】 向量线性表示 7.已知是边长为的正六边形内一点（不含边界），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】建立坐标系，，，设，则，由正六边形区域可得，故取值范围为。 【学科能力】 直观想象、数学运算 【认知能力】 数形结合 【主要知识】 数量积的几何意义、坐标法 【次要知识】 正六边形性质 8.已知函数，是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】由函数及条件得，三个数量积中必有一个为0，一个为正，一个为负。不妨设，，.取，，设，则，，，故，所以， 所以 因为，所以 所以 【学科能力】数学运算、逻辑推理 【认知能力】分析、综合、抽象概括 【主要知识】平面向量的数量积、向量的模 【次要知识】分段函数、三角函数的最值 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知向量满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．与夹角为 D．在上的投影向量为 【答案】 ABD 【解析】因为，所以，所以，所以，故A正确； 因为，所以由向量围成的平行四边形为矩形，所以，故B正确； 因为且，由向量加法的平行四边形法则可得与夹角为，且在上的投影向量为，故C不正确，D正确. 【学科能力】数学运算、逻辑推理 【认知能力】理解、分析、应用 【主要知识】平面向量的数量积、模、夹角、投影向量 【次要知识】向量的坐标表示、方程组求解 10.关于四边形的形状，是四边形内任意一点，下列说法正确的是（ ） A．若，则四边形是等腰梯形 B．若，则四边形是平行四边形 C．若，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是菱形 【答案】 BD 【解析】 关于A选项：当，且，与的大小无法确定，故则四边形不一定是等腰梯形，故A选项不正确； 关于B选项：当，则，即，所以且，所以四边形是平行四边形，故B选项正确； 关于C选项：当时，，只能说明四边形的对角线相等，但不一定是正方形，故C选项不正确； 关于D选项：当时，由向量加法的平行四边形法则可得四边形是平行四边形；因为，所以四边形的对角线平分，所以四边形是菱形，故D选项正确. 【学科能力】逻辑推理、数学运算 【认知能力】分析、判断 【主要知识】平面向量的线性运算、平行四边形的判定 【次要知识】向量的模、单位向量、梯形与菱形的性质 11.（多选）已知向量与的夹角为，且，.若，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C. D. 【答案】 ACD 【解析】因为且，所以， 所以，即，所以，所以A正确，B不正确； 因为 因为，所以 所以。 【学科能力】数学运算、逻辑推理 【认知能力】理解、应用、分析 【主要知识】平面向量的数量积、向量垂直的充要条件、向量的线性运算 【次要知识】向量的夹角、模长 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若三个向量，，，且三点共线，则的值为_____________. 【答案】  【解析】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以 所以存在唯一实数，使得，即，所以，即 【学科能力】数学运算、逻辑推理 【认知能力】理解分析、综合应用 【主要知识】平面向量的共线条件、向量坐标运算 【次要知识】向量平行条件、解方程 13.已知向量，，当与的夹角为钝角时，实数的取值范围是_____________. 【答案】  【解析】因为与的夹角为钝角，所以，所以且，即实数的取值范围是 【学科能力】数学运算、逻辑推理 【认知能力】理解分析、批判性思维、综合应用 【主要知识】平面向量的数量积、向量的夹角公式 【次要知识】向量共线的条件、不等式的求解、集合的表示 14.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，与的夹角为，且，与的夹角为. 若（），则_____________. 【答案】 3 【解析】因为，所以，， 所以，可得，所以. 【学科能力】数学运算、逻辑推理、数学建模 【认知能力】理解分析、综合应用、批判性思维 【主要知识】平面向量的坐标表示、向量的线性运算、向量数量积、三角恒等变换 【次要知识】同角三角函数关系、方程组求解 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（本小题13分）已知向量满足，. （1）求； （2）求. 【答案】 （1）；（2） 【解析】（1）因为，所以 所以 因为，所以，所以 结合，得，所以. （2）由（1）得 所以 所以 【学科能力】 数学运算、逻辑推理 【认知能力】 演绎推理、方程思想 【主要知识】 平面向量的数量积、模长公式、向量垂直条件 【次要知识】 方程组求解、代数变形 16.（本小题15分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． （1）求的大小． （2）设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得． 因为四边形是平行四边形，所以 因为，所以． （2）设，其中，则． ， 故的取值范围是． 【学科能力】 数学运算、直观想象、逻辑推理 【认知能力】 演绎推理、数形结合 【主要知识】 平面向量的坐标运算、数量积、向量夹角公式 【次要知识】 平行四边形性质、中点坐标公式、二次函数最值 17.（本小题15分）在中，为的中点，，记，. （1）用，表示； （2）若，且，求. 【答案】 （1）；（2）. 【解析】（1）因为为的中点，所以. 因为，所以 （2）因为，所以，所以 ①， 因为，所以 即 ，所以 由①②得 所以， 所以 【学科能力】数学运算、逻辑推理 【认知能力】理解、分析、应用 【主要知识】平面向量的线性表示、向量垂直的充要条件、向量的模与数量积的关系、方程思想 【次要知识】中点、比例分的向量表示 18.（本小题17分）如图，点是线段的中点，点是线段上一个靠近点的三等分点，点是与的交点． （1）若，求实数的值； （2）求证： （3）求证： 【答案】 （1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】（1）因为点是线段的中点，所以 因为点是线段上一个靠近点的三等分点，所以 所以 所以 所以 因为且 所以存在唯一实数，使得，即，解得， （2）由（1）得，所以 所以 （3）设，因为点是线段的中点，所以，所以， 因为，所以，所以，， 所以. 【学科能力】 逻辑推理、直观想象、数学运算 【认知能力】 演绎推理、分析综合 【主要知识】 平面向量基本定理、向量线性运算、向量共线定理 【次要知识】 定比分点、三角形面积比 19.（本小题17分）设两个非零向量，，，将方向逆时针旋转到方向所成的角记为，定义伪叉积：，规定零向量与任意向量的伪叉积为零．伪叉积的几何意义是. （1）若，求； （2）已知，，，求； （3）已知是平面内任意三个不共线向量，求证：. 【答案】 （1）10；（2）或；（3）证明见解析 【解析】（1）由题意得，； （2）因为，所以 所以或 当时， 当时， 所以的值为或. （3）设 则，所以 因为， 所以 所以得证. 【学科能力】运算求解、逻辑推理、数形结合、分类讨论 【认知能力】记忆、理解、应用、分析 【主要知识】伪叉积定义、模长公式、三角恒等式、坐标运算 【次要知识】点积、夹角定义、面积关系 学科网（北京）股份有限公司 $